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專項突破提升(二)　解直角三角形的基本模型
模型一　背靠背型
1．(8分)我國古代人民在公元前2世紀就制成了世界上最早的潛望鏡．如圖1所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．在圖2中，AB呈水平狀態，AE，CD為法線，∠BCD＝∠ACD＝41°，∠CAE＝37°，AE⊥AB，已知AB＝11 m，求鏡面上點C到水盆A的距離．(結果精確到0.1 m．參考數據：sin 82°≈0.99，cos 82°≈0.14，tan 82°≈7.12)
解：如圖，過點A作AF⊥BC，垂足為點F，則∠AFB＝∠AFC＝90°．
∵EA⊥AB, ∴∠EAB＝90°．
∵∠BCD＝∠ACD＝41°，∴∠ACB＝82°．
∵∠CAE＝37°，
∴∠CAB＝∠EAB－∠EAC＝53°．
∴∠ABC＝180°－∠CAB－∠ACB＝45°．
在Rt△ABF中，∠ABC＝45°，
∴AF＝AB·sin 45°＝11＝11(m)．
在Rt△ACF中，∠ACB＝82°，
∴AC＝≈≈11.1(m)．
∴鏡面上點C到水盆A的距離約為11.1 m．
2．(8分)為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面AB的坡度i＝3∶4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD的長度為20 m，∠C＝18°，求斜坡AB的長．(結果精確到0.1 m．參考數據：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
解：如圖，過點D作DE⊥BC，垂足為點E．
由題意，得AF⊥BC，DE＝AF．
∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝．
∴設AF＝3x m，BF＝4x m．
在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x(m)．
在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20 m，
∴DE＝CD·sin 18°≈20×0.31＝6.2(m)．
∴AF＝DE＝6.2 m．∴3x＝6.2，
解得x＝．∴AB＝5x≈10.3(m)．
∴斜坡AB的長約為10.3 m．
模型二　子母型
3．(8分)如圖，燈塔A周圍9 km內有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續航行6 km后到達C處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續向西航行，有沒有觸礁的危險？(參考數據：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625，sin 58°≈0.848，cos 58°≈0.530，tan 58°≈1.6)
解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D．
設AD＝x km．
由題意，得∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，
BC＝6 km．
在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝x km．
在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝，
∴BD＝≈＝6＋x，解得x＝10．
∵10＞9，
∴如果漁船不改變航線繼續向西航行，沒有觸礁的危險．
4．(10分)暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區登山，需要登頂600 m高的山峰，如圖所示，由山底A處先步行300 m到達B處，再由B處乘坐登山纜車到達山頂D處．已知點A，B，D，E，F在同一平面內，山坡AB的坡角為30°，纜車行駛路線BD與水平面的夾角為53°．(換乘登山纜車的時間忽略不計)
(1)求登山纜車上升的高度DE；
(2)若步行速度為30 m/min，登山纜車的速度為60 m/min，求從山底A處到達山頂D處大約需要多少分鐘．(結果精確到0.1 min．參考數據：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
解：(1)如圖，過點B作BM⊥AF于點M．
由題意可知∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600 m，AB＝300 m．
在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300 m，
∴BM＝AB＝150 m＝EF．
∴DE＝DF－EF＝600－150＝450(m)．
答：登山纜車上升的高度DE為450 m．
(2)在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450 m，
∴BD＝≈＝562.5(m)．
∴需要的時間t＝t步行＋t纜車＝≈19.4(min)．
答：從山底A處到達山頂D處大約需要19.4 min．
5．(10分)某景區為給游客提供更好的游覽體驗，擬在景區內修建如圖1所示的觀光索道．設計示意圖如圖2所示，以山腳A為起點，沿途修建AB，CD兩段長度相等的觀光索道，最終到達山頂D處，中途設計了一段與AF平行的觀光平臺BC，長為50 m．索道AB與AF的夾角為15°，CD與水平線的夾角為45°，A，B兩處的水平距離AE為576 m，DF⊥AF，垂足為點F．(圖中所有點都在同一平面內，點A，E，F在同一水平線上)
(1)求索道AB的長；(結果精確到1 m)
(2)求水平距離AF的長．(結果精確到1 m．參考數據：sin 15°≈0.25，cos 15°≈0.96，tan 15°≈0.26，≈1.41)
解：(1)在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
∠A＝15°，AE＝576 m，
∴AB＝＝≈＝600(m)，
即索道AB的長約為600 m．
(2)如圖，延長BC交DF于點G．
∵BC∥AE，∴∠CBE＝90°．
∵DF⊥AF，∴∠AFD＝90°．
∴四邊形BEFG為矩形．
∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°．
∵CD＝AB＝600 m，∠DCG＝45°，
∴CG＝CD·cos ∠DCG＝600×cos 45°＝600×＝300(m)．
∴AF＝AE＋EF＝AE＋BG＝AE＋BC＋CG＝576＋50＋300≈1 049(m)，
即水平距離AF的長約為1 049 m．
模型三　擁抱型
