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思想方法集錦
方法一　數(shù)形結(jié)合思想
1．(6分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝3x與x軸的夾角為α，求α的正弦值和余弦值．
解：如圖，在直線y＝3x上任取一點P(不與點O重合)，過點P作PA⊥x軸于點A．
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a(a≠0)，則該點的縱坐標(biāo)為3a．
在Rt△PAO中，OA＝|a|，AP＝3|a|，
由勾股定理，得OP＝＝|a|，
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝．
2．(8分)解方程x2＋2x－35＝0時，如圖，將一個邊長為x的正方形和邊長為1的正方形，外加兩個長為x、寬為1的矩形，拼合在一起的面積是x2＋2×x×1＋1×1，即x2＋2x＋1．而由原方程x2＋2x－35＝0變形，得x2＋2x＋1＝35＋1，即邊長為x＋1的正方形的面積為36，所以(x＋1)2＝36，則x＝5(負(fù)值已舍去)．
請回答下列問題：
(1)上述求解過程中所用的方法是 C ．
A．直接開平方法 B．公式法
C．配方法 D．因式分解法
(2)所用的數(shù)學(xué)思想方法是 B ．
A．分類討論思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想
C．轉(zhuǎn)化思想 D．公理化思想
(3)運用上述方法構(gòu)造出符合方程x2＋6x－7＝0的一個正根的正方形，并求出正根．
解：(3)如圖，將一個邊長為x的正方形和邊長為3的正方形，外加兩個長為3、寬為x的矩形，拼合在一起的面積就是x2＋6x＋3×3，即x2＋6x＋9．
原方程x2＋6x－7＝0變形，得x2＋6x＋9＝16，
即圖中邊長為x＋3的正方形的面積為16．
∴(x＋3)2＝16，即x＋3＝±4，
解得x＝1或x＝－7(舍去)．
方法二　分類討論思想
3．(7分)如果方程x2－4x＋3＝0的兩個根分別是Rt△ABC的兩條邊，△ABC最小的角為∠A，求tan A的值．
解：∵x2－4x＋3＝0，
∴(x－1)(x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝3．
方程x2－4x＋3＝0的兩個根分別是Rt△ABC的兩條邊，△ABC最小的角為∠A，依題意畫圖如下．
當(dāng)BC＝1，AC＝3時，tan A＝＝．
當(dāng)BC＝1，BA＝3時，AC＝2，
∴tan A＝＝＝．
綜上所述，tan A的值為或．
4．(7分)已知AB和AC是⊙O的兩條弦，∠BAC＝57°，M，N分別是AB，AC的中點，求∠MON的度數(shù)．
解：∵M(jìn)，N分別是AB，AC的中點，
∴OM⊥AB，ON⊥AC．
如圖1，當(dāng)AB，AC在圓心異側(cè)時，連接OM，ON．
圖1
∵M(jìn)，N分別是AB，AC的中點，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°．
∴∠MON＝360°－90°－90°－57°＝123°．
如圖2，當(dāng)AB，AC在圓心同側(cè)時，連接OM，ON．
圖2
∵M(jìn)，N分別是AB，AC的中點，
∴∠AMD＝∠OND＝90°．
∵∠ADM＝∠ODN，
∴∠MON＝∠BAC＝57°．
綜上所述，∠MON的度數(shù)為123°或57°．
5．(10分)如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5．四邊形ABEF是正方形，點D是直線BC上一點，且CD＝1，P是線段DE上一點，且PD＝DE，過點P作直線l與BC平行，分別交AB，AD于點G，H，求GH的長．
解：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2＋BC2＝AB2．
∴△ABC為直角三角形．
如圖1，當(dāng)點D位于點C左側(cè)時，設(shè)直線l交BE于點M．
圖1
∵l∥BC，∴＝，∠MGB＝∠ABC．
∵四邊形ABEF是正方形，PD1＝D1E，
∴BE＝AB＝5，∠EBA＝90°，
即＝，解得BM＝．
∵∠MGB＝∠ABC，∠MBA＝∠ACB＝90°，
∴△GBM∽△BCA．∴＝．
∴＝，解得GB＝．∴AG＝AB－GB＝．
∵l∥BC，∴△AGH∽△ABD1．∴＝．
∵CD1＝1，∴BD1＝BC－CD1＝3．
∴＝，解得GH＝．
如圖2，當(dāng)點D位于點C右側(cè)時，
圖2
BD2＝BC＋CD2＝5，
同理可得＝，解得GH＝．
綜上所述，GH的長為或．
方法三　方程思想
6．(4分)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊．若b2＝ac，則sin A的值為 ．
7．(4分)如圖，EB為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點P處與地面BE的距離為1.6 m，車頭FACD可近似看成一個矩形，且滿足3FD＝2FA，盲區(qū)EB的長度是6 m，則車寬FA的長度為 m．
　
