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易錯專題培優
易錯點一　相似三角形對應邊對應不準確
1．(4分)如圖，DE∥BC，且AD∶DB＝2∶1，DE＝8，則BC的長為(　D　)
第1題圖
A．10 B．9
C．14 D．12
2．(4分)如圖，已知AD為∠BAC的平分線，DE∥AB．如果＝，AB＝6，那么DE＝ 4 ．
第2題圖
易錯點二　混淆相似三角形的性質
3．(8分)如圖，矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在邊CD上的點P處，折痕與邊BC交于點O．
(1)求證：△OCP∽△PDA；
(2)若△OCP與△PDA的周長之比為1∶2，求邊AB的長．
(1)證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC．
由折疊可知∠APO＝∠B＝90°，PO＝BO，
∴∠APD＋∠CPO＝90°．
∵∠APD＋∠DAP＝90°，
∴∠DAP＝∠CPO．∴△OCP∽△PDA．
(2)解：∵△OCP與△PDA的周長比為1∶2，△OCP∽△PDA，
∴AD＝2CP，DP＝2CO，AP＝2PO．
∴CP＝4．
∵PO2＝CO2＋CP2，∴(8－CO)2＝CO2＋16．
∴CO＝3．∴DP＝6．
∴CD＝CP＋DP＝4＋6＝10．∴AB＝10．
4．(8分)如圖，在△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB．
(1)求證：△BDE∽△EFC．
(2)設＝．
①若BC＝12，求線段BE的長；
②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．
(1)證明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE．
∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC．
∴△BDE∽△EFC．
(2)解：①∵EF∥AB，∴＝＝．
∵EC＝BC－BE＝12－BE，
∴＝，解得BE＝4．
②∵＝，∴＝．
∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC．
∴＝＝＝．
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
易錯點三　位似對應點坐標多解或漏解
5．(4分)在平面直角坐標系中，點P(m，n)是線段AB上一點，以原點O為位似中心把△AOB放大到原來的2倍，則點P的對應點的坐標為 (2m，2n)或(－2m，－2n) ．
易錯點四　不能正確確定位似中心
6．(4分)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△ODE是位似圖形，其中點A(2，1)，則位似中心的坐標是 (4，2) ．
易錯點五　混淆相似比和面積比
7．(4分)如圖，在△ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點，則S△ADE∶S△ABC＝(　D　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
易錯點六　相似三角形中動點問題未分類討論
8．(4分)如圖，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，點D在邊AC上，且CD＝4，過點D作一條直線交邊AB于點E，使△ADE與△ABC相似，則DE的長是(　C　)
A．12 B．16
C．12或16 D．以上都不對
易錯點七　三角比無圖忘記分類討論
9．(4分)有一等腰三角形，邊長分別是6，8，則底角的余弦是(　D　)
A．
C． 或
10．(4分)一個直角三角形有兩條邊長為3和4，則較小銳角的正切值是(　D　)
A．
C． 或
11．(4分)在Rt△ABC中，若2AB＝AC，則cos C的值為 或 ．
12．(4分)在△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，則△ABC的面積為 21或15 ．
易錯點八　忽略銳角三角函數的取值范圍
13．(6分)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若sin A是方程2x2－3x＋1＝0的根，求BC的長．
解：∵2x2－3x＋1＝0，∴(2x－1)(x－1)＝0．
∴x1＝，x2＝1．
∵sin A是方程2x2－3x＋1＝0的根，∠A為銳角，∴sin A＝．
∵sin A＝，AB＝10，∴BC＝5．
14．(6分)已知α為銳角，且tan α－＝，求sin αcos α的值．(提示：sin2α＋cos2α＝1)
解：∵tanα－＝，
∴＝＋4tan α·＝()2＋4＝25．
∵α為銳角，tan α＋＞0，
∴tan α＋＝5．
∴sin αcos α＝＝＝．
易錯點九　圓中弦、弧、圓周角、圓心角考慮不全面