6．(10分)如圖，在數學活動課中，小敏為了測量校園內旗桿CD的高度，先在教學樓的底端A處，觀測到旗桿頂端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教學樓上的B處，觀測到旗桿底端D的俯角是30°，已知教學樓AB高4 m．
(1)求教學樓與旗桿的水平距離AD的長；(結果保留根號)
(2)求旗桿CD的高度．
解：(1)∵在教學樓B處觀測到旗桿底端D的俯角是30°，∴∠ADB＝30°．
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4 m，
∴AD＝＝＝4(m)，
即教學樓與旗桿的水平距離AD的長是4 m．
(2)在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，
∠CAD＝60°，AD＝4 m，
∴CD＝AD·tan 60°＝4＝12(m)，
即旗桿CD的高度是12 m．
7．(8分)如圖，某校綜合實踐小組在兩棟樓之間的水平地面E處放置一個測角儀，經測量，∠AEB＝53°，∠CED＝45°，已知BE＝60 m，ED＝20 m．求兩棟樓樓頂A，C之間的距離．
解：如圖，過點C作CF⊥AB于點F．
在Rt△CED中，∠CED＝45°，
∴△CED是等腰直角三角形．
∴CD＝DE＝20 m．
在Rt△ABE中，∠AEB＝53°，
∴tan ∠AEB＝tan 53°＝＝．
∴＝．∴AB＝80 m．
由題意，得 BF＝CD＝DE＝20 m，
CF＝BD＝BE＋ED＝80 m，
∴AF＝AB－BF＝80－20＝60(m)．
在 Rt△ACF中，AC＝＝100 m，
∴兩棟樓樓頂A，C之間的距離為100 m．
模型四　其他類型
8．(8分)如圖，某數學小組探究筆記本電腦打開角度對用眼舒適度的影響，當張角∠AOB＝150°時，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長為11 cm，此時用眼舒適度不太理想．小組成員調整張角大小繼續探究，最后發現當張角∠A′OB＝108°時(點A′是點A的對應點)，用眼舒適度較為理想．求此時頂部邊緣A′處離桌面的高度A′D的長．(結果精確到1 cm．參考數據：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
解：∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°－∠AOB＝30°．
在Rt△ACO中，AC＝11 cm,
∴AO＝2AC＝22 cm．
由題意，得AO＝A′O＝22 cm．
∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°－∠A′OB＝72°．
∴∠OA′D＝90°－∠A′OD＝18°．
在Rt△A′DO中，A′D＝A′O·cos ∠OA′D＝A′O·cos 18°≈22×0.95≈21(cm)．
∴此時頂部邊緣A′處離桌面的高度A′D的長約為21 cm．
9．(10分)下圖是某品牌籃球架示意圖，立柱OA垂直于地面OB，支架CD與OA交于點A，支架CG⊥CD交OA于點G，支架DE平行于地面OB，籃筐EF與支架DE在同一條直線上，OA＝2.7 m，AD＝0.8 m，∠AGC＝32°．(參考數據：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62)
(1)求∠GAC的度數．
(2)工人準備給籃筐掛上籃網，如果他站在凳子上，最高可以把籃網掛到離地面3 m處，那么他能掛上籃網嗎？請通過計算說明理由．
解：(1)∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°．
∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝180°－90°－32°＝58°．
(2)不能．理由如下：
如圖，延長OA，FD交于點H．
∵OA⊥OB，DE∥OB，
∴OH⊥EH．∴∠AHD＝90°．
∵∠DAH＝∠GAC＝58°，
∴∠ADH＝180°－90°－58°＝32°．
∵sin ∠ADH＝≈0.53，
∴AH≈0.53×0.8＝0.424(m)．
∴OH＝AH＋OA≈0.424＋2.7＝3.124(m)．
∵籃筐EF與支架DE在同一條直線上，
∴EF與地面的距離約為3.124 m．
∵3<3.124，∴他不能掛上籃網．
10．(10分)某數學小組開展了一次測量小山高度的活動，如圖，該數學小組從地面A處出發，沿坡角為53°的山坡AB行進一段距離到達B處，再沿著坡角為22°的山坡BC行進600 m到達C處，通過測量數據計算出小山的高CD＝612 m．
(1)已知BE⊥CD與CD交于點E，求BE的長度；
(2)求該數學小組行進的水平距離．(結果精確到1 m．參考數據：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.92，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)
解：(1)在Rt△BCE中，BC＝600 m，∠CBE＝22°，
∴BE＝BC·cos 22°≈600×0.92＝552(m)．
(2)如圖，過點B作BH⊥AD于點H，則四邊形BEDH是矩形．
∴DE＝BH，BE＝DH．
在Rt△BCE中，BC＝600 m，∠CBE＝22°，
∴CE＝BC·sin 22°≈600×0.37＝222(m)．
∵DH＝BE＝552 m，CD＝612 m，
∴BH＝DE＝CD－CE＝612－222＝390(m)．
在Rt△ABH中，∠BAH＝53°，
∴tan 53°＝．∴AH≈＝300(m)．
∴AD＝AH＋DH＝300＋552＝852(m)．
答：該數學小組行進的水平距離AD約為852 m．
11．(10分)我們在物理學科中學過：光線從空氣射入水中會發生折射現象(如圖1)，我們把n＝稱為折射率(其中α代表入射角，β代表折射角)．小明為了觀察光線的折射現象，設計了圖2所示的實驗，利用激光筆發射一束紅光，容器中不裝水時，光斑恰好落在B處，加水至EF處，光斑左移至C處．圖3是實驗的示意圖，四邊形ABFE為矩形，測得BF＝36 cm，DF＝48 cm．
(1)求入射角的度數；
(2)若光線從空氣射入水中的折射率n＝，求光斑移動的距離BC．
解：(1)如圖，設法線為MN，則MN∥BF．
∴∠BDN＝∠DBF＝∠PDM．
∵BF＝36 cm，DF＝48 cm，
∴tan ∠DBF＝＝＝．
∵tan 53°≈，∴入射角約為53°．
(2)如圖，過點D作DH⊥AB于點H．
∵n＝，α＝53°，
∴＝．∴sin β＝．
∴sin β＝＝．
設CH＝3x cm，CD＝5x cm，則 DH＝4x cm．
∴4x＝36，解得x＝9．∴CH＝27 cm．
∴BC＝BH－CH＝48－27＝21(cm)．
答：光斑移動的距離BC為21 cm．
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