解析：如圖，過點P作PM⊥BE于點M，交FA于點N．
∵FA∥BE，∴∠PAF＝∠PBE，∠PFA＝∠PEB．
∴△PAF∽△PBE．∴＝．
設(shè)DF＝2k，則AF＝3k，PN＝1.6－2k．
∴＝，解得k＝．
∴AF＝．
8．(8分)幾位同學(xué)在老師的指導(dǎo)下到某景區(qū)進(jìn)行戶外實踐活動，在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風(fēng)景優(yōu)美，但路陡難行，為了便于游客參觀，建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A，B兩點，并過點B架設(shè)一水平線型軌道CD(如圖所示)，使得∠ABC＝α，從點B出發(fā)按CD方向前進(jìn)20 m到達(dá)點E，即BE＝20 m，測得∠AEB＝β，已知sin α＝，tan β＝3，求A，B兩點間的距離．
解：如圖，過點A作AF⊥CD于點F，則∠AFB＝90°．
在Rt△ABF中，sin α＝＝，
∴設(shè)AF＝24x m，AB＝25x m．
由勾股定理，得BF＝＝＝7x(m)．
在Rt△AFE中，tan β＝＝3，
∴＝3，解得x＝20．
∴AB＝25x＝25×20＝500(m)，
即A，B兩點間的距離為500 m．
9．(10分)如圖，AB是⊙O的直徑，C為的中點，CF為⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足為點E，連接BD交CF于點G，連接CD，AD，BF．
(1)求證：△BFG≌△CDG；
(2)若AD＝BE＝2，求BF的長．
(1)證明：∵C是的中點，∴＝．
∵AB是⊙O的直徑，CF⊥AB，
∴＝．∴＝．∴CD＝BF．
在△BFG和△CDG中，
∴△BFG≌△CDG．
(2)解：如圖，連接OF，設(shè)⊙O的半徑為r．
在Rt△ADB中，BD2＝AB2－AD2，
即BD2＝(2r)2－22．
在Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，
即EF2＝r2－(r－2)2．
∵＝＝，∴＝．∴BD＝CF．
∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，
即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2]，
解得r1＝3，r2＝1(不符合題意，舍去)．
∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12．
∴BF＝2．
10．(10分)下圖是2024年1月的月歷表，用矩形方框按如圖所示的方法任意圈出4個數(shù)，請解答下列問題：
(1)若方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為180，求最小數(shù)．
(2)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和能為124嗎？若能，求最小數(shù)；若不能，請說明理由．
解：(1)設(shè)最小數(shù)是x，則最大數(shù)是x＋8．
根據(jù)題意，得x(x＋8)＝180，
解得x1＝10，x2＝－18(不符合題意，舍去)，
即最小數(shù)是10．
(2)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和不能為124．理由如下：
假設(shè)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和能為124，設(shè)最小數(shù)是y，則另外三個數(shù)分別是y＋1，y＋7，y＋8．
根據(jù)題意，得y(y＋8)＋y＋y＋1＋y＋7＋y＋8＝124，
解得y1＝6，y2＝－18(不符合題意，舍去)．
∵y＝6在最后一列，
∴假設(shè)不成立，即方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和不能為124．
方法四　轉(zhuǎn)化思想
11．(4分)如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D為BC的中點，DE⊥AB于點E，則cos ∠BDE的值為(　A　)
A．
C．
12．(10分)如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點，∠CAB＝∠DBA，連接BC，CD．
(1)求證：CD∥AB；
(2)若AB＝4，∠ACD＝30°，求陰影部分的面積．
(1)證明：∵＝，∴∠ACD＝∠DBA．
∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD．∴CD∥AB．
(2)解：如圖，連接OD，過點D作DE⊥AB，垂足為點E．
∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°．
∴∠BOD＝180°－∠AOD＝120°．
∴S扇形BOD＝＝＝π．
在Rt△ODE中，DE＝sin 60°·OD＝×2＝，
∴S△BOD＝OB·DE＝×2×＝．
∴S陰影＝S扇形BOD－S△BOD＝π－．
