資源簡介

綜合質量評價(一)
(時間：120分鐘　滿分：150分)
第Ⅰ卷(選擇題　共48分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．下列數值中，是方程x2－3x＋2＝0的解的是(　D　)
A．－1 B．2
C．－3 D．1或2
2．下列判斷錯誤的是(　D　)
A．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
B．四個內角都相等的四邊形是矩形　
C．四條邊都相等的四邊形是菱形
D．兩條對角線垂直且平分的四邊形是正方形
3．用配方法解方程x2－2x－5＝0時，原方程應變形為(　B　)
A．(x＋1)2＝6 B．(x－1)2＝6
C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
4．關于頻率和概率的關系，下列說法正確的是(　B　)
A．頻率等于概率　
B．當試驗次數很大時，頻率穩定在概率附近
C．當試驗次數很大時，概率穩定在頻率附近
D．試驗得到的頻率與概率不可能相等
5．若關于x的方程(m－2)x2－4x＋1＝0有實數根，則m的取值范圍是(　A　)
A．m≤6 B．m＜6
C．m≤6且m≠2 D．m＜6且m≠2
6．為了打造宜居宜業的生態家園，某縣決定改善城市面貌，綠化環境，計劃用兩年時間，使綠地面積增加44%，則這兩年平均每年綠地面積的增長率是(　B　)
A．19% B．20%
C．21% D．22%
7．關于方程x2＋2x－4＝0的根的情況，下列結論錯誤的是(　B　)
A．有兩個不相等的實數根
B．兩實數根的和為2
C．兩實數根的差的絕對值為2
D．兩實數根的積為－4
8．已知四邊形ABCD為菱形，該菱形的周長為16，面積為8，則∠ABC的度數為(　D　)
A．30° B．60°
C．150° D．30°或150°
9．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，且∠ACD＝30°，BD＝2，則菱形ABCD的面積為(　A　)
A．2 B．4
C．4 D．8
10．有兩組卡片，第一組卡片上分別寫有數字“2，3，4”，第二組卡片上分別寫有數字“3，4，5”．現從每組卡片中各隨機抽取一張，用抽取的第一組卡片上的數字減去抽取的第二組卡片上的數字，差為負數的概率為(　D　)
A． C．
11．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，則四邊形ODEC的面積為(　A　)
A．2 B．4
C．4 D．8
12．如圖，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，有以下四個結論：①BE＋DF＝EF；②AB＝AF；③BM2＋DN2＝MN2；④若AB＝3，BE＝1，則BN＝3．其中正確的有(　B　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
第Ⅱ卷(非選擇題　共102分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
13．如圖，在菱形ABCD中，BD＝24，AC＝10，則該菱形的周長為 52 ．
14．在一個不透明的口袋中，裝有若干個除顏色不同其余都相同的球．如果口袋中裝有3個紅球且摸到紅球的概率為，那么口袋中的球有 15 個．
15．若m，n是一元二次方程x2－3x－68＝0的兩個實數根，則代數式m2－mn＋3n的值為 145 ．
16．如圖，將邊長為12的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向向右平移，得到△A′B′C′，當兩個三角形重疊部分的面積為32時，它移動的距離AA′的值為 4或8 ．
第16題圖
17．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，點G為四邊形DEAF對角線的交點，則線段GF的最小值為 ．
　
第17題圖
18．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝90°．點E，F分別在邊AB，AD上，CE與BF相交于點G，BE＝AF．線段BG的垂直平分線交BE于點H，且∠EHG＝54°．若∠EGH＝m°，則m＝ 63 ．
三、解答題(本大題共8個小題，共78分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19．(8分)解下列方程：
(1)x2－3x－1＝0；(配方法)
(2)3x2－5x＋1＝0．(公式法)
解：(1)∵x2－3x＋＝1＋，
即＝，
∴x－＝±．
∴x1＝，x2＝．
(2)∵a＝3，b＝－5，c＝1，
∴Δ＝25－4×3×1＝13．
∴x＝＝．
∴x1＝，x2＝．
20．(8分)隨著經濟的快速發展，環境問題越來越受到人們的關注．某校學生會為了解節能減排、垃圾分類知識的普及情況，隨機調查了部分學生，調查結果分為“非常了解”“了解”“了解較少”“不了解”四類，并將調查結果繪制成下面兩幅不完整的統計圖．
(1)本次調查的學生共有 50 人，估計該校1 200名學生中“不了解”的人數是 360 人；
(2)“非常了解”的4人中有A1，A2兩名男生，B1，B2兩名女生，若從中隨機抽取兩人向全校做環保知識交流，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
解：(1)4÷8%＝50(人)，
1 200×(1－40%－22%－8%)＝360(人)．
故答案為50；360．
(2)畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，其中恰好抽到一男一女的結果有8種，
∴P(恰好抽到一男一女)＝＝．
21．(8分)已知關于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2＋5＝0有兩個不相等的實數根x1，x2．
(1)求a的取值范圍；
(2)若－x1x2＝22，求a的值．
解：(1)根據題意，得Δ＝＋5)>0，解得a<－2，
即a的取值范圍為a<－2．
(2)根據根與系數的關系，得
x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2＋5．
－x1x2＝22，
∴(x1＋x2)2－3x1x2＝22．
∴4(a－1)2－3(a2＋5)＝22．
整理，得a2－8a－33＝0，
解得a1＝11，a2＝－3．
∵a<－2，∴a的值為－3．
22．(8分)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，BF∥CE交DE的延長線于點F．
(1)求證：四邊形ECBF是平行四邊形；
(2)當∠A＝30°時，求證：四邊形ECBF是菱形．
證明：(1)∵D，E分別為AC，AB的中點，
∴DE∥BC，即EF∥BC．
又∵BF∥CE，
∴四邊形ECBF是平行四邊形．
(2)∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，E為AB的中點，
∴CB＝AB，CE＝AB．∴CB＝CE．
