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第二章成果展示
一元二次方程
(時間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．若方程(m－1)xm2＋1－(m＋1)x－2＝0是關于x的一元二次方程，則m的值為(　D　)
A．0 B．±1
C．1 D．－1
2．將關于x的一元二次方程x(x＋2)＝5化成一般形式后，a，b，c的值分別是(　D　)
A．1，2，5 B．1，－2，－5
C．1，－2，5 D．1，2，－5
3．方程2x2－8x－1＝0的根的情況是(　A　)
A．有兩個不相等的實數根
B．沒有實數根　
C．有兩個相等的實數根
D．有一個實數根
4．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一個根是x＝1，則a＋b＋c 的值是(　A　)
A．0 B．－1
C．1 D．不能確定
5．某超市1月的營業額為36萬元，3月的營業額為48萬元，設從1月到3月平均每月營業額的增長率為x，則下面所列方程正確的是(　B　)
A．36(1－x)2＝48
B．36(1＋x)2＝48
C．36(1－x)2＝48－36
D．48(1－x)2＝36
6．如圖，在一個長為16 m、寬為9 m的矩形地面上，修等寬的三條互相垂直的道路，余下部分種草，種草面積為112 m2，設小路的寬為x m，那么x滿足的方程是(　B　)
A．(9－2x)(16－2x)＝112
B．(9－x)(16－2x)＝112
C．(9－x)(16－x)＝112
D．(9－2x)(16－x)＝112
7．已知代數式3－x與－x2＋3x的值互為相反數，則x的值是(　A　)
A．－1或3 B．1或－3
C．1或3 D．－1和－3
8．一塊矩形菜地的面積是120 m2，如果它的長減少2 m，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長是(　B　)
A．10 m B．12 m
C．13 m D．14 m
9．若關于x的一元二次方程(m－1)x2－4x－1＝0總有實數根，則m的取值范圍為(　B　)
A．m≤5且m≠1
B．m≥－3且m≠1
C．m≥－3
D．m＞－3且m≠1
10．定義運算：a*b＝a(1－b)．若a，b是關于x的方程x2－x＋m＝0(m＜0)的兩根，則b*b－a*a的值為(　A　)
A．0 B．1
C．2 D．與m有關
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．一個兩位數，個位數字比十位數字的平方大3，而這個兩位數等于其數字之和的3倍．如果這個兩位數的十位數字為x，那么可列方程為 10x＋(x2＋3)＝3(x＋x2＋3) ．
12．設a，b分別是方程x2＋x－2 025＝0的兩個實數根，則a2＋2a＋b的值是 2 024 ．
13．規定：在實數范圍內定義一種運算“◎”，其規則為a◎b＝a(a＋b)，則方程(x－2)◎7＝0的根為 x1＝2，x2＝－5 ．
14．方程x(x－3)－5(x－3)＝0的根是 x1＝3，x2＝5 ．
15．若等腰三角形的一邊長是4，另兩邊的長是關于x的方程x2－6x＋n＝0的兩個根，則n的值為 8或9 ．
16．有三個連續偶數，第三個數的平方等于前兩個數的平方和，則這三個數分別為 6，8，10或－2，0，2 ．
三、解答題(本大題共6個小題，共56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(8分)用適當的方法解下列方程：
(1)x2－1＝4(x＋1)；(2)3x2－6x＋2＝0；
(3)5x2＋3x＝0；(4)(2x＋3)2－25＝0．
解：(1)∵x2－1＝4(x＋1)，
∴(x＋1)(x－1)－4(x＋1)＝0．
∴(x＋1)(x－5)＝0．
∴x＋1＝0或x－5＝0，
解得x＝－1或x＝5，
即x1＝－1，x2＝5．
(2)∵3x2－6x＋2＝0，
∴a＝3，b＝－6，c＝2．
∴Δ＝(－6)2－4×3×2＝12＞0．
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝．
(3)∵5x2＋3x＝0，∴x(5x＋3)＝0．
∴x＝0或5x＋3＝0，
解得x＝0或x＝－0.6，
即x1＝0，x2＝－0.6．
(4)∵(2x＋3)2－25＝0，
∴2x＋3＝5或2x＋3＝－5，
解得x＝1或x＝－4，即x1＝1，x2＝－4．
