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素養考向集訓
考向一　抽象能力
1．(4分)川劇變臉是我國非物質文化遺產之一，是川劇表演藝術中重要的組成部分．下列選項中的臉譜圖案與如圖所示的臉譜圖案是相似圖形的是(　C　)
2．(4分)如圖，△DEF是△ABC位似圖形的幾種畫法中，正確的個數是(　A　)
　
　
A．4 B．3
C．2 D．1
3．(4分)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，則下列三角函數值正確的是(　A　)
A．sin A＝ B．cos A＝
C．tan A＝ D．tan B＝
4．(4分)⊙O的半徑為3，點O到直線l的距離為4，則下列選項中能反映直線l與⊙O位置關系的圖形的是(　D　)
5．(4分)若關于x的方程(m＋1)xm2＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，則m的值是 1 ．
6．(6分)計算：
(1)sin 30°＋2cos 60°·tan 60°－sin245°；
(2)cos245°＋sin60°·tan 30°－．
解：(1)原式＝＋2×＝．
(2)原式＝＋＝＝1－1＋＝．
考向二　推理能力
7．(6分)已知關于x的方程x2－(2m＋2)x＋m2＋2m＝0．
(1)求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
(2)若方程有一個根為x＝1，求m的值．
(1)證明：∵Δ＝[－(2m＋2)]2－4×1×(m2＋2m)＝4＞0，
∴無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根．
(2)解：∵方程有一個根為x＝1，
∴12－(2m＋2)×1＋m2＋2m＝0，
即m2－1＝0，解得m＝±1．
8．(6分)已知代數式x2＋y2－2x－4y＋16，用配方法說明無論x，y取何值，此代數式的值總為正數．
解：x2＋y2－2x－4y＋16＝x2－2x＋1＋y2－4y＋4＋11＝(x－1)2＋(y－2)2＋11．
∵(x－1)2≥0，(y－2)2≥0，
∴(x－1)2＋(y－2)2＋11＞0．
∴無論x，y取何值，代數式x2＋y2－2x－4y＋16的值總為正數．
9．(8分)如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點E，F在線段BC上，點Q在線段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB．求證：
(1)AE＝AF；
(2)△CAF∽△BFQ．
證明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵CF＝BE，∴CE＝BF．
在△ACE和△ABF中，
∴△ACE≌△ABF．∴AE＝AF．
(2)由(1)知AE＝AF．
∵AE2＝AQ·AB，
∴AF2＝AQ·AB．∴＝．
∵∠FAQ＝∠BAF，∴△AFQ∽△ABF．
∴∠AQF＝∠AFB．∴∠BQF＝∠AFE．
∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ．
10．(10分)如圖，AB是⊙O的直徑，連接BC交⊙O于點D，連接AC，AD，使得AB2＝BD·BC．
(1)求證：AC是⊙O的切線；
(2)若E是的中點，AE與BC交于點F，求證：CA＝CF．
證明：(1)∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°．
∵AB2＝BD·BC，∴＝．
∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．
∴∠ADB＝∠CAB＝90°．∴AC⊥AB．
∴AC是⊙O的切線．
(2)∵∠ADB＝∠CAB＝90°，∴∠CAD＝∠B．
∵E是的中點，∴∠BAE＝∠DAE．
∴∠CAF＝∠CAD＋∠DAE＝∠B＋∠BAF＝∠AFC．∴CA＝CF．
考向三　運算能力
11．(4分)已知銳角α滿足tan (α＋25°)＝1，則銳角α的度數為(　B　)
A．15° B．20°
C．25° D．30°
12．(4分)如圖，在平面直角坐標系中，△OAB與△OA′B′位似，原點O為位似中心，點A，B的坐標分別為(－3，1)，(－1，4)．當點B′的縱坐標是－2時，△OAB與△OA′B′的面積比是(　C　)
A．3∶2 B．3∶1
C．4∶1 D．2∶1
