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專項突破提升(三)　圓中輔助線的引入方法與規律
類型一　添加半徑，構造等腰三角形
1．(8分)如圖，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O為△ABC的外接圓，求⊙O的半徑．
解：如圖，連接OA，OB．
∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°．
在Rt△AOB中，OA2＋OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB，∴2OA2＝4．
∴OA＝(負值已舍去)．∴⊙O的半徑是．
類型二　遇弦添加過圓心的垂線段或圓的半徑
2．(8分)如圖，AB為⊙O的弦，點P在弦AB上．若⊙O的半徑為5，BP＝6，AP＝2，求OP的長度．
解：如圖，連接OA，過點O作OC⊥AB，垂足為點C．
∴AC＝BC＝AB＝×(2＋6)＝4．
在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4，
∴OC＝＝3．
在Rt△COP中，PC＝AC－AP＝4－2＝2，OC＝3，
∴OP＝＝，
即OP的長度為．
類型三　遇直徑構造直徑所對的圓周角
3．(8分)如圖，AB為半圓O的直徑，CD⊥AB于點D，求證：CD2＝AD·BD．
證明：如圖，連接AC，BC．
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ADC＝90°．
∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°．
∴∠A＋∠B＝90°．
∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°．
∴∠B＝∠ACD．∴△CDB∽△ADC．
∴＝．∴CD2＝AD·BD．
類型四　遇相切，過切點連圓心得半徑
4．(10分)如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點E在上，過點E作⊙O的切線，交AB的延長線于點F，∠BEF＝∠CAE．
(1)求證：AE平分∠BAC；
(2)若BF＝10，EF＝20，求AC的長．
(1)證明：如圖，連接OE，交BC于點G．
∵EF與⊙O相切于點E，
∴∠OEF＝90°．∴∠BEF＋∠OEB＝90°．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°．
∴∠EAB＋∠OBE＝90°．
∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．
∴∠BEF＝∠EAB．
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠EAB．∴AE平分∠BAC．
(2)解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°．
∵OA＝OE，∴∠BAE＝∠AEO．
∵∠CAE＝∠EAB，
∴∠CAE＝∠AEO．∴AC∥OE．
∴∠C＝∠OGB＝90°．∴CG＝BG．
∵OA＝OB，
∴OG是△ACB的中位線．∴AC＝2OG．
∵∠F＝∠F，∠BEF＝∠BAE，
∴△FEB∽△FAE．∴＝．
∴＝．∴AF＝40．
∴AB＝AF－BF＝40－10＝30．
∴OA＝OB＝OE＝AB＝15．
∵∠OGB＝∠OEF＝90°，
∴BC∥EF．∴＝．
∴＝，解得OG＝9．
∴AC＝2OG＝18．
類型五　作半徑，證垂直或作垂直，證半徑
5．(10分)如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠CAB的平分線AD交于點D，過點D作DE∥BC，交AC的延長線于點E．
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)過點D作DF⊥AB于點F，連接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的長．
(1)證明：如圖，連接OD．
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO．
∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD．
∴∠ADO＝∠DAE．∴OD∥AE．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．
∵DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝90°．
∵OD∥AE，∴∠ODE＝180°－∠E＝90°．
∴OD⊥DE．
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．
(2)解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°．
∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3．
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°．
∴∠ADB＝∠DFB．
∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD．
∴＝．∴BD2＝BF·BA＝2×6＝12．
∴BD＝2．
6．(10分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分線交AC于點O，以點O為圓心，OC為半徑，在△ABC同側作半圓O．
(1)求證：AB與半圓O相切；
(2)若AB＝5，AC＝4，求半圓O的半徑．
