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課時分層訓練(二十一)　一元二次方程根的判別式
知識點一　用根的判別式判定根的情況
1．關于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情況是(　A　)
A．有兩個不相等的實數根
B．有兩個相等的實數根
C．只有一個實數根
D．沒有實數根
2．下列一元二次方程中，無實數根的是(　D　)
A．x2－2x－3＝0 B．x2＋3x＋2＝0
C．x2－2x＋1＝0 D．x2＋2x＋3＝0
3．關于x的一元二次方程x2＋mx－m－2＝0的根的情況是(　A　)
A．有兩個不相等的實數根
B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根
D．實數根的個數由m的值確定
知識點二　根據判別式求字母的值或取值范圍
4．若關于x的一元二次方程x2－2x－k＝0沒有實數根，則k的值可以是(　A　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
5．已知關于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x－3＝0有實數根，則m的取值范圍是(　D　)
A．m≥ B．m＜
C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
6．已知關于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有兩個實數根，則－()2的化簡結果是(　A　)
A．－1 B．1
C．－1－2k D．2k－3
7．若一元二次方程x2＋x－c＝0沒有實數根，則c的取值范圍是 c＜－ ．
8．若關于x的一元二次方程x2－4x＋m－1＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是 m＜5 ．
9．若關于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有兩個不相等的實數根，則化簡代數式－|m－1|的結果為 1 ．
10．若關于x的一元二次方程x2－2x＋2＝3k有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍為(　A　)
A．k＞ B．k＞1
C．k＜1 D．k＞
11．已知a，b，c是△ABC的三邊長，且關于x的方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的兩根相等，則△ABC為(　C　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．任意三角形
12．已知一次函數y＝kx＋b(k，b是常數，且k≠0)的圖象如圖所示，則關于x的方程x2＋x＋k－b＝0的根的情況是(　D　)
A．無法判定
B．沒有實數根
C．有兩個相等的實數根
D．有兩個不相等的實數根
13．若關于x的一元二次方程2x(kx－4)－x2＋6＝0沒有實數根，那么k的最小整數值是 2 ．
14．不解方程，判斷方程根的情況：
(1)y2－2y－3＝0；
(2)2x2－x＋1＝0；
(3)4x2－4x＋1＝0．
解：(1)∵Δ＝4＋12＝16＞0，
∴此方程有兩個不相等的實數根．
(2)∵Δ＝1－8＝－7＜0，
∴此方程沒有實數根．
(3)∵Δ＝16－16＝0，
∴此方程有兩個相等的實數根．
15．若關于x的方程(m＋2)x2－4x＋1＝0有兩個不相等的實數根．
(1)求m的取值范圍；
(2)當m為正整數時，求方程的根．
解：(1)由題意，得m＋2≠0，(－4)2－4×(m＋2)＞0，解得m＜2且m≠－2．
(2)∵m＜2，m為正整數，∴m＝1．
則原方程可化為3x2－4x＋1＝0，
(3x－1)(x－1)＝0，解得x1＝，x2＝1．
16．已知關于x的方程x2－(m＋1)x＋2(m－1)＝0．
(1)求證：無論m取何值，這個方程總有實數根；
(2)若等腰三角形ABC的一邊長為6，另兩邊恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
(1)證明：∵Δ＝[－(m＋1)]2－4×2(m－1)＝m2－6m＋9＝(m－3)2≥0，
∴無論m取何值，這個方程總有實數根．
(2)解：①當方程的一根為6時，將x＝6代入原方程，
得36－6(m＋1)＋2(m－1)＝0，解得m＝7．
∴原方程為x2－8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6．
∵2，6，6能組成三角形，
∴此時△ABC的周長為2＋6＋6＝14．
②若6是底邊，則關于x的方程x2－(m＋1)x＋2(m－1)＝0有兩個相等的實數根，
由(1)可知，m＝3，∴原方程為x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2．
∴三邊長為2，2，6．
∵2，2，6不能構成三角形，舍去，
∴△ABC的周長為14．
【創新運用】
17．關于x的一元二次方程(1－2k)x2－2x＝1．
(1)若k＝0，求此方程的根；
(2)若此方程有兩個相等的實數根，求這個方程的解；
(3)若方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍．
解：(1)當k＝0時，原方程為x2－2x＝1，
∴x2－2x＋1＝1＋1，即(x－1)2＝2．
∴x－1＝±．
∴x1＝1＋，x2＝1－．
(2)∵關于x的一元二次方程(1－2k)x2－2x＝1有兩個相等的實數根，
∴Δ＝(－2)2－4×(1－2k)×(－1)＝0，且k＋1≥0，1－2k≠0，解得k＝2．
故原方程為3x2＋2x＋1＝0，
∴(x＋1)2＝0．∴x1＝x2＝－．
(3)∵關于x的一元二次方程(1－2k)x2－2x＝1有兩個不相等的實數根，
∴k＋1≥0且1－2k≠0，
Δ＝(－2)2－4×(1－2k)×(－1)＞0，解得－1≤k＜2且k≠．
∴k的取值范圍是－1≤k＜2且k≠．
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