13．(4分)如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，點P在上，Q是的中點，則∠CPQ的度數為(　B　)
A．30° B．45°
C．36° D．60°
14．(6分)解方程：
(1)5x＋4＝x(5x＋4)；(用因式分解法)
(2)2x2－9x＋8＝0．(用公式法)
解：(1)移項，得x(5x＋4)－(5x＋4)＝0，
因式分解，得(5x＋4)(x－1)＝0，
即5x＋4＝0或x－1＝0，
解得x1＝－，x2＝1．
(2)∵a＝2，b＝－9，c＝8，
∴b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝17＞0．
∴x＝，
即x1＝，x2＝．
15．(6分)如圖，點D，E分別在AB，AC上，連接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1∶2，且△ADE的面積是1，求四邊形DBCE的面積．
解：∵△ADE和△ABC的相似比是1∶2，
∴＝＝．
∵△ADE的面積是1，∴S△ABC＝4S△ADE＝4．
∴S四邊形DBCE＝S△ABC－S△ADE＝4－1＝3．
16．(8分)關于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有兩個不相等的實數根．
(1)求k的取值范圍；
(2)若方程的兩個根為α，β，且k2＝αβ＋3k，求k的值．
解：(1)a＝1，b＝2，c＝3－k，b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k．
∵有兩個不相等的實數根，
∴－8＋4k＞0，解得k＞2．
(2)∵方程的兩個根為α，β，
∴αβ＝＝3－k．∴k2＝3－k＋3k，
解得k1＝3，k2＝－1(不符合題意，舍去)．
∴k的值為3．
考向四　模型觀念
17．(6分)某頭盔品牌廠商在各大電商平臺共有100個網店，一個網店平均每月銷售1 000個頭盔．現準備多開一些網店以提高銷售量，調查發現，每多開1個網店，每個網店頭盔月銷售量就會減少2個，但隨著網店數量增加，運營成本也會增加，如果要使每月總銷售量增加15.2%，且盡可能減少運營成本，那么應多開幾個網店？
解：設應多開x個網店．
根據題意，得(1 000－2x)(100＋x)＝100×1 000×(1＋15.2%)，
解得x1＝20，x2＝380．
∵網店越多，運營成本越多，要盡可能減少運營成本，
∴x＝20，即應多開20個網店．
18．(10分)如圖，在等邊三角形ABC中，P是邊BC上一動點(點P不與端點B，C重合)，作∠DPE＝60°，PE交邊AC于點E，PD交邊AB于點D．
(1)求證：△BPD∽△CEP；
(2)若AB＝6，BD＝2，CP∶BP＝1∶5，求CE的長．
(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．∴∠BDP＋∠BPD＝120°．
∵∠DPE＝60°，∴∠CPE＋∠BPD＝120°．
∴∠BDP＝∠CPE．∴△BPD∽△CEP．
(2)解：∵△ABC是等邊三角形，AB＝6，
CP∶BP＝1∶5，∴CP＝1，BP＝5．
∵△BPD∽△CEP，∴＝．
∴＝．∴CE＝．
考向五　幾何直觀
19．(8分)如圖，網格中每個小正方形的邊長均是1，點O、線段AB的端點均在格點上，根據下列要求畫圖：
(1)以點O為位似中心，在網格中把線段AB按相似比2∶1放大，得線段A′B′；
(2)在網格中以(1)中的A′B′為邊畫Rt△A′B′C，其中點C在格點上，∠B′A′C＝90°，且tan ∠A′CB′＝．
解：(1)如圖，線段A′B′即為所求．
(2)如圖，Rt△A′B′C即為所求．
考向六　應用意識
20．(10分)如圖，老李想用長為70 m的柵欄，再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個 2 m寬的門(建在EF處，另用其他材料)．
(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面積能達到650 m2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．
解：(1)設矩形ABCD的邊AB＝x m，則邊BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m．
根據題意，得x(72－2x)＝640，
解得x1＝16，x2＝20．
當x＝16時，72－2x＝72－32＝40(m)；
當x＝20時，72－2x＝72－40＝32(