資源簡介

課時分層訓練(八)　一元二次方程的根與系數的關系
知識點一　根與系數的關系
1．已知關于x的一元二次方程x2－3x－2＝0的兩個實數根分別為x1，x2，則＋x1＋x2的值為(　B　)
A．－1 B．1
C．5 D．－5
2．已知方程x2－5x＋2＝0的兩個根分別為x1，x2，則x1＋x2－x1x2的值為(　D　)
A．
C．7 D．3
3．已知x1，x2是一元二次方程x2－6x＋3＝0的兩個實數根，則x1x2的值為(　D　)
A．6 B．－6
C．－3 D．3
4．設x1，x2是方程2x2－x－1＝0的兩個實數根，則x1＋x2＝ ．
5．已知x1，x2是關于x的方程x2＋mx－3＝0的兩個實數根，則x1x2＝ －3 ．
6．已知關于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0．
(1)若該方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；
(2)若x1，x2是該方程的兩個實數根，且＝12，求m的值．
解：(1)根據題意，得Δ＝(2m)2－4(m2＋m)＞0，解得m＜0．
∴m的取值范圍是m＜0．
(2)根據題意，得x1＋x2＝－2m，
x1x2＝m2＋m．
＝12，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝12．
∴(－2m)2－2(m2＋m)＝12，
解得m1＝－2，m2＝3(不合題意，舍去)．
∴m的值是－2．
知識點二　根與系數的關系與方程解的綜合
7．已知α，β是方程x2－2x－2 029＝0的兩個實數根，則α2－4α－2β－2的值是(　A　)
A．2 023 B．2 024
C．2 025 D．2 026
8．已知α，β是方程x2＋2 022x＋1＝0的兩個根，則(α2＋2 024α＋1)(β2＋2 024β＋1)的值為(　D　)
A．2 022 B．2 024
C．2 D．4
9．若x＝3是關于x的一元二次方程x2－x－b＝0的一個根，則方程的另一個根為 x＝－2 ．
10．已知x1，x2是方程x2－2x－7＝0的兩個根，則－x1＋x2的值為 9 ．
11．若關于x的方程x2－2x＋k－1＝0有兩個不相等的實數根．
(1)求k的取值范圍；
(2)設方程的兩根分別是x1，x2，且滿足＝x1x2，求k的值．
解：(1)∵關于x的方程x2－2x＋k－1＝0有兩個不相等的實數根，
∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(k－1)＞0，
解得k＜2．
∴k的取值范圍為k＜2．
(2)∵x1，x2是方程x2－2x＋k－1＝0的兩個實數根，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝k－1．
∵＝＝x1x2．
∴＝x1x2．
∴＝k－1．
整理，得k2－5＝0，解得k1＝，k2＝－．
經檢驗，k1＝，k2＝－均為所列分式方程的解．由(1)知k<2，∴k1＝不符合題意，舍去，k2＝－符合題意．
∴k的值為－．
12．如果關于x的方程x2＋kx＋9＝0有兩個不相等的實數根，那么k的值可以為(　C　)
A．6 B．4
C．7 D．－6
13．已知關于x的方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的兩個實數根分別為x1，x2．若(x1＋1)(x2＋1)＝3，則m的值為(　A　)
A．－3 B．－1
C．－3或1 D．－1或3
14．若方程x2－2x－1＝0的兩根分別是x1，x2，則的值為(　B　)
A．4 B．6
C．18 D．16
15．設x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的兩根，則＝(　D　)
A． B．－
C．2 D．－2
16．若關于x的一元二次方程x2＋px＋4＝0的一個根為x1＝2，則另一個根x2為(　D　)
A．1 B．－1
C．－2 D．2
17．已知方程x2－4x＋1＝0的兩根為x1，x2，則(2＋x1)(2＋x2)＝ 13 ．
18．若關于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0的兩個實數根為x1，x2，且滿足(1＋x1)(1＋x2)＝3，則k的值為 3 ．
19．已知關于x的一元二次方程x2－6x＋2m＋1＝0有實數根．
(1)求m的取值范圍；
(2)如果方程的兩個實數根為x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2＝20，求m的值．
解：(1)根據題意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，
解得m≤4．
(2)根據題意，得x1＋x2＝6，
x1x2＝2m＋1．
∵2x1x2＋x1＋x2＝20，
∴2(2m＋1)＋6＝20，
解得m＝3．
∵m≤4，
∴m的值為3．
【創新運用】
20．已知 ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程x2－mx＋m－1＝0的兩個實數根．
(1)當m為何值時， ABCD是菱形？求出此時菱形的邊長．
(2)若AB的長為3，則 ABCD的周長是多少？
解：(1)∵ ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
∴關于x的方程x2－mx＋m－1＝0有兩個相等的實數根．
∴Δ＝(－m)2－4×1×(m－1)＝(m－2)2＝0，
解得m1＝m2＝2．
∴當m＝2時， ABCD是菱形．
將m＝2代入原方程，
得x2－2x＋1＝0，
即(x－1)2＝0，
解得x1＝x2＝1．
∴此時菱形的邊長為1．
(2)將x＝3代入原方程，
得32－3m＋m－1＝0，
解得m＝4．
∴原方程為x2－4x＋3＝0．
由已知可得AB＋AD＝4，
∴ ABCD的周長＝2(AB＋AD)＝2×4＝8．
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