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第3章成果展示　對圓的進一步認識
(時間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．以三角形的一邊長為直徑的圓切三角形的另一邊，則該三角形為(　B　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
2．如圖，已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為30°，過點C的切線PC與AB的延長線交于點P，⊙O的半徑為2，則PC的長為(　D　)
第2題圖
A．4 B．4
C．6 D．2
3．如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經過點C，D，則cos ∠ADC的值為(　B　)
第3題圖
A．
C．
4．如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長AB，CD相交于點P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，則的度數是(　C　)
A．30° B．25°
C．20° D．10°
5．抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質文化遺產之一．如示意圖，AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，延長AC，BD交于點P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為5 cm，則圖中弧CD的長為(結果保留π)(　A　)
A．π cm B．π cm
C．π cm D．π cm
6．隨著研究不斷深入，化學家發現苯分子中的6個碳原子與6個氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長都相等(如圖1)，組成了一個完美的六邊形(正六邊形)，圖2是其平面示意圖，則∠1的度數為(　B　)
A．130°　 B．120°
C．110° D．60°
7．如圖，⊙O是△ABC的內切圓，點D，E，F是切點．若∠DEF＝50°，則∠A等于(　C　)
第7題圖
A．40° B．50°
C．80° D．100°
8．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝100°，OA＝12，點C是OB的中點，CD⊥OB交于點D，以OC為半徑的交OA于點E，則圖中陰影部分的面積是(　C　)
第8題圖
A．12π＋18 B．12π＋36
C．6π＋18 D．6π＋36
9．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2 cm，將正方形ABCD在直線l上順時針連續翻轉4次，則點A所經過的路徑長為(　B　)
A．4π cm B．(2＋2)π cm
C．2π cm D．(4＋2)π cm
10．如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點分別為A，B，BC是⊙O的直徑，PO交⊙O于點E，連接AB交PO于點F，連接CE交AB于點D．下列結論：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF＝AC；⑤E是△PAB的內心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有(　A　)
A．5個 B．4個
C．3個 D．2個
解析：如圖，連接OA，BE．
∵PA，PB是⊙O的切線，
∴PA＝PB．故①正確．
∵PA＝PB，OA＝OB，
∴OP是AB的垂直平分線．
∴OP⊥AB．故②正確．
∵OP是AB的垂直平分線，
∴＝．∴∠ACE＝∠BCE．
∴CE平分∠ACB．故③正確．
∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°．
∵∠BFO＝90°，∴OF∥AC．
∵OB＝OC，AF＝BF，
∴OF＝AC．故④正確．
∵PB是⊙O的切線，∴∠PBE＋∠EBC＝90°．
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠EBC＋∠ECB＝90°．
∴∠PBE＝∠ECB．
∵∠ECB＝∠EBA，
∴∠PBE＝∠EBA．
∵∠APE＝∠BPE，
∴E是△PAB的內心．故⑤正確．
∵AC∥OE，
∴△CDA∽△EDF．故⑥錯誤．
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．著名作家巴金在他的作品《海上日出》中對日出狀況的描寫：“果然，過了一會兒，在那個地方出現了太陽的小半邊臉，紅是真紅，卻沒有亮光．”這段文字中，給我們呈現出來的直線與圓的位置關系是 相交 ．
12．如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，若∠ABC＝100°，則∠ADC＝ 80° ．
第12題圖
13．有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時捕捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖，∠ABC＝90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN的長度始終保持不變，MN＝4，點E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為 2－2 ．
第13題圖
14．如圖，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足為點D，⊙E是△ACD的內切圓，連接AE，BE，則∠AEB的度數為 135° ．
15．如圖，已知點A(2，2)，點B(2，1)，將△AOB繞著點O逆時針旋轉，使點A旋轉到點A′(－2，2)的位置，則圖中陰影部分的面積為 π ．
第15題圖