(1)證明：如圖，過點O作OH⊥AB于點H，則∠BHO＝∠BCO＝90°．
∵BO平分∠ABC，∠ACB＝90°，OH⊥AB，
∴OH＝OC．∴AB與半圓O相切．
(2)解：在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3．
∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴BC是半圓O的切線．
∵AB與半圓O相切，
∴BH＝BC＝3．∴AH＝AB－BH＝5－3＝2．
∵OH⊥AB，∴∠OHA＝∠BCA＝90°．
∵∠A＝∠A，∴△OAH∽△BAC．
∴＝，即＝，
解得OH＝，即半圓O的半徑是．
類型六　遇不規則的圖形求面積，添線求規則圖形面積的和或差
7．(8分)如圖，在正方形ABCD中有一點P，連接AP，BP，旋轉△APB到△CEB的位置．
(1)若正方形的邊長是10，PB＝4，則陰影部分的面積為 21π ；
(2)若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的長．
解：(1)∵把△APB旋轉到△CEB的位置，
∴△APB≌△CEB．
∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC．
如圖，以點B為圓心，BP為半徑畫弧，交AB于點F．
∴扇形BFP的面積＝扇形BEQ的面積．
∴圖形ECQ的面積＝圖形AFP的面積．
∴S陰影部分＝S扇形BAC－S扇形PBE＝＝21π．
故答案為：21π．
(2)如圖，連接PE．
由(1)知△APB≌△CEB，
∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°．
∴△PBE為等腰直角三角形．
∴∠BEP＝45°，PE＝4．
∴∠PEC＝135°－45°＝90°．
∴PC＝＝＝9．
類型七　構造輔助圓
(一)定點定長作圓
8．(10分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D為AB的中點，點P在AC上，且CP＝1，將CP繞點C在平面內旋轉，點P的對應點為點Q，連接AQ，DQ．當∠ADQ＝90°時，求AQ的長．
解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4．
如圖，由題意可知，點Q在以點C為圓心，CP的長為半徑的⊙C上運動，連接DC并延長，分別交⊙C于點Q1，Q2．
∵D為AB的中點，
∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°．
∵∠ADQ＝90°，
∴點C，D，Q在同一條直線上．
由旋轉得CQ＝CP＝1．
分兩種情況討論：
當點Q在CD上位于點Q1時，
在Rt△ADQ1中，DQ1＝CD－CQ1＝1，
∴AQ1＝＝＝．
當點Q在DC的延長線上位于點Q2時，
在Rt△ADQ2中，DQ2＝CD＋CQ2＝3，
∴AQ2＝＝＝．
綜上所述，當∠ADQ＝90°時，AQ的長為或．
(二)定弦定角作圓
(1)直角型
9．(8分)在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，點P是同一平面內的一個動點，且滿足∠BPC＝90°，連接AP，求線段AP的最小值和最大值．
解：如圖，以BC為直徑作⊙O，連接AO交⊙O于P1，P2兩點，連接CP1，則AP1最小，AP2最大．
∵P1P2是⊙O的直徑，∴∠P1CP2＝90°．
∵OP2＝OC，∴∠OP2C＝∠OCP2．
∵∠AP1C＝∠P1CP2＋∠OP2C＝90°＋∠OP2C，
∠ACP2＝∠ACB＋∠OCP2＝90°＋∠OCP2，
∴∠AP1C＝∠ACP2．
又∵∠P1AC＝∠CAP2，∴△P1AC∽△CAP2．
∴＝．∴AP1·AP2＝AC2．
∴AP1(AP1＋2)＝4，解得AP1＝－1＋(負值舍去)．∴AP2＝－1＋＋2＝1＋．
故線段AP的最小值和最大值分別是－1＋和1＋．
(2)非直角型
10．(10分)如圖，以正方形ABCD的一邊BC為邊向四邊形內作等腰三角形BCE，BE＝BC，過點E作EH⊥BC于點H，點P是Rt△BEH的內心，連接AP．若AB＝2，求AP的最小值．
解：如圖，連接PE，PC，PB．
∵P是△EHB的內心，∠EHB＝90°，
∴∠EPB＝180°－(∠HEB＋∠HBE)＝135°．
∵BC＝BE，∠PBC＝∠PBE，PB＝PB，
∴△PBC≌△PBE．
∴∠BPC＝∠BPE＝135°．
∴點P的運動軌跡是圓?。?br/>以BC為斜邊在BC的下方作等腰直角三角形BCO，連接OP，OA，則以點O為圓心，OB為半徑的⊙O是點P的運動軌跡．
∵AP≤AO－OP，
∴當點O，P，A共線時，AP的值最小．
作OM⊥AB，交AB的延長線于點M．
易知OB＝，∴OM＝BM＝1．
∴OA＝＝，
∴AP的最小值為．
(三)四點共圓
11．(10分)如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，∠C＝60°，點E，F分別是AB，AD上的動點，且AE＝DF，DE與BF交于點P．當點E從點A運動到點B時，求點P的運動路徑長．
解：如圖，作△CBD的外接圓⊙O，連接OB，OD．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD．
∴△ABD，△BCD都是等邊三角形．
∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE．
在△BDF和△DAE中，
∴△BDF≌△DAE．∴∠DBF＝∠ADE．
∵∠ADE＋∠BDE＝60°，
∴∠DBF＋∠BDP＝60°．∴∠BPD＝120°．
∵∠C＝60°，∴∠C＋∠DPB＝180°．
∴B，C，D，P四點共圓．
∵BC＝CD＝BD＝3，∴OB＝OD＝3．
∵∠BOD＝2∠C＝120°，
∴點P的運動路徑長為＝2π．
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