資源簡介

專項(xiàng)突破提升(四)　一元二次方程的解法與應(yīng)用
一、一元二次方程的解法
方法一　直接開平方法
1．(4分)方程(x－2)2－9＝0的解是 x1＝5，x2＝－1 ．
2．(8分)解方程：
(1)9x2＝25；
(2)6(x＋2)2＝48．
解：(1)9x2＝25，x2＝，
解得x1＝，x2＝－．
(2)6(x＋2)2＝48，(x＋2)2＝8，x＋2＝±2，
解得x1＝－2＋2，x2＝－2－2．
方法二　配方法
3．(4分)一元二次方程x2－8x－2＝0，配方后可變形為 (x－4)2＝18 ．
4．(8分)解方程：
(1)x2－6x＋8＝0；
(2)x2－4x－1＝0．
解：(1)x2－6x＋8＝0，
x2－6x＋9＝1，(x－3)2＝1，x－3＝±1．
x1＝2，x2＝4．
(2)x2－4x－1＝0，x2－4x＋4＝5，(x－2)2＝5，
x－2＝±，x＝±＋2，
x1＝2＋，x2＝2－．
方法三　公式法
5．(4分)關(guān)于x的一元二次方程2x2＋4x＋m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是 2 ．
6．(8分)解方程：
(1)x2－7x＋11＝0；
(2)2x2＋5x＝x＋3．
解：(1)x2－7x＋11＝0，
∴a＝1，b＝－7，c＝11．
∴Δ＝(－7)2－4×1×11＝5＞0．∴x＝．
∴x1＝，x2＝．
(2)2x2＋5x＝x＋3，2x2＋4x－3＝0，
∴a＝2，b＝4，c＝－3．
∴Δ＝42－4×2×(－3)＝40>0．
∴x＝．
∴x1＝，x2＝．
方法四　因式分解法
7．(4分)方程x(x－3)＝x－3的根是(　D　)
A．x＝3 B．x＝0
C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝3，x2＝1
8．(4分)一元二次方程x2＋8x－9＝0的解為 x1＝1，x2＝－9 ．
9．(12分)解方程：
(1)x(x－5)＝8(5－x)；
(2)(2x－1)2＝(x－1)2；
(3)x2－3x＋2＝0．
解：(1)x(x－5)＝8(5－x)，
移項(xiàng)，得x(x－5)＋8(x－5)＝0，
因式分解，得(x－5)(x＋8)＝0，
∴x－5＝0或x＋8＝0，
解得x1＝5，x2＝－8．
(2)(2x－1)2＝(x－1)2，
移項(xiàng)，得(2x－1)2－(x－1)2＝0，
因式分解，得(2x－1－x＋1)(2x－1＋x－1)＝0，
即x(3x－2)＝0，
∴x＝0或3x－2＝0，解得x1＝0，x2＝．
(3)x2－3x＋2＝0，
因式分解，得(x－2)(x－1)＝0，
∴x－1＝0或x－2＝0，解得x1＝1，x2＝2．
方法五　換元法
10．(12分)解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0時(shí)，我們可以將x2－1視為一個(gè)整體，設(shè)x2－1＝y(tǒng)，則y2＝(x2－1)2，原方程轉(zhuǎn)化為y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．
當(dāng)y＝1時(shí)，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝±．
當(dāng)y＝4時(shí)，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±．
∴原方程的解為x1＝－，x2＝，x3＝－，x4＝．
以上方法就叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．
運(yùn)用上述方法解下列方程：
(1)x4－3x2－4＝0；
(2)(x2＋2x)2－(x2＋2x)－6＝0；
(3)x2＋2x＋4－5＝0．
解：(1)設(shè)y＝x2，則原方程轉(zhuǎn)化為y2－3y－4＝0，
因式分解，得(y－4)(y＋1)＝0，
∴y－4＝0或y＋1＝0，
解得y1＝4，y2＝－1(不合題意，舍去)．
∴x2＝4，解得x1＝2，x2＝－2．
故原方程的解為x1＝2，x2＝－2．
(2)設(shè)y＝x2＋2x，則原方程轉(zhuǎn)化為y2－y－6＝0，
因式分解，得(y－3)(y＋2)＝0，
∴y－3＝0或y＋2＝0，
解得y1＝3，y2＝－2．
當(dāng)y＝3時(shí)，x2＋2x－3＝0，
解得x1＝－3，x2＝1．
當(dāng)y＝－2時(shí)，x2＋2x＋2＝0，無解．
故原方程的解為x1＝－3，x2＝1．
(3)設(shè)＝t(t≥0)，則有x2＋2x＝t2，
原方程可轉(zhuǎn)化為t2＋4t－5＝0，
因式分解，得(t＋5)(t－1)＝0，
∴t＋5＝0或t－1＝0，解得t1＝－5，t2＝1．
當(dāng)t＝－5時(shí)，＝－5，此方程無解．
當(dāng)t＝1時(shí)，＝1，
則x2＋2x＝1，配方，得(x＋1)2＝2，
解得x1＝－1＋，x2＝－1－．
故原方程的解為x1＝－1＋，x2＝－1－．
二、一元二次方程的應(yīng)用
應(yīng)用一　幾何圖形面積問題
11．(10分)如圖，用一段80 m的籬笆圍成三個(gè)一邊靠墻、大小相同的矩形羊圈，左右兩個(gè)矩形都有一個(gè)1 m的門通往中間矩形，中間的矩形有一個(gè)1 m的門通往外面，墻的最大可用長度為50 m．
