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課時分層訓練(十七)　一元二次方程
知識點一　一元二次方程的概念
1．下列方程是一元二次方程的是(　D　)
A．y2＋x－5＝0 B．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0
C．x2＋＝1 D．x2＋1＝0
2．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是關于x的一元二次方程，則(　B　)
A．m＝±2 B．m＝2
C．m＝－2 D．m≠±2
3.若方程□－3＝x是關于x的一元二次方程，則“□”可以是(　C　)
A．－2x B．22
C．2x2 D．y2
4．小明認為： 關于x的方程(m2＋m－2)xm+1＋3x＝6不可能是一元二次方程．你認為小明的想法是否正確？請說明理由．
解：小明的想法正確．理由如下：
當關于x的方程(m2＋m－2)xm+1＋3x＝6是一元二次方程時，m＋1＝2，解得m＝1，
則m2＋m－2＝0．
故關于x的方程(m2＋m－2)xm+1＋3x＝6不可能是一元二次方程．
知識點二　一元二次方程的一般形式
5．將方程5x2＋1＝4x化成ax2＋bx＋c＝0的形式，則a，b，c的值分別為(　C　)
A．5，4，1 B．5，4，－1
C．5，－4，1 D．5，－4，－1
6．關于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化為一般形式后不含一次項，則m的值為(　D　)
A．0 B．±3
C．3 D．－3
7．寫出一個關于x的一元二次方程，使其一次項系數(shù)為－2，寫出的一元二次方程是： x2－2x＋1＝0(答案不唯一) ．
知識點三　一元二次方程的根及其估算
8．若關于x的一元二次方程x2－ax＋6＝0的一個根是x＝2，則a的值為(　D　)
A．2 B．3
C．4 D．5
9．根據(jù)表格中的信息，估計關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的一個解x的范圍為(　C　)
x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
ax2＋bx＋c －0.44 －0.25 －0.04 0.19 0.44
A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6
C．0.6＜x＜0.7 D．0.7＜x＜0.8
10．已知m是一元二次方程x2＋x－6＝0的一個根，則代數(shù)式m2＋m的值為 6 ．
11．《九章算術》中有一問題，其大意是：已知矩形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少(1丈＝10尺，1尺＝10寸)？設門的寬為x尺，下列方程中正確的是(　A　)
A．x2＋(x＋6.8)2＝102
B．x2＋(x－6.8)2＝12
C．x2＋102＝(x＋6.8)2
D．x2÷(x÷6.8)2＝12
12．如果關于x的一元二次方程(m－3)x2＋3x＋m2－9＝0有一個解是0，那么m的值是(　A　)
A．－3 B．3
C．±3 D．0或－3
13．已知m為方程x2＋3x－2 024＝0的一個根，那么m3＋2m2－2 027m＋2 024的值為(　B　)
A．－2 024 B．0
C．2 024 D．4 048
14．定義：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)滿足a＋b＋c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“鳳凰”方程，則該方程一定有一個根為(　B　)
A．x＝0 B．x＝1
C．x＝－1 D．x＝2
15．已知關于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一個非零根－b，則a－b的值為 1 ．
16．已知方程(a＋2)x|3a|-4＋6ax＋1＝0是關于x的一元二次方程，求a的值．
解：∵方程(a＋2)x|3a|-4＋6ax＋1＝0是關于x的一元二次方程，
∴|3a|－4＝2，且a＋2≠0，解得a＝2．
17．已知a是方程x2－2 024x＋1＝0的一個根．求：
(1)2a2－4 048a－3的值；
(2)a2－2 023a＋的值．
解：∵a是方程x2－2 024x＋1＝0的一個根，
∴a2＝2 024a－1．
(1)原式＝2(2 024a－1)－4 048a－3
＝4 048a－2－4 048a－3＝－5．
(2)原式＝2 024a－1－2 023a＋
＝a＋－1＝－1
＝－1＝2 024－1＝2 023．
【創(chuàng)新運用】
18．已知關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
(1)若a＋c＝－b，求證：x＝1必是該方程的一個根；
(2)當方程有一根是x＝－1時，求a，b，c之間的關系．
(1)證明：由a＋c＝－b，得a＋b＋c＝0．
當x＝1時，a×12＋b×1＋c＝a＋b＋c＝0，
∴x＝1是該方程的一個根．
(2)解：當x＝－1時，有a－b＋c＝0，
∴當方程有一根是x＝－1時，a，b，c之間的關系為a－b＋c＝0．
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