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課時分層訓練(二十)　用因式分解法解一元二次方程
知識點一　用因式分解法解一元二次方程
1．一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是(　D　)
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
2．陽陽在解方程x2＋3x＝0時，只得一個根x＝－3，陽陽漏掉的那個根是(　C　)
A．x＝3 B．x＝1
C．x＝0 D．x＝2
3．一個三角形的兩邊長為3和8，第三邊的邊長是x(x－9)－13(x－9)＝0的根，則這個三角形的周長是 20 ．
4．用因式分解法解一元二次方程：
(1)2(x＋2)2＝x2－4；
(2)(2x－1)2＝3－6x．
解：(1)將2(x＋2)2＝x2－4變形，
得2(x＋2)2－(x－2)(x＋2)＝0，
提取公因式，得(x＋2)(2x＋4－x＋2)＝0，
∴(x＋2)(x＋6)＝0．
∴x＋2＝0或x＋6＝0，解得x1＝－2，x2＝－6．
(2)(2x－1)2＝3－6x，
移項，得(2x－1)2＋6x－3＝0，
提取公因式，得(2x－1)2＋3(2x－1)＝0，
(2x－1)(2x－1＋3)＝0，
∴2x－1＝0或2x－1＋3＝0，
解得x1＝，x2＝－1．
知識點二　用適當的方法解一元二次方程
5．解方程x2－10x＝75，較簡便的解法是(　D　)
A．直接開平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
6．解方程(x－3)2＝4，最合適的方法是(　A　)
A．直接開平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
7．使式子的值為0的x的值為(　C　)
A．3或1 B．3
C．1 D．－3或－1
8．已知代數式3－x與－x2＋3x的值互為相反數，則x的值是(　A　)
A．－1或3 B．1或－3
C．1或3 D．－1和－3
9．已知一元二次方程x2－10x＋24＝0的兩個根是菱形的兩條對角線長，則這個菱形的面積為(　C　)
A．6 B．10
C．12 D．24
10．若實數k，b是一元二次方程(x＋3)(x－1)＝0的兩個根，且k＜b，則一次函數y＝kx＋b 的圖象不經過(　C　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．若直角三角形的兩邊長分別是方程x2－7x＋12＝0的兩根，則該直角三角形的面積是(　D　)
A．6 B．12
C．12或 D．6或
12．一個等腰三角形的底邊長是6，腰長是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一個根，則此三角形的周長是(　A　)
A．16 B．12
C．14 D．12或16
13．若實數x，y滿足(x2＋y2＋5)(x2＋y2－8)＝0，則x2＋y2的值為(　D　)
A．8或－5 B．5
C．－5 D．8
14．現定義運算“?”，對于任意實數a，b，都有a?b＝a2－3a＋b．如：3?5＝32－3×3＋5．若x?2＝6，則實數x的值是 4或－1 ．
15．如圖，已知A，B，C是數軸上異于點O的三個點，且點O為AB的中點，點B為AC的中點．若點B對應的數是x，點C對應的數是x2－3x，則x＝ 6 ．
16．解方程：
(1)x2－2x－5＝0；(用配方法)
(2)x2－2x－4＝0；(用公式法)
(3)(x＋1)2＝3(x＋1)；(用因式分解法)
(4)2x2＋3x＝1．(選擇適當的方法)
解：(1)x2－2x－5＝0．
x2－2x＝5，x2－2x＋1＝5＋1，(x－1)2＝6，
x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－．
(2)x2－2x－4＝0，
這里a＝1，b＝－2，c＝－4，
b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－4)＝36＞0，
∴x＝＝＝±3．
∴x1＝＋3，x2＝－3．
(3)(x＋1)2＝3(x＋1)，
(x＋1)2－3(x＋1)＝0，
(x＋1)(x＋1－3)＝0，
(x＋1)(x－2)＝0，
∴x＋1＝0或x－2＝0．
∴x1＝－1，x2＝2．
(4)2x2＋3x＝1，2x2＋3x－1＝0，
這里a＝2，b＝3，c＝－1，
b2－4ac＝32－4×2×(－1)＝17＞0，
∴x＝＝．
∴x1＝，x2＝．
17．小麗與小霞兩位同學解方程3(x－3)＝(x－3)2的過程如下：
小麗： 兩邊同時除以(x－3)，得 3＝x－3， 解得x＝6． 小霞： 移項，得3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0． 所以x－3＝0或3－x－3＝0， 解得x1＝3，x2＝0
(1)你認為她們的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出正確的解答過程．
(2)請結合上述題目總結：形如ax2＝bx(a≠0)的一元二次方程的一般解法．
解：(1)她們的解法都不正確．正確的解答過程如下：
移項，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0，
∴x－3＝0或6－x＝0，解得x1＝3，x2＝6．
(2)ax2＝bx(a≠0)的一般解法：
移項，得ax2－bx＝0，
提取公因式，得x(ax－b)＝0，
∴x＝0或ax－b＝0，解得x1＝0，x2＝．
【創新運用】
18．閱讀材料，解答問題．
解方程：(4x－1)2－10(4x－1)＋24＝0．
解：把4x－1視為一個整體，
設4x－1＝y，
則原方程可化為y2－10y＋24＝0．
解得y1＝6，y2＝4．
∴4x－1＝6或4x－1＝4．
∴x1＝，x2＝．
以上方法為換元法．換元法能達到簡化或降次的目的，體現了轉化的思想．
請仿照材料解下列方程：
(1)x4－x2－6＝0；
(2)(x2－2x)2－5x2＋10x－6＝0．
解：(1)設x2＝y，
則原方程可化為y2－y－6＝0，
整理，得(y－3)(y＋2)＝0，
解得y1＝3，y2＝－2．
當y＝3時，即x2＝3，∴x＝±．
當y＝－2時，x2＝－2無解．
∴原方程的解為x1＝，x2＝－．
(2)設x2－2x＝y，
則原方程可化為y2－5y－6＝0，
整理，得(y－6)(y＋1)＝0，
解得y1＝6，y2＝－1．
當y＝6時，即x2－2x＝6，
解得x1＝1＋，x2＝1－．
當y＝－1時，即x2－2x＝－1，
解得x3＝x4＝1．
綜上所述，原方程的解為x1＝1＋，x2＝1－，x3＝1．
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