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第一章成果展示
特殊平行四邊形
(時(shí)間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)
1．下列結(jié)論中，菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是(　C　)
A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分
C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)邊相等且平行
2．如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)是20，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若BD＝6，則菱形ABCD的面積是(　C　)
A．6 B．12
C．24 D．48
3．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊三角形ADE，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為(　B　)
A．45° B．15°
C．10° D．125°
4．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的長(zhǎng)為(　A　)
A．3 B．4
C．5 D．6
5．如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△BCD沿對(duì)角線BD翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，則△BDE的面積為(　A　)
A． C．21 D．24
6．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，EO⊥AC于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)E．若△ABE的周長(zhǎng)為8，AB＝3，則AD的長(zhǎng)為(　C　)
A．2 B．5.5 C．5 D．4
7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF，則線段EF的最小值為(　D　)
A．1.2 B．2.4
C．2.5 D．4.8
8．如圖，已知點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，∠AOB＝60°，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于點(diǎn)E．若四邊形OCED的周長(zhǎng)是20，則BC等于(　B　)
A．5 B．5
C．10 D．10
9．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊上一動(dòng)點(diǎn)，矩形兩邊AB，BC的長(zhǎng)分別為15和20，那么點(diǎn)P到矩形兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是(　B　)
A．6 B．12
C．24 D．不能確定
10．如圖，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OC于點(diǎn)F，PG⊥OB于點(diǎn)G，則的值是(　C　)
A．1 B．2
C．
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分)
11．若某個(gè)菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為3和4，則該菱形的周長(zhǎng)為 10 ．
12．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，則圖中陰影部分的面積為 8 ．
第12題圖
13．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∠A＝20°，則∠BCD＝ 70° ．(填度數(shù))
第13題圖
14．如圖，矩形ABCD≌矩形EFGB，點(diǎn)C在BG上，連接DF，H為DF的中點(diǎn)．若AB＝10，BC＝6，則CH的長(zhǎng)為 2 ．
15．如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為 (－1，5) ．
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為(10，0)，(0，3)，D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (1，3)或(4，3)或(9，3) ．
三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共56分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(8分)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AD＝12 cm，以CD為邊在四邊形ABCD外部作面積為的正方形CDEF，∠ABC＝90°．
(1)連接AC，求AC和CD的長(zhǎng)；
(2)求四邊形ABCD的面積．
解：(1)∵AB＝4 cm，BC＝3 cm，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝5(cm)．
∵正方形CDEF的面積為169 cm2，
∴CD＝＝13(cm)．
(2)∵AD＝12 cm，且122＋52＝132，
∴AD2＋AC2＝CD2．
∴∠CAD＝90°．
∴四邊形ABCD的面積為AB·BC＋AD·AC＝×4×3＋×12×5＝36(cm2)．
18．(8分)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE．
(1)求證：四邊形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的長(zhǎng)．
(1)證明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA．
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC．
∴∠DCA＝∠DAC．
∴CD＝AD＝AB．
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵AD＝AB，∴四邊形ABCD是菱形．
(2)解：由(1)知四邊形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC．
∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC．
∵BD＝2，∴OB＝BD＝1．
在Rt△AOB中，∵AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2．∴OE＝OA＝2．
19．(8分)如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠OBC＝∠OCB．
(1)求證： ABCD是矩形；
(2)請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD是正方形．
(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC．
∴AC＝BD．
∴ ABCD是矩形．
(2)解：AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四邊形ABCD是正方形．
20．(10分)如圖，G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．
(1)求證：EB＝GD；
(2)判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由．
(1)證明：∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD，∠DAB＝∠GAE＝90°．
∴∠GAD＝90°＋∠EAD，∠EAB＝90°＋∠EAD．
∴∠GAD＝∠EAB．
在△GAD和△EAB中，
∴△GAD≌△EAB(SAS)．
∴EB＝GD．
(2)解：EB⊥GD．理由如下：
如圖，AD，BE的交點(diǎn)記作點(diǎn)M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°．
∴∠AMB＋∠ABM＝90°．
由(1)知△GAD≌△EAB，
∴∠GDA＝∠EBA．
∵∠DMH＝∠AMB，
∴∠HDM＋∠DMH＝∠ABM＋∠AMB＝90°．
∴∠DHM＝180°－(∠HDM＋∠DMH)＝180°－90°＝90°．
∴EB⊥GD．
21．(10分)如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．
(1)求證：四邊形DEFG是正方形；
(2)求AE＋AG的值．
(1)證明：如圖，過點(diǎn)E分別作EM⊥AD于點(diǎn)M，EN⊥AB于點(diǎn)N．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB．
∵EM⊥AD于點(diǎn)M，EN⊥AB于點(diǎn)N，
∴EM＝EN．
又∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四邊形ANEM是正方形．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝∠MEN＝90°．
∴∠DEM＝∠FEN．
又∵∠EMD＝∠ENF＝90°，EM＝EN，
∴△EMD≌△ENF(ASA)．
∴ED＝EF．
∵四邊形DEFG是矩形，
∴四邊形DEFG是正方形．
(2)解：∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°．
∴∠ADG＝∠CDE．
∴△ADG≌△CDE(SAS)．∴AG＝CE．
∴AE＋AG＝AE＋CE＝AC＝AD＝4．
22．(12分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為邊AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于點(diǎn)E，垂足為F，連接CD，BE．
(1)求證：CE＝AD；
(2)當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？請(qǐng)說明理由．
(3)若D為AB的中點(diǎn)，則當(dāng)∠A的度數(shù)滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說明理由．
(1)證明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB．
∴AC∥DE．
∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形．
∴CE＝AD．
(2)解：四邊形BECD是菱形．理由如下：
∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD．
∵CE＝AD，∴BD＝CE．
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形．
∵DE⊥BC，
∴四邊形BECD是菱形．
(3)解：當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形．理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°．
∴AC＝BC．
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB．
∴∠CDB＝90°．
∵四邊形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形．
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