資源簡介

課時分層訓練(九)　應用一元二次方程
知識點一　幾何圖形問題
1．如圖，在長為100 m、寬為80 m的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進行綠化，要使綠化面積為7 644 m2，則道路的寬應為多少？設道路的寬為x m，則可列方程為(　C　)
A．100×80－100x－80x＝7 644
B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644
C．(100－x)(80－x)＝7 644
D．100x＋80x＝356
知識點二　增長率問題
2．“讀萬卷書，行萬里路．”某校為了豐富學生的閱歷，堅持開展課外閱讀活動，學生人均閱讀量從七年級的每年100萬字增加到九年級的每年121萬字．設該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為x，則可列方程為(　A　)
A．100(1＋x)2＝121
B．00(1＋x%)2＝121
C．100(1＋2x)＝121
D．100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝121
知識點三　銷售問題
3．王阿姨的水果店以4元/千克的價格購入了一批蘋果，再以6元/千克的價格出售，每天可售出200 kg．為了促銷，王阿姨決定降價銷售，在銷售過程中發現，這種蘋果每降價0.2元/千克，每天可多售出20 kg，另外，每天的房租等固定成本為50元，若王阿姨每天想要盈利250元，設應將每千克蘋果的售價降低x元，則以下方程正確的為(　B　)
A．(6－x)－50＝250
B．(6－x－4)－50＝250
C．(6－x－4)＝250
D．(6－x－4)(200＋20x)－50＝250
知識點四　球賽與握手問題
4．要組織一次籃球聯賽，賽制為單循環形式(每兩隊之間都只賽一場)，計劃安排15場比賽．如果設邀請x個球隊參加比賽，那么根據題意可列方程為(　D　)
A．2x＝15 B．x(x＋1)＝15
C．x(x－1)＝15 D．＝15
知識點五　動態幾何問題
5．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以1 cm/s的速度移動(不與點B重合)；動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2 cm/s的速度移動(不與點C重合)．如果點P，Q分別從點A，B同時出發．
(1)求兩點出發多少秒時，四邊形APQC的面積為16 cm2；
(2)在兩點的運動過程中，四邊形APQC的面積能否為14 cm2
解：(1)設t s時，四邊形APQC的面積為 ，×6×8＝24(cm2)，
24－×2t(6－t)＝16，
解得t1＝2，t2＝4．
當t＝4時，BQ＝2×4＝8．
∵點Q不與點C重合，
∴t＝4不符合題意，舍去．
∴兩點出發2 s時，四邊形APQC的面積為16 cm2．
(2)設t s時，四邊形APQC的面積為14 cm2，
24－×2t(6－t)＝14，
整理，得t2－6t＋10＝0，
Δ＝36－4×1×10＜0，此方程無解．
∴四邊形APQC的面積不能為14 cm2．
知識點六　數字問題
6．讀詩詞解題：大江東去浪淘盡，千古風流數人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？(提示：三十而立，四十而不惑)
解：設周瑜去世時年齡的個位數是x，則十位數是x－3．
根據題意，得10(x－3)＋x＝x2,
解得x1＝6，x2＝5．
∴x2＝36或x2＝25．
∵三十而立，四十而不惑，
∴x2＝25不符合題意，舍去．
綜上，周瑜去世時是36歲．
7．進入12月以來，某大型商場前三周的營業收入持續上漲，若12月第1周營業收入為3億元，這三周的營業總收入為13億元，設平均每周的增長率記為x，則可列方程為(　D　)
A．3(1＋x)＝13
B．3(1＋x)2＝13
C．3＋3(1＋x)2＝13
D．3＋3(1＋x)＋3(1＋x)2＝13
8．參加一次活動的每個人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動？設有x人參加活動，則可列方程為 ＝10 ．
9．已知矩形的面積是54 cm2，當把這個矩形的長減少1 cm、寬增加2 cm后，所得的四邊形是正方形，設矩形的寬為x cm，則根據題意，列方程為 x(x＋2＋1)＝54或x(x＋3)＝54 ．
10．如圖，有長為30 m的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長度為12 m)，圍成中間隔有一道籬笆(平行于AB)的矩形花圃，設花圃的一邊AB的長為x m，面積為y m2．
(1)用含x的代數式表示y，并求出x的取值范圍；
(2)如果要圍成面積為63 m2的花圃，AB的長是多少？
解：(1)∵AB的長為x m，且籬笆的總長度為30 m，
∴BC的長為(30－3x)m．
由題意，得
解得6≤x<10．
∴y＝x(30－3x)(6≤x<10)．
(2)依題意，得x(30－3x)＝63，
整理，得x2－10x＋21＝0，
解得x1＝3(不符合題意，舍去)，x2＝7．
答：AB的長是7 m．
11．為滿足師生閱讀需求，某校圖書館的藏書量不斷增加，2022年年底的藏書量為5萬冊，2024年年底的藏書量為7.2萬冊．
(1)求該校這兩年藏書量的年均增長率；
(2)假設2025年該校藏書量的年均增長率與前兩年相同，請你預測到2025年年底該校的藏書量是多少．
解：(1)設該校這兩年藏書量的年均增長率為x，
依題意，得5(1＋x)2＝7.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不符合題意，舍去)．
答：該校這兩年藏書量的年均增長率為20%．
(2)7.2×(1＋20%)＝8.64(萬冊)．
答：預測到2025年年底該校的藏書量是8.64萬冊．
12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝21 cm，動點P從點C出發，沿CA方向運動，動點Q從點B出發，沿BC方向運動，如果點P，Q的運動速度均為1 cm/s．
(1)設點Q，點P運動時間為t s，則CP＝ t cm，BQ＝ t cm；
(2)點P，Q運動幾秒時，它們相距15 cm
(3)△PCQ的面積能等于60 cm2嗎？請說明理由．
解：(2)設運動t s時，P，Q兩點相距15 cm，
依題意，得t2＋(21－t)2＝152，
解得t1＝9，t2＝12，
∴運動9 s或12 s時，P，Q兩點相距15 cm．
(3)△PCQ的面積不能等于60 cm2．理由如下：
設運動x s時，△PCQ的面積等于60 cm2，
依題意，得x(21－x)＝60，
整理，得x2－21x＋120＝0．
∵Δ＝(－21)2－4×1×120＝－39＜0，
∴原方程無解，即△PCQ的面積不能等于 60 cm2．
【創新運用】
13．某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低 1元，平均每天可多售出2件．
(1)當降價6元時，平均每天的銷售數量為多少？
(2)當每件商品降價多少元時，該商店每天的銷售利潤為1 200元？
解：(1)根據題意，得
若降價6元，則多售出12件，
平均每天的銷售數量為12＋20＝32(件)．
答：當降價6元時，平均每天的銷售數量為32件．
(2)設每件商品降價x元，
根據題意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200，
解得x1＝10，x2＝20．
40－10＝30＞25，∴x＝10符合題意．
40－20＝20＜25，∴x＝20不符合題意，舍去．
答：當每件商品降價10元時，該商店每天的銷售利潤為1 200元．
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