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課時分層訓練(十三)　直線與圓的位置關系
知識點一　直線與圓的位置關系
1．圓的直徑為10 cm，如果圓心到直線的距離是d，那么(　C　)
A．當d＝8 cm時，直線與圓相交
B．當d＝4.5 cm時，直線與圓相離
C．當d＝5 cm時，直線與圓相切
D．當d＝10 cm時，直線與圓相切
2．如圖，⊙O的半徑OC＝5 cm，直線l⊥OC，垂足為點H，且l交⊙O于A，B兩點，AB＝8 cm，則l沿OC所在直線向下平移 2 cm時與⊙O相切．
知識點二　切線的判定
3．如圖，AB為⊙O的直徑，如果圓上的點D恰使∠ADC＝∠B，求證：直線CD與⊙O相切．
證明：如圖，連接OD．
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°．∴∠A＋∠B＝90°．
∵∠ADC＝∠B，
∴∠ODA＋∠ADC＝90°，
即∠CDO＝90°．∴CD⊥OD．
∵OD是⊙O的半徑，
∴直線CD與⊙O相切．
4．如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊AC相交于點D，BC是⊙O的切線，E為BC的中點，連接BD，DE．
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)設△CDE的面積為S1，四邊形ABED的面積為S2．若S2＝5S1，求tan ∠BAC 的值．
(1)證明：如圖，連接OD．
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．
∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°．∴∠CDB＝90°．
∵E為BC的中點，∴DE＝BE．
∴∠EDB＝∠EBD．
∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，
即∠EDO＝∠EBO．
∵BC是以AB為直徑的⊙O的切線，
∴AB⊥BC．∴∠EBO＝90°．∴∠ODE＝90°．
∵OD是圓的半徑，∴DE是⊙O的切線．
(2)解：∵E為BC的中點，
∴S△CDE＝S△DEB＝S1．∴S△CDB＝2S1．
∴S△ADB＝5S1－S1＝4S1．
根據條件，易得△CDB∽△BDA．
∵面積比為2S1∶4S1＝1∶2，
∴其相似比為1∶．
∴＝＝，即tan ∠BAC＝．
知識點三　切線的性質
5．如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，線段PO交⊙O于點C，連接BC．若∠P＝36°，則∠B的大小為(　A　)
A．27° B．32°
C．36° D．54°
6．如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點C．連接AC，BC，求證：∠A＝∠BCD．
證明：如圖，連接OC．
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．
∴∠ACO＋∠BCO＝90°．
∵CD與⊙O相切于點C，
∴∠OCD＝90°．∴∠BCO＋∠BCD＝90°．
∴∠ACO＝∠BCD．∴∠A＝∠BCD．
知識點四　切線長定理
7．如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，且PA＝8，CD切⊙O于點E，交PA，PB于C，D兩點，則△PCD的周長為(　C　)
A．32 B．24
C．16 D．8
8．如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝15，則四邊形ABCD的周長為 50 ．
9．王老師將汽車停放在地面臺階直角處，如圖是其中一個輪胎與臺階的平面示意圖．他測量了臺階高AB為16 cm，汽車輪胎的直徑為80 cm，則輪胎與地面接觸點C到臺階的距離BC是(　C　)
第9題圖
A．35 cm B．33 cm
C．32 cm D．30 cm
10．如圖，在平面直角坐標系中，⊙P與x軸相切于原點O，平行于y軸的直線交⊙P于E，F兩點．若點E的坐標是(－3，－1)，則點F的坐標是 (－3，－9) ．
第10題圖
11．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點O在邊BC上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD，CD，過點D作BC的平行線，與AB的延長線相交于點P．求證：
(1)PD是⊙O的切線；
(2)△PBD∽△DCA．
證明：(1)∵圓心O在BC上，
∴BC是⊙O的直徑．∴∠BAC＝90°．
如圖，連接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC．
∵∠DOC＝2∠DAC，
∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC．
∵PD∥BC，∴OD⊥PD．
∵OD為⊙O的半徑，∴PD是⊙O的切線．
(2)∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC．
∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC．
∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD．
∴△PBD∽△DCA．
12．如圖，PA是以AC為直徑的⊙O的切線，切點為A，過點A作AB⊥OP，交⊙O于點B．
(1)求證：PB是⊙O的切線；
(2)若AB＝6，cos ∠PAB＝，求PO的長．
(1)證明：如圖，連接OB．
∵PA是以AC為直徑的⊙O的切線，切點為A，∴∠PAO＝90°．
∵OA＝OB，AB⊥OP，
∴∠POA＝∠POB．
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO(SAS)．
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，即OB⊥PB．
∴PB是⊙O的切線．
(2)解：如圖，設OP與AB交于點D．
∵AB⊥OP，AB＝6，
∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝90°．
∵cos ∠PAB＝＝＝，
∴PA＝5．
∴PD＝＝＝4．
在Rt△APD和Rt△APO中，
cos ∠APD＝，cos ∠APD＝，
∴＝．∴PO＝＝．
【創新運用】
13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，∠ADC的平分線DE交AC于點E．以AD上的點O為圓心，OD為半徑作⊙O，恰好過點E．
(1)求證：AC是⊙O的切線；
(2)若CD＝12，tan ∠ABC＝，求⊙O的半徑．
(1)證明：如圖，連接OE．
∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE．
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ODE．
∴∠OED＝∠CDE．∴OE∥CD．
∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°．
∴OE⊥AC．∴AC是⊙O的切線．
(2)解：如圖，過點D作DF⊥AB于點F．
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CD＝DF．
∵CD＝12，tan ∠ABC＝，
∴BF＝＝16．
∴BD＝＝20．
∴BC＝CD＋BD＝32．
∴AC＝BC·tan ∠ABC＝24．
∴AD＝＝12．
∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD．
∴＝．∴＝＝，
解得EO＝15－3．
∴⊙O的半徑為15－3．
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