資源簡介

專項突破提升(一)　與相似有關的典型應用
類型一　經典A字型相似
1．(4分)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且＝＝．下列結論正確的是(　D　)
A．DE∶BC＝1∶2
B．△ADE與△ABC的面積比為1∶3
C．△ADE與△ABC的周長比為1∶2
D．DE∥BC
2．(4分)邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一條直線上(如圖)，則圖中陰影部分的面積為 15 ．
解析：∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE．∴＝．
∵AB＝4，AD＝4＋6＋10＝20，DE＝10，
∴＝．∴BF＝2．
∴GF＝6－2＝4．
∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE．
∴＝．
∵AC＝4＋6＝10，AD＝20，DE＝10，
∴＝．∴CK＝5．
∴HK＝6－5＝1．
∴陰影部分的面積＝(HK＋GF)·GH＝×(1＋4)×6＝15．
類型二　經典X字型相似
3．(4分)如圖，AB∥CD，AC，BD相交于點E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，則BD的長為(　C　)
A． B．4
C． D．6
4．(4分)如圖，在△ABC中，CD，BE分別是△ABC的邊AB，AC上的中線，則＝(　D　)
A．
C．
5．(6分)如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，連接ED，求證：△ABC∽△ADE．
證明：∵BD，CE分別是邊AC，AB上的高，
∴∠BEC＝∠BDC．
∵∠BOE＝∠COD，∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE．
∴＝．∴＝．
∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE．
類型三　一線三等角型相似
6．(4分)如圖，AB⊥BD于點B，ED⊥BD于點D，AB＝2，DE＝4，BD＝6，C為線段BD上一點，連接AC，CE．若AC⊥CE，則BC的值為(　B　)
A．3 B．2或4
C． D．2或3
7．(12分)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點P，Q分別在射線CB，AC上(點P不與點C、點B重合)，且保持∠APQ＝∠ABC．
(1)若點P在線段CB上(如圖)，且BP＝6，求線段CQ的長；
(2)若CP＝x，CQ＝y，求y與x之間的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍．
　
解：(1)∵∠APQ＋∠CPQ＝∠B＋∠BAP，∠APQ＝∠B，∴∠BAP＝∠CPQ．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∴△CPQ∽△BAP．∴＝．
∵AB＝AC＝5，BC＝8，BP＝6，CP＝8－6＝2，
∴＝．∴CQ＝．
(2)分兩種情況：
①若點P在線段CB上，則0由(1)知＝．
∵CP＝x，BC＝8，∴BP＝BC－CP＝8－x．
∵CQ＝y，AB＝5，
∴＝，即y＝－x2＋x．
②如圖，若點P在線段CB的延長線上，則x>8．
∵∠APQ＝∠APB＋∠CPQ，∠ABC＝∠APB＋∠PAB，∠APQ＝∠ABC，
∴∠CPQ＝∠PAB．
∵∠ABP＝180°－∠ABC，∠PCQ＝180°－∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABP＝∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．
∴＝．
∵CP＝x，BP＝CP－CB＝x－8，AB＝5，CQ＝y，∴＝，即y＝x2－x(x＞8)．
綜上所述，y與x之間的函數表達式為
y＝
類型四　旋轉型相似
8．(4分)如圖，∠ACB＝∠ADC＝90°，AB＝5，AC＝4．若△ABC∽△ACD，則AD＝ ．
9．(8分)如圖，若∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC．求證：
(1)△ADE∽△ABC；
(2)＝．
證明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE．
∴∠DAE＝∠BAC．
又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC．
(2)由(1)知△ADE∽△ABC，∴＝．
∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC．
∴＝．
類型五　共角子母型相似
10．(4分)如圖，在△ABC中，∠ACD＝∠B．若AD＝3，BD＝5，則AC的長為(　B　)
A． B．2
C． D．8
11．(8分)如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，E為AC的中點，ED的延長線與AB的延長線交于點F．求證：＝．
證明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，
∴∠BAC＝∠ADB＝90°．
又∵∠CBA＝∠ABD，∴△ABC∽△DBA．
∴＝，∠BAD＝∠C．
∵AD⊥BC于點D，E為AC的中點，
∴DE＝EC＝EA．∴∠BDF＝∠CDE＝∠C．
∴∠BDF＝∠BAD．
又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF．
∴＝．∴＝．
12．(8分)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．
(1)證明：△ABD∽△CBA；
(2)若AB＝6，BC＝10，求BD的長．
(1)證明：∵AD是斜邊BC上的高，
∴∠BDA＝90°．
∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC．
∵∠B為公共角，∴△ABD∽△CBA．
(2)解：由(1)知△ABD∽△CBA，
∴＝．∴＝．∴BD＝3.6．
類型六　四邊形中的相似
13．(4分)如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E，F分別為邊BC，CD的中點，BF，DE相交于點G，過點E作EH∥CD，交BF于點H，則線段GH的長為(　A　)
A． B．1
C．
14．(4分)如圖，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，點E，F分別在邊AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于點G．若G是EF的中點，則BG的長為 cm．
類型七　相似三角形中的動點問題
15．(4分)如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為BC的中點，兩個動點M和N分別在邊CD和AD上運動，且MN＝1．若△ABE與以D，M，N為頂點的三角形相似，則DM的長為(　D　)
A．
C．或 或
類型八　平移問題中的相似
16．(4分)如圖，將△ABC沿邊BC向右平移得到△DEF，DE交AC于點G．若BC∶EC＝3∶1，S△ADG＝16，則S△CEG的值為 4 ．
類型九　等高三角形與相似三角形面積綜合
17．(4分)如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，DE∥AC．若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，DC，AE交于點F，則＝(　D　)
A．
C．
類型十　相似三角形的應用
18．(4分)如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條邊DF＝50 cm，EF＝30 cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5 m，CD＝20 m，則樹高AB為(　D　)
A．12 m B．13.5 m
C．15 m D．16.5 m
19．(6分)小紅用下面的方法來測量學校教學大樓AB的高度．如圖，在水平地面的點E處放一面平面鏡，鏡子與教學大樓的距離AE＝20 m．當她與鏡子的距離CE＝2.5 m時，她剛好能從鏡子中看到教學大樓的頂端B．已知她的眼睛距地面的高度DC＝1.6 m，請你幫助小紅計算出大樓AB的高度．(注：反射角＝入射角)
解：∵根據反射定律知，∠FEB＝∠FED，
∴∠BEA＝∠DEC．
∵∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△BAE∽△DCE．
∴＝．
∵CE＝2.5 m，DC＝1.6 m，AE＝20 m，
∴＝，解得AB＝12.8．
答：大樓AB的高度為12.8 m．
8/8

展開更多......

收起↑