資源簡介

第4章成果展示　一元二次方程
(時間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)
1．關(guān)于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化為一般形式后不含一次項(xiàng)，則m的值為(　D　)
A．0 B．±3
C．3 D．－3
2．如果關(guān)于x的方程(m－3)xm2－2m－1＋mx＋1＝0是一元二次方程，那么m的值為(　A　)
A．－1 B．－1或3
C．3 D．1或－3
3．一元二次方程x2－2x－3＝p2的根的情況是(　B　)
A．無實(shí)數(shù)根
B．有一個正根，一個負(fù)根
C．有兩個負(fù)根
D．有兩個正根
4．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，變形后的結(jié)果正確的是(　D　)
A．(x＋10)2＝9 B．(x＋10)2＝16
C．(x＋5)2＝9 D．(x＋5)2＝16
5．定義新運(yùn)算：a*b＝a(1－b)．若a，b是方程x2－x＋m＝0(m＜1)的兩根，則b*b－a*a的值為(　A　)
A．0 B．1
C．2 D．與m有關(guān)
6．若a≠b，且a2－4a＋1＝0，b2－4b＋1＝0，則的值為(　B　)
A． B．1
C．4 D．3
7．若x＝3是關(guān)于x的一元二次方程x2－ax－a2＝0(a>0)的一個根，下面對a的值估計(jì)正確的是(　C　)
A．2＜a＜＜a＜2
C．1＜a＜＜a＜1
8．某商品經(jīng)過兩次降價，售價由原來的每件25元降到每件16元，已知兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為(　A　)
A．20% B．25%
C．30% D．36%
9．如圖，把長40 cm、寬30 cm的矩形紙板剪掉2個小正方形和2個小矩形(陰影部分即剪掉部分)，將剩余的部分折成一個有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長為x cm(紙板的厚度忽略不計(jì))．若折成長方體盒子的表面積是950 cm2，則x的值是(　D　)
A．3 cm B．4 cm
C．4.8 cm D．5 cm
10．已知關(guān)于x的一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，下列判斷正確的是(　C　)
A．1一定不是關(guān)于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
B．0一定不是關(guān)于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
C．1和－1不都是關(guān)于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
D．1和－1都是關(guān)于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
解析：∵關(guān)于x的一元二次方程＋2bx＋(a＋1)＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
∴
∴b＝a＋1或b＝－(a＋1)，a≠－1．
當(dāng)b＝a＋1時，有a－b＋1＝0，此時－1是方程x2＋bx＋a＝0的根；
當(dāng)b＝－(a＋1)時，有a＋b＋1＝0，此時1是方程x2＋bx＋a＝0的根．
∵a＋1≠0，∴a＋1≠－(a＋1)．
∴1和－1不都是關(guān)于x的方程x2＋bx＋a＝0的根．
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．若關(guān)于x的方程x2＋ax－2＝0有一個根是1，則a＝ 1 ．
12．已知方程x2－3x－4＝0的根為x1，x2，則(x1＋2)·(x2＋2)的值為 6 ．
13．我們定義＝ad－bc，如：
＝2×5－3×4＝－2．依據(jù)定義，＝ 1 ；若＝x＋10，則x＝ －10或 ．
14．根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個物體從地面以10 m/s的速度豎直上拋(如圖所示)，那么物體經(jīng)過x s離地面的高度(單位：m)為10x－4.9x2．根據(jù)上述規(guī)律，該物體落回地面所需要的時間x約為 2 s．(結(jié)果保留整數(shù))
15．某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，采取了降價措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件計(jì)劃降價1元，那么商場平均每天可多售出2件．若商場平均每天要盈利1 200元，則每件襯衫應(yīng)降價 10元或20元 ．
16．如圖，在△ABC中，AB＝7 cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB方向以1 cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC方向以2 cm/s的速度移動．如果P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，那么經(jīng)過 2或5或 s后△PBQ的面積等于5 cm2．
三、解答題(本大題共6個小題，共56分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(6分)解方程：
(1)(2x－1)(x＋3)＝4；
(2)2(x－3)2＝5(3－x)．
解：(1)方程整理，得2x2＋5x－7＝0，