(1)如果羊圈的總面積為345 m2，求邊AB的長．
(2)問：羊圈的總面積能為480 m2嗎？若能，請求出邊AB的長；若不能，請說明理由．
解：(1)設(shè)邊AB的長為x m，則AD＝80－4x＋3＝(83－4x)m．
根據(jù)題意，得x(83－4x)＝345，
解得x1＝，x2＝15．
∵墻的最大可用長度為50 m，且當(dāng)x＝時(shí)，AD＝83－4×＝60(m)，不合題意，
∴x＝15，即邊AB的長為15 m．
(2)不能．理由如下：
若羊圈的總面積能為480 m2，
則 x(83－4x)＝480，
整理，得 4x2－83x＋480＝0．
∵Δ＝(－83)2－4×4×480＝－791＜0，此方程無解，
∴羊圈的總面積不能為480 m2．
應(yīng)用二　銷售利潤問題
12．(12分)某造紙廠為節(jié)約木材，實(shí)現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術(shù)改造升級，使再生紙項(xiàng)目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大．該廠3月、4月共生產(chǎn)再生紙800 t，其中4月再生紙產(chǎn)量比3月的2倍少100 t．
(1)求4月再生紙的產(chǎn)量．
(2)若4月每噸再生紙的利潤為1 000元，5月再生紙產(chǎn)量比上月增加m%，5月每噸再生紙的利潤比上月增加%，則5月再生紙項(xiàng)目月利潤達(dá)到66萬元．求m的值．
(3)若4月每噸再生紙的利潤為1 200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月再生紙產(chǎn)量比上月增長的百分?jǐn)?shù)相同，6月再生紙項(xiàng)目月利潤比上月增加了25%．求6月每噸再生紙的利潤是多少元．
解：(1)設(shè)3月再生紙的產(chǎn)量為x t，則4月再生紙的產(chǎn)量為(2x－100)t．
依題意，得x＋2x－100＝800，解得x＝300．
2x－100＝2×300－100＝500，
即4月再生紙的產(chǎn)量為500 t．
(2)依題意，得1 000×500(1＋m%)＝660 000，
整理，得m2＋300m－6 400＝0，
解得m1＝20，m2＝－320(不合題意，舍去)．
故m的值為20．
(3)設(shè)4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為y，5月再生紙的產(chǎn)量為a t．
依題意，得1 200(1＋y)2·a(1＋y)＝(1＋25%)×1 200(1＋y)·a，
∴1 200(1＋y)2＝15 00，
即6月每噸再生紙的利潤是1 500元．
應(yīng)用三　數(shù)字問題
13．(6分)一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小2，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小1，求這個(gè)兩位數(shù)．
解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x．
由題意，得x2＋(x－2)2＝10(x－2)＋x－1，
解得x1＝5，x2＝(不合題意，舍去)．
∴這個(gè)兩位數(shù)是35．
應(yīng)用四　傳播問題
14．(8分)冬春季是傳染病高發(fā)季節(jié)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，去年冬春之交，有一人患了流感，在沒有采取醫(yī)療手段的情況下，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患流感．
(1)求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了多少人；
(2)若不及時(shí)控制，則第三輪感染后，患流感的共有多少人？
解：(1)設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x人．
由題意，得1＋x＋(1＋x)x＝64，
解得x1＝7，x2＝－9(不合題意，舍去)．
故每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7人．
(2)第三輪感染的人數(shù)為64×7＝448(人)，
∴第三輪感染后，患流感的總?cè)藬?shù)為448＋64＝512(人)．
應(yīng)用五　存款利息問題
15．(6分)某人將2 000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1 000元用于購物，剩下的1 000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若銀行存款的利率不變，到期后得本金和利息共1 155元，求這種存款方式的年利率．
解：設(shè)這種存款方式的年利率為x．
由題意，得[2 000(1＋x)－1 000](1＋x)＝1 155，解得x1＝－1.55(不符合題意，舍去)，x2＝0.05＝5%．
故這種存款方式的年利率為5%．
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