資源簡介

課時分層訓練(二十二)　*一元二次方程根與系數的關系
知識點一　利用根與系數的關系確定方程的根
1．若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一個根，則此方程的另一個根是(　B　)
A．x＝－1 B．x＝0
C．x＝1 D．x＝2
2．關于x的方程2x2＋mx－4＝0的一個根為x＝1，則另一個根為 x＝－2 ．
知識點二　利用根與系數的關系求代數式的值
3．若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的兩個根，則(　A　)
A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6
C．x1x2＝ D．x1x2＝7
4．已知關于x的一元二次方程x2－2x－a＝0的兩個根分別記為x1，x2，若x1＝－1，則的值為(　B　)
A．7 B．－7
C．6 D．－6
5．若關于x的方程x2－x－1＝0的兩個根分別為x1，x2，則x1＋x2－x1x2的值為 2 ．
6．設x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的兩個實數根，則的值為 10 ．
7．設x1與x2為一元二次方程x2＋3x＋2＝0的兩個根，則(x1－x2)2的值為 20 ．
知識點三　利用根與系數的關系求字母的值
8．已知關于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的兩個實數根分別為x1，x2，且＝5，則k的值是(　D　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
9．已知關于x的方程x2－(k＋4)x＋4k＝0(k≠0)的兩個實數根為x1，x2．若＝3，則k＝ ．
10．已知關于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有x1，x2兩個實數根．
(1)若x1＝1，求x2及m的值．
(2)是否存在實數m，滿足(x1－1)·(x2－1)＝？若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．
解：(1)根據題意，得x1＋x2＝6，
x1x2＝2m－1，Δ＝(－6)2－4(2m－1)≥0，
解得m≤5．
∵x1＝1，
∴1＋x2＝6，x2＝2m－1．
∴x2＝5，m＝3．
(2)存在．
∵(x1－1)(x2－1)＝，
∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝，
即2m－1－6＋1＝，
解得m1＝2，m2＝6．
經檢驗，m1＝2，m2＝6為原方程的解．
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
11．已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的兩個根，則m2＋mn＋2m的值為(　A　)
A．0 B．－10
C．3 D．10
12．若關于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的兩個實數根為x1，x2，且滿足x1x2＝2，則＋2)的值是(　B　)
A．8 B．32
C．8或32 D．16或40
13．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0時，小紅看錯了常數項q，得到方程的兩個根是－3，1；小明看錯了一次項系數p，得到方程的兩個根是5，－4．原來的方程是(　B　)
A．x2＋2x－3＝0
B．x2＋2x－20＝0
C．x2－2x－20＝0
D．x2－2x－3＝0
14．關于x的方程(x－1)(x＋2)＝p2(p為常數)的根的情況，下列結論正確的是(　D　)
A．兩個正根
B．兩個負根
C．兩根異號，且正根的絕對值較大
D．兩根異號，且負根的絕對值較大
解析：∵關于x的方程(x－1)(x＋2)＝p2(p為常數)，∴x2＋x－2－p2＝0．
∴b2－4ac＝1＋8＋4p2＝9＋4p2＞0．
∴方程有兩個不相等的實數根．
根據根與系數的關系，方程的兩個根的積為－2－p2＜0，方程的兩個根的和為－1，∴一個正根，一個負根，且負根的絕對值較大．
15．若實數a，b分別滿足a2－4a＋3＝0，b2－4b＋3＝0，且a≠b，則的值為 ．
16．已知實數a，b滿足＋|b＋3|＝0，若關于x的一元二次方程x2－ax＋b＝0的兩個實數根分別為x1，x2，則＝ － ．
17．已知關于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有兩個不相等的實數根．
(1)求實數m的取值范圍；
(2)若該方程的兩個根都是符號相同的整數，求整數m的值．
解：(1)根據題意，得Δ＝(－4)2－4(－2m＋5)＞0，解得m＞．
∴實數m的取值范圍為m＞．
(2)設x1，x2是方程的兩根．
根據題意，得x1＋x2＝4＞0，x1x2＝－2m＋5＞0，解得m＜．
又m＞，∴m的取值范圍為＜m＜．∵m為整數，∴m＝1或m＝2．
當m＝1時，方程兩根都是整數；
當m＝2時，方程兩根都不是整數．
∴整數m的值為1．
【創新運用】
18．x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實數根，若滿足|x1－x2|＝1，則將此類方程稱為“差根方程”．根據差根方程的定義，解決下列問題：
(1)通過計算，判斷下列方程是否是差根方程：
①x2－4x－5＝0；
②2x2－2x＋1＝0．
(2)已知關于x的方程x2＋2ax＝0是差根方程，求a的值．
(3)若關于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常數，a＞0)是差根方程，請探索a與b之間的數量關系．
解：(1)①設x1，x2是一元二次方程x2－4x－5＝0的兩個實數根．
由題意，得x1＋x2＝4，x1x2＝－5，
∴|x1－x2|＝
＝＝6．
∴方程x2－4x－5＝0不是差根方程．
②設x1，x2是一元二次方程2x2－2x＋1＝0的兩個實數根．
由題意，得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝
＝＝1．
∴方程2x2－2x＋1＝0是差根方程．
(2)將x2＋2ax＝0因式分解，
得x(x＋2a)＝0，解得x1＝0，x2＝－2a．∵關于x的方程x2＋2ax＝0是差根方程，
∴|2a|＝1．∴2a＝±1，解得a＝±．
(3)設x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常數，a＞0)的兩個實數根．
由題意，得x1＋x2＝－，x1x2＝．
∵關于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常數，a＞0)是差根方程，
∴|x1－x2|＝＝1，
即＝1，∴b2＝a2＋4a．
5/5

展開更多......

收起↑