15．(4分)如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，P是⊙O上不與點A，B重合的任意一點，則∠APB的度數為(　C　)
A．45° B．60°
C．45°或135° D．60°或120°
16．(4分)如圖，A，B，C是⊙O上的三點，且四邊形OABC是菱形．若點D是圓上異于A，B，C的另一點，則∠ADC的度數是 60°或120° ．
17．(4分)若弦長等于半徑，則弦所對的圓心角的度數是 60° ，弦所對弧的度數是 60°或300° ．
易錯點十　因式分解法解一元二次方程漏解
18．(6分)解方程：(x＋1)(x－2)＝x＋1．
解：將方程兩邊約去(x＋1)，得x－2＝1．①
∴x＝3．②
以上解答錯在第 ① 步，正確的答案是x1＝ －1 ，x2＝ 3 ．
易錯點十一　求根的判別式時，忽略對二次項系數的討論
19．(4分)已知關于x的一元二次方程ax2－2x－1＝0有兩個不相等的實數根，則二次項系數a的取值范圍是(　D　)
A．a＞1 B．a＞－2
C．a＞1且a≠0 D．a＞－1且a≠0
20．(4分)關于x的方程(k－1)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有實數根，則k的取值范圍是(　D　)
A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1
C．k＞ D．k≥
21．(8分)已知關于x的方程(k－1)x2＋kx＋1＝0．
(1)求證：不論k取什么實數值，這個方程總有實數根；
(2)當k為何整數時，關于x的方程(k－1)x2＋kx＋1＝0有兩個整數根？
(1)證明：當k＝1時，方程為一元一次方程，必有一解；
當k≠1時，方程為一元二次方程，
Δ＝k2－4(k－1)＝(k－2)2≥0，
∴一元二次方程有兩個實數根．
綜上所述，不論k取什么實數值，這個方程總有實數根．
(2)解：∵方程(k－1)x2＋kx＋1＝0有兩個整數根，
∴方程為一元二次方程，即k≠1，
(k－1)x2＋kx＋1＝0，
解得x＝－1或x＝．
又∵k為整數及方程的兩個根都為整數，
∴1－k＝1或1－k＝－1．
∴當k的值為0或2時，關于x的方程＋kx＋1＝0有兩個整數根．
易錯點十二　一元二次方程與三角形結合時忽略討論三角形三邊關系
22．(4分)已知x＝2是關于x的方程x2－(5＋m)x＋5m＝0的一個根，并且這個方程的兩個根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長，則△ABC的周長為(　B　)
A．9 B．12
C．9或12 D．6或12或15
23．(4分)已知等腰三角形的三邊長分別為a，b，4，且a，b是關于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的兩個根，則m的值是(　A　)
A．34 B．30
C．30或34 D．30或36
24．(4分)方程x2－9x＋18＝0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形的周長為 15 ．
25．(8分)已知整數k＜5，若△ABC的邊長均滿足關于x的方程x2－3x＋8＝0．求：
(1)k的值；
(2)△ABC的周長．
解：(1)根據題意，得k≥0且(3)2－4×8≥0，解得k≥．
∵整數k＜5，∴k＝4．
(2)當k＝4時，方程變形為x2－6x＋8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
∵△ABC的邊長均滿足關于x的方程x2－6x＋8＝0，
∴△ABC的邊長為2，2，2或4，4，4或4，4，2．
∴△ABC的周長為6或12或10．
26．(8分)已知關于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4＝0．
(1)判斷這個一元二次方程的根的情況；
(2)若等腰三角形的一邊長為3，另兩條邊的長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長．
解：(1)∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4×4＝4k2－12k＋9＝(2k－3)2≥0，
∴這個一元二次方程有兩個實數根．
(2)分兩種情況：
①當3為底邊長時，Δ＝(2k－3)2＝0，∴k＝．
此時原方程為x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2．
∵2，2，3能組成三角形，
∴三角形的周長為2＋2＋3＝7．
②當3為腰長時，將x＝3代入原方程，得9－3×(2k＋1)＋4＝0，解得k＝2．
此時原方程為x2－5x＋6＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
∵2，3，3能組成三角形，
∴三角形的周長為2＋3＋3＝8．
綜上所述，這個等腰三角形的周長為7或8．
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