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課時(shí)分層訓(xùn)練(十五)　弧長及扇形面積的計(jì)算
知識(shí)點(diǎn)一　弧長的計(jì)算
1．圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線是一條圓弧如圖2所示，圓弧的半徑OA＝20 cm，圓心角∠AOB＝90°，則＝(　B　)
A．20π cm B．10π cm
C．5π cm D．2π cm
2．已知扇形半徑是9 cm，弧長為4π cm，則扇形的圓心角為(　D　)
A．20° B．40°
C．60° D．80°
3．如圖，在 ABCD中，∠B＝70°，BC＝4，以AD為直徑的⊙O交CD于點(diǎn)E，則的長是(　D　)
A．π B．π
C．π D．π
4．《墨經(jīng)》是中國古籍中最早討論滑輪力學(xué)的著作．如圖所示是書中記載的一個(gè)滑輪機(jī)械，稱為“繩制”．若圖中的定滑輪半徑為6 cm，滑輪旋轉(zhuǎn)了15°，則重物甲上升了 cm．(繩索粗細(xì)不計(jì)，且與滑輪之間無滑動(dòng)，結(jié)果保留π)
知識(shí)點(diǎn)二　扇形面積的計(jì)算
5．圓心角為120°的扇形的弧長是6π，則此扇形的面積是(　C　)
A．12π B．24π
C．27π D．54π
6．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，則陰影部分的面積是(　C　)
A．2π B．π
C． D．
7．已知扇形的面積為24π cm2，圓心角為216°，則該扇形的弧長是 cm．
8．如圖，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，則圖中陰影部分的面積為 π－2 ．
9．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，則的長為(　A　)
A．π B．
C．7 D．6
10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以點(diǎn)A為圓心、AD長為半徑畫弧，交邊BC于點(diǎn)E，連接AE，則的長為(　C　)
A． B．π
C．
11．如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)相鄰刻度間的弧長均相等，過9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為(　B　)
A．π－ π－
C．π－2 π－
12．如圖，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑都是3 cm，則圖中的三個(gè)扇形(陰影部分)的面積之和為 π cm2．
第12題圖
13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AC＝1，將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為，則圖中陰影部分的面積為 ．
第13題圖
14．如圖，AB為⊙O的直徑，射線AD交⊙O于點(diǎn)F，C為劣弧的中點(diǎn)，CE為⊙O的切線，交AD于點(diǎn)E，連接AC．
(1)求證：CE⊥AD；
(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求陰影部分的面積．
(1)證明：如圖1，連接BF，OC．
圖1
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD．
∵CE是⊙O的切線，OC是⊙O的半徑，
∴OC⊥CE．
∵C為劣弧 的中點(diǎn)，
∴OC⊥BF．∴BF∥CE．∴CE⊥AD．
(2)解：如圖2，連接OF，OC，CF．
圖2
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°．
∵C為劣弧的中點(diǎn)，
∴＝．∴∠FOC＝∠BOC＝60°．
∵OF＝OC，∴∠OCF＝∠COB．
∴CF∥AB．
∴S△ACF＝S△COF．∴S陰影部分＝S扇形COF．
∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2．
∴S扇形COF＝＝π，
即陰影部分的面積為π．
【創(chuàng)新運(yùn)用】
15．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，E是斜邊AC上一點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)F，連接DF．
(1)求證：BC是⊙O的切線；
(2)若BD＝5，tan ∠ADB＝，求圖中陰影部分的面積．(結(jié)果保留π)
(1)證明：如圖，連接OD．
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．
∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠BAD．
∴∠ODA＝∠BAD．∴OD∥AB．
∴∠ODC＝∠B＝90°．∴半徑OD⊥BC于點(diǎn)D．
∴BC是⊙O的切線．
(2)解：如圖，連接 OF，DE．
∵∠B＝90°，tan ∠ADB＝，
∴∠ADB＝60°．∴∠BAD＝30°．
∵BD＝5，∴AD＝2BD＝10．
∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE＝90°．
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠BAD＝30°．
在 Rt△ADE 中，AD＝10，
cos ∠DAE＝＝，
∴AE＝．∴OA＝AE＝．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°．
∵OA＝OF，
∴△AOF 是等邊三角形．∴∠AOF＝60°．
∵OD∥AB，∴S△ADF＝S△AOF．
∴S陰影＝S扇形OAF＝＝．
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