18．(8分)一面墻長為22 m，一養殖戶要利用長為41 m的籬笆和這面墻圈成一個面積為216 m2的矩形養殖場，其中，養殖場不靠墻的長邊上要設一道寬為1 m的門，如圖．求這個矩形養殖場的長、寬各是多少．
解：設這個矩形養殖場的長為x m，則寬為 m．
根據題意，得x·＝216，
解得 x1＝18，x2＝24(不符合題意，舍去)．
寬為＝12(m)．
答：這個矩形養殖場的長、寬分別是18 m，12 m．
19．(8分)已知關于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0．
(1)若此方程有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍；
(2)當Rt△ABC的斜邊長c＝，且兩直角邊長a和b恰好是這個方程的兩個根時，求Rt△ABC的面積．
解：(1)由題意，得Δ＝4－4(m－1)＞0，
解得m＜2．
(2)由題意可知a＋b＝2，ab＝m－1．
由勾股定理，得a2＋b2＝3，
∴(a＋b)2－2ab＝3，即4－2(m－1)＝3．
∴m＝．∴ab＝．
∴SRt△ABC＝ab＝．
20．(10分)某商店銷售一批頭盔，平均每天可售出20頂，每頂盈利44元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商店決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每頂每降1元，商店平均每天可多售出5頂頭盔．若商店平均每天要盈利1 600元，則每頂頭盔應降價多少元？
解：設每頂頭盔降價x元，則每頂頭盔的銷售利潤為(44－x)元，平均每天可售出(20＋5x)頂．
依題意，得(44－x)(20＋5x)＝1 600，
整理，得x2－40x＋144＝0，
解得x1＝36，x2＝4．
∵要擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，
∴x＝36．
答：每頂頭盔應降價36元．
21．(10分)閱讀材料：把形如ax2＋bx＋c的二次三項式(或其一部分)配成完全平方式的方法稱為配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2．請根據閱讀材料解決下列問題．
(1)因式分解：a2－4a＋4＝ (a－2)2 ；
(2)若|a＋1|＋b2－6b＋9＝0，求a＋b的值；
(3)若a，b，c分別是△ABC的三邊長，且a2＋4b2＋c2－2ab－6b－2c＋4＝0．試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
解：(2)∵|a＋1|＋b2－6b＋9＝0，
∴|a＋1|＋(b－3)2＝0．
∴a＋1＝0，b－3＝0．
∴a＝－1，b＝3．
∴a＋b＝－1＋3＝2．
(3)△ABC是等邊三角形．理由如下：
∵a2＋4b2＋c2－2ab－6b－2c＋4＝0，
∴(a2－2ab＋b2)＋(c2－2c＋1)＋(3b2－6b＋3)＝0，即(a2－2ab＋b2)＋(c2－2c＋1)＋3(b2－2b＋1)＝0．
∴(a－b)2 ＋(c－1)2 ＋3(b－1)2＝0．
∴a－b＝0，c－1＝0，b－1＝0．
∴a＝b，c＝1，b＝1．
∴a＝b＝c．
∵a，b，c分別是△ABC的三邊長，
∴△ABC是等邊三角形．
22．(12分)我們規定：對于任意實數a，b，c，d有[a，b]*[c，d]＝ac－bd，其中等式右邊是乘法和減法運算，例如，[3，2]*[5，1]＝3×5－2×1＝13．
(1)求[－4，3]*[2，－6]的值；
(2)已知關于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有兩個實數根，求m的取值范圍．
解：(1)∵[a，b]*[c，d]＝ac－bd，
∴[－4，3]*[2，－6]＝－4×2－3×(－6)＝－8＋18＝10．
(2)∵[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0，
∴x·(mx＋1)－(2x－1)·m＝0．
整理，得mx2＋(1－2m)x＋m＝0．
∵關于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有兩個實數根，
∴Δ＝b2－4ac＝(1－2m)2－4m2≥0，且m≠0，
解得m≤且m≠0．
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