16．如圖，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半徑為1，點P是邊AB上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ(其中點Q為切點)，則線段PQ長度的最小值為 2 ．
第16題圖
三、解答題(本大題共6個小題，共56分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(6分)如圖，在6×6的正方形網格中灑下M，N，O，P，Q五粒黃豆， 若以黃豆O為圓心，以為半徑畫圓，試判斷另外四粒黃豆與⊙O的位置關系．
解：OQ＝＝，OP＝＝2，ON＝2，OM＝＝．
∵2＞，2＜，
∴黃豆P在⊙O外，黃豆Q和M在⊙O上，黃豆N在⊙O內．
18．(8分)如圖，在Rt△ABO中，∠O＝90°，AO＝，BO＝1，以點O為圓心，OB為半徑的圓交AB于點P，求PB的長．
解：在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝，BO＝1，∴AB＝＝2．
如圖，過點O作OD⊥AB于點D．
∴PB＝2BD，∠ODB＝∠AOB＝90°，∠B＝∠B．∴△OBD∽△ABO．∴＝，
即＝，解得BD＝．∴PB＝2BD＝．
19．(10分)如圖，BE是⊙O的直徑，A和D是⊙O上兩點，連接AE，AD，DE，過點A作射線交BE的延長線于點C，使∠EAC＝∠EDA．
(1)求證：AC是⊙O的切線；
(2)若CE＝AE＝2，求陰影部分的面積．
(1)證明：連接OA，AB(圖略)．
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B．
∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠OAB．
∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠OAB．
∵BE為⊙O的直徑，∴∠EAB＝90°，
即∠EAO＋∠OAB＝90°．
∴∠CAE＋∠EAO＝90°．∴OA⊥AC．
∵OA為⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線．
(2)解：過點O作OF⊥AE于點F(圖略)．
∵CE＝AE＝2，∴∠C＝∠EAC．
∵∠EAC＋∠C＝∠AEO，
∴∠AEO＝2∠EAC．
∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO．
∴∠EAO＝2∠EAC．
∵∠EAO＋∠EAC＝90°，∴3∠EAC＝90°．
∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°．
∴△OAE是等邊三角形．
∴OA＝AE，∠EOA＝60°．∴OA＝2．
∴S扇形AOE＝＝2π．
在Rt△OAF中，OF＝OA·sin ∠FAO＝2＝3，
∴S△AOE＝AE·OF＝×2×3＝3．
∴S陰影＝2π－3．
20．(10分)如圖，點O是△ABC的外心，點I是△ABC的內心，連接AI并延長分別交BC和⊙O于點D，E，連接BE．
(1)求證：EB＝EI；
(2)若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的長．
(1)證明：連接BI(圖略)．
∵點I是△ABC的內心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI．
∵∠CBE＝∠CAE，∴∠BAE＝∠CBE．
∵∠BIE＝∠ABI＋∠BAE，
∠IBE＝∠CBI＋∠CBE，
∴∠IBE＝∠BIE．∴EB＝EI．
(2)解：設AI＝x．由(1)可知EI＝EB＝2，∠BAE＝∠CBE，且∠E＝∠E,
∴△BDE∽△ABE．∴＝．
∴BE2＝ED·EA，即ED＝．
又∵∠E＝∠C，∠BAE＝∠CAE，
∴△ADC∽△ABE．∴＝．
∴AB·AC＝AD·AE，
即4×3＝(x＋2)，
解得x＝2(負值舍去)．∴AI＝2．
21．(10分)如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，過點C的切線交DA的延長線于點E，且DE⊥CE，連接CD，BC．
(1)求證：∠DAB＝2∠B；
(2)若tan D＝，BC＝4，求⊙O的半徑．
(1)證明：如圖，連接OC．
∵EC是⊙O的切線，
∴OC⊥CE．
∵DE⊥CE，∴OC∥DE．
∴∠DAB＝∠AOC．
由圓周角定理，得∠AOC＝2∠B，
∴∠DAB＝2∠B．
(2)解：如圖，連接AC．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．
由圓周角定理，得∠B＝∠D，
∴tan B＝tan D＝，即＝．
∵BC＝4，∴AC＝2．
由勾股定理，得
AB＝＝＝2，
∴⊙O的半徑為．
22．(12分)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E．弦BF交CD于點G，點P在CD的延長線上，且PF＝PG．
(1)求證：PF為⊙O的切線；
(2)若OB＝10，BF＝16，BE＝8，求PF的長．
(1)證明：連接OF(圖略)．
∵PF＝PG，∴∠PFG＝∠PGF．
∵∠BGE＝∠PGF，∴∠PFG＝∠BGE．
∵OF＝OB，∴∠OFB＝∠B．
∵CD⊥AB，∴∠BGE＋∠B＝90°．
∴∠PFG＋∠OFB＝90°．
∴∠PFO＝90°．∴OF⊥PF．
∵OF是⊙O的半徑，∴PF為⊙O的切線．
(2)解：連接AF，過點P作PM⊥FG，垂足為點M(圖略)．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB＝90°．∴AB2＝AF2＋BF2．
∵OB＝10，∴AB＝20．
∵BF＝16，∴AF＝12．
在Rt△ABF中，tan B＝，cos B＝，
在Rt△BEG中，tan B＝＝，cos B＝＝，∴GE＝6，GB＝10．
∵BF＝16，∴FG＝6．
∵PM⊥FG，PF＝PG，∴FM＝FG＝3．
∵∠BGE＝∠PFM，∠PMF＝∠BEG＝90°，
∴△PFM∽△BGE．
∴＝，
即＝，
解得PF＝5．
∴PF的長為5．
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