13．(12分)如圖，一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的北偏東30°方向上，輪船沿著正北方向航行20 km到達(dá)B處，測得燈塔M位于B的北偏東60°方向上，測得港口C位于B的北偏東45°方向上．已知港口C在燈塔M的正北方向上．
(1)∠AMB＝ 30° ，∠BCM＝ 45° ；(填度數(shù))
(2)求燈塔M到輪船航線AB的距離；(結(jié)果保留根號)
(3)求港口C與燈塔M之間的距離．(結(jié)果保留根號)
解：(2)如圖，過點M作ME⊥AB，垂足為點E．
∵∠A＝∠AMB，
∴AB＝BM＝20 km．
在Rt△EBM中，sin ∠EBM＝，
∴EM＝sin ∠EBM·BM＝sin 60°×20＝×20＝10(km)．
故燈塔M到輪船航線AB的距離為10 km．
(3)如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為點D．∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB，CM都是正北方向，∴四邊形DEMC是矩形．
∴CD＝EM＝10 km，DE＝CM．
在Rt△CDB中，∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠DCB．
∴DB＝DC＝10 km．
在Rt△EMB中，cos ∠EBM＝，
∴EB＝cos ∠EBM·BM＝cos 60°×20＝×20＝10(km)．
∴CM＝DE＝DB－EB＝10－10＝10(－1)km．
故港口C與燈塔M之間的距離為10(－1)km．
方法五　割補法
14．(4分)如圖，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以點B為圓心，BC的長為半徑作交AD于點E，以點A為圓心，AE的長為半徑作交AB于點F，則圖中陰影部分的面積為 ．
解析：如圖，連接BE，EF．
由題意，得BE＝BC＝2．
由勾股定理，得AE＝＝1，
∴sin ∠ABE＝＝．
∴∠ABE＝30°．∴∠CBE＝60°．
∴S陰影＝S扇形EBC＋S△ABE－S扇形EAF＝×1×＝．
15．(4分)如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C，已知AC＝3，BC＝2，則線段AB掃過的圖形(陰影部分)的面積為 ．
解析：∵△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C．
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝120°．
∴線段AB掃過的圖形的面積＝S扇形ACA′＋S△ABC－S扇形BCB′－S△A′B′C
＝S扇形ACA′－S扇形BCB′
＝＝．
方法六　等積變換法
16．(4分)如圖，在半徑為10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C為上一點，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為點D，E．若∠CDE為36°，則圖中陰影部分的面積為(　A　)
A．10π B．9π
C．8π D．6π
解析：如圖，連接OC．
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四邊形CDOE是矩形．∴CD∥OE．
∴∠DEO＝∠CDE＝36°．
由矩形CDOE易證△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°．
∴S陰影＝S扇形OBC＝＝10π．
∴圖中陰影部分的面積為10π．
17．(4分)如圖，作⊙O的任意一條直徑FC，分別以點F，C為圓心，以FO的長為半徑作弧，與⊙O相交于點E，A，D，B，順次連接AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A，得到六邊形ABCDEF，則⊙O的面積與陰影區(qū)域的面積的比值為 π ．
解析：如圖，連接EB，AD，設(shè)⊙O的半徑為r．
∵⊙O的面積S＝πr2，弓形EF，AF的面積與弓形EO，AO的面積相等，弓形CD，BC的面積與弓形OD，OB的面積相等，
∴圖中陰影部分的面積＝S△EDO＋S△ABO．
∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝r，
∴△EDO和△AOB是等邊三角形．
∴陰影部分的面積＝×r×r×2＝r2．
∴⊙O的面積與陰影區(qū)域的面積的比值為π．
方法七　容斥原理法
18．(4分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝，分別以點A，B為圓心，AC，BC的長為半徑畫弧，交AB于點D，E，則圖中陰影部分的面積是 ．
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝，
∴∠B＝60°，BC＝tan 30°·AC＝1．
∴陰影部分的面積S＝S扇形BCE＋S扇形ACD－S△ACB＝×1×＝．
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