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課時分層訓練(十六)　正多邊形與圓
知識點一　正多邊形的性質及其相關計算
1．下列四種正多邊形：①正三角形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形．其中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有(　B　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
2．若一個正多邊形的中心角為30°，則這個正多邊形的邊數是(　D　)
A．3 B．6
C．8 D．12
3．如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，連接OC，OD，則∠BAE－∠COD＝(　D　)
第3題圖
A．60° B．54°
C．48 D．36°
4．如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，⊙O的半徑為6，則這個正六邊形的邊心距OM和 的長分別為(　D　)
第4題圖
A．4， B．3，π
C．2， D．3，2π
5．如圖，面積為18的正方形ABCD內接于⊙O，則的長度為(　C　)
A．9π B．π
C．π D．π
6．如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點，則∠AOC的度數是(　A　)
第6題圖
A．144° B．130°
C．129° D．108°
7．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點A為圓心、AC的長為半徑畫弧，得到，連接AC，AE，則圖中陰影部分的面積為 2π ．
第7題圖
知識點二　正多邊形的畫法
8．剪紙藝術是最古老的中國民間藝術之一，山東煙臺剪紙是其中比較有代表性的一種．傳統的剪紙先通過對折的方式將紙等分，小穎想通過將圓形紙片八等分的方式作正多邊形，請你幫小穎利用直尺和圓規作一個正八邊形．
解：如圖，先畫圓，再畫兩條互相垂直的直徑，將圓4等分，再畫出每段弧所對弦的垂直平分線，這樣就將圓八等分，最后順次連接各等分點得到正八邊形．
9．下列敘述正確的有(　B　)
①圓內接四邊形的對角相等；②圓的切線垂直于圓的半徑；③正多邊形中心角的度數等于這個正多邊形一個外角的度數；④過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等；⑤邊長為6的正三角形，其邊心距為2．
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
10．已知圓的半徑是2，則該圓的內接正六邊形的面積是(　C　)
A．3 B．9
C．18 D．36
11．我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算．他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.141 6．如圖，⊙O的半徑為1，運用割圓術，以圓內接正六邊形面積近似估計⊙O的面積，可得π的估計值為．若用圓內接正十二邊形作近似估計，可得π的估計值為(　C　)
A． B．2
C．3 D．2
12．邊長為4 cm的正六邊形，它的外接圓與內切圓半徑的比值是 ．
13．如圖，在擰開一個邊長為a的正六邊形螺帽時，扳手張開的開口b＝20 mm，則邊長a＝ mm．
14．如圖，⊙O的周長等于8π cm，正六邊形ABCDEF內接于⊙O．求：
(1)圓心O到AF的距離；
(2)正六邊形ABCDEF的面積．
解：(1)如圖，連接OA，OF，作OH⊥AF于點H．
∵⊙O的周長等于8π cm，
∴半徑OA＝4 cm．
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠AOF＝60°．∴∠AOH＝30°．
∴圓心O到AF的距離為4×cos 30°＝2(cm)．
(2)正六邊形ABCDEF的面積為×4×2×6＝24(cm2)．
【創新運用】
15．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．
(1)求∠CPD的度數；
(2)當P為的中點時，CP是⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．
解：(1)如圖，連接OD，OC．
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DOC＝90°．
∴∠CPD＝∠DOC＝45°．
(2)如圖，連接PO，OB．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠COB＝90°．
∵P為的中點，∴＝．
∴∠COP＝∠COB＝45°．
∴n＝360°÷45°＝8．
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