又由(1)知，四邊形ECBF是平行四邊形，
∴四邊形ECBF是菱形．
23．(10分)某超市經銷一種成本為40元/千克的水產品，經市場調查發現，按50元/千克銷售，一個月能售出500 kg，銷售單價每漲0.1元/千克，月銷售量就減少1 kg．針對這種水產品的銷售情況，超市在月成本不超過10 000元的情況下，要使得月銷售利潤達到8 000元，銷售單價應定為多少？
解：設銷售單價應定為x元/千克．
根據題意，得
(x－40)[500－(x－50)÷0.1]＝8 000，
解得x1＝60，x2＝80．
當售價為60元/千克時，月成本為
[500－(60－50)÷0.1]×40＝16 000＞10 000，所以舍去．
當售價為80元/千克時，月成本為
[500－(80－50)÷0.1]×40＝8 000＜10 000．
故銷售單價應定為80元/千克．
24．(12分)如圖，在 ABCD中，P是AB上一點(不與點A，B重合)，CP＝CD，過點P作PQ⊥CP，交AD于點Q，連接CQ，∠BPC＝∠AQP．
(1)求證： ABCD是矩形；
(2)當AP＝3，AD＝9時，求AQ和CQ的長．
(1)證明：∵∠BPQ＝∠BPC＋∠CPQ＝∠A＋∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A．
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°．
∴ ABCD是矩形．
(2)解：∵ ABCD是矩形．
∴∠D＝∠CPQ＝90°．
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL)．
∴DQ＝PQ．
設AQ＝x，則DQ＝PQ＝9－x．
在Rt△APQ中，由勾股定理，得AQ2＋AP2＝PQ2，
∴x2＋32＝(9－x)2，
解得x＝4．
∴AQ＝4，DQ＝PQ＝5．
設CD＝AB＝CP＝y，
則PB＝y－3．
在Rt△PCB中，根據勾股定理，得(y－3)2＋92＝y2，
解得y＝15．
在Rt△CDQ中，根據勾股定理，得CQ＝＝5．
25．(12分)如圖，BD是正方形ABCD的對角線，線段BC在其所在的直線上平移，將平移得到的線段記為PQ，連接PA，過點Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA，OP．
(1)如圖1，求證：AP＝OA；
(2)如圖2，PQ在BC的延長線上，如圖3，PQ在BC的反向延長線上，猜想線段AP，OA之間有怎樣的數量關系，并說明理由．
圖1
　
圖2
圖3
(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°．
∵QO⊥BD，
∴∠BOQ＝90°．
∴∠BQO＝∠CBD＝45°．
∴OB＝OQ．
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ．
在△ABO和△PQO中，
∴△ABO≌△PQO(SAS)．
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ．
∵∠BOP＋∠POQ＝90°，
∴∠BOP＋∠AOB＝90°，
即∠AOP＝90°．
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP＝OA．
(2)解：PQ在BC的延長線上時，線段AP，OA之間的數量關系為AP＝OA．理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°．
∵QO⊥BD，
∴∠BOQ＝90°．
∴∠BQO＝∠CBD＝45°．
∴OB＝OQ．
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ．
在△ABO和△PQO中，
∴△ABO≌△PQO(SAS)．
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ．
∵∠BOP＋∠POQ＝90°，
∴∠BOP＋∠AOB＝90°，
即∠AOP＝90°．
∴△AOP是等腰直角三角形．
∴AP＝OA．
PQ在BC的反向延長線上時，線段AP，OA之間的數量關系為AP＝OA．理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°．
∵QO⊥BD，∴∠BOQ＝90°．
∴∠BQO＝∠CBD＝∠OBQ＝45°．
∴OB＝OQ，∠ABO＝∠PQO＝135°．
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ．
在△ABO和△PQO中，
∴△ABO≌△PQO(SAS)．
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ．
∵∠BOP－∠POQ＝90°，
∴∠BOP－∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°．
∴△AOP是等腰直角三角形．
∴AP＝OA．
26．(12分)如圖1，在Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分線交于點A，過點A分別作直線CE，CF的垂線，垂足分別為B，D．
(1)∠EAF＝ 45° ．(填度數)
(2)①求證：四邊形ABCD是正方形；
②若BE＝EC＝3，求DF的長．
(3)如圖2，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，則HR的長度是 ．(直接寫出結果，不寫解答過程)
(1)解：∵∠C＝90°，
∴∠CFE＋∠CEF＝90°．
∴∠DFE＋∠BEF＝360°－90°＝270°．
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝∠DFE，∠AEF＝∠BEF．
∴∠AFE＋∠AEF＝(∠DFE＋∠BEF)＝×270°＝135°．
∴∠EAF＝180°－∠AEF－∠AFE＝45°．
故答案為45°．
(2)①證明：如圖，過點A作AG⊥EF于點G，
則∠AGE＝∠AGF＝90°．
∵AB⊥直線CE，AD⊥直線CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C．
∴四邊形ABCD是矩形．
∵∠CEF，∠CFE的外角平分線交于點A，
∴AB＝AG，AD＝AG．∴AB＝AD．
∴四邊形ABCD是正方形．
②解：設DF＝x，
∵BE＝EC＝3，∴BC＝6．
由①得四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6．
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．
∴BE＝EG＝3．
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2＋FC2＝EF2，
即32＋(6－x)2＝(x＋3)2，解得x＝2．
∴DF的長為2．
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