分解因式，得(x－1)(2x＋7)＝0，
∴x－1＝0或2x＋7＝0，
解得x1＝1，x2＝－．
(2)方程整理，得2(x－3)2＋5(x－3)＝0，
分解因式，得(x－3)(2x－6＋5)＝0，
∴x－3＝0或2x－1＝0，
解得x1＝3，x2＝．
18．(8分)已知關(guān)于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0有兩個實(shí)數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且＝6x1x2－15，求k的值．
解：(1)∵方程有兩個實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝[－(k＋1)]2－4×1×＝2k－3≥0，
解得k≥．
(2)由題知x1＋x2＝－＝k＋1，
x1x2＝＝k2＋1．
＝6x1x2－15，
∴(x1＋x2)2－8x1x2＋15＝0,
即(k＋1)2－8＋15＝0．
整理，得k2－2k－8＝0，解得k1＝4，k2＝－2．
又∵k≥，∴k＝4．
19．(10分)某地計(jì)劃對矩形廣場進(jìn)行擴(kuò)建改造．如圖，原廣場長50 m，寬40 m，要求擴(kuò)充后的矩形廣場長與寬的比為3∶2．?dāng)U充區(qū)域的擴(kuò)建費(fèi)用為每平方米30元，擴(kuò)建后在原廣場和擴(kuò)充區(qū)域都鋪設(shè)地磚，鋪設(shè)地磚費(fèi)用為每平方米100元．若計(jì)劃總費(fèi)用為642 000元，則擴(kuò)充后廣場的長和寬應(yīng)分別為多少？
解：設(shè)擴(kuò)充后廣場的長為3x m，寬為2x m．
依題意，得3x 2x 100＋30(3x 2x－50×40)＝642 000，
解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．
∴3x＝90，2x＝60．
答：擴(kuò)充后廣場的長為90 m，寬為60 m．
20．(10分)若a2＋b2＝c2，則我們把形如ax2＋cx＋b＝0(a≠0)的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．
(1)當(dāng)a＝3，b＝4時，寫出相應(yīng)的“勾系一元二次方程”；
(2)求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0(a≠0)必有實(shí)數(shù)根．
(1)解：當(dāng)a＝3，b＝4時，得c＝±5，相應(yīng)的“勾系一元二次方程”為3x2±5x＋4＝0．
(2)證明：根據(jù)題意，得Δ＝(c)2－4ab
＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a－b)2≥0，即Δ≥0，
∴關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0(a≠0)必有實(shí)數(shù)根．
21．(10分)菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計(jì)劃以每千克5元的單價對外批發(fā)銷售，由于部分菜農(nóng)盲目擴(kuò)大種植，造成該蔬菜滯銷．李偉為了加快銷售，減少損失，對價格連續(xù)兩次下調(diào)，以每千克3.2元的單價對外批發(fā)銷售．
(1)求平均每次下調(diào)的百分率．
(2)小華準(zhǔn)備到李偉處購買5 t該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：
方案一：打九折銷售；
方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元．
問：小華選擇哪種方案更優(yōu)惠？請說明理由．
解：(1)設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x．
由題意，得5(1－x)2＝3.2，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不符合題意，舍去)．
答：平均每次下調(diào)的百分率是20%．
(2)小華選擇方案一購買更優(yōu)惠．理由如下：
方案一所需費(fèi)用為3.2×0.9×5 000＝14 400(元)；
方案二所需費(fèi)用為3.2×5 000－200×5＝15 000(元)．
∵14 400＜15 000，
∴小華選擇方案一購買更優(yōu)惠．
22．(12分)已知關(guān)于x的一元二次方程mx2＋(3m＋1)x＋3＝0(m≠0)．
(1)求證：方程有兩個實(shí)數(shù)根；
(2)若m為正整數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程mx2＋(3m＋1)x＋3＝0(m≠0)的兩個根都是整數(shù)，x1與x1＋n(n≠0)分別是關(guān)于x的方程mx2＋(3m＋1)x＋3－b＝0的兩個根，求代數(shù)式＋12x1n＋5n2＋16n＋8的值．
(1)證明：由題意可知Δ＝(3m＋1)2－4m×3＝9m2－6m＋1＝(3m－1)2≥0，
∴方程有兩個實(shí)數(shù)根．
(2)解：設(shè)關(guān)于x的一元二次方程mx2＋(3m＋1)x＋3＝0(m≠0)的兩個根為a，b．
由題意，得a＋b＝－＝－3－，ab＝．
∵a與b是整數(shù)，∴與同為整數(shù)．
∵m是正整數(shù)，∴m＝1．
∴方程為x2＋4x＋3＝0．
∴x1與x1＋n(n≠0)分別是關(guān)于x的方程x2＋4x＋3－b＝0的兩個根．
∴x1＋x1＋n＝－4．∴x1＝－．
∴原式＝4＋12n＋5n2＋16n＋8＝24．
6/6

展開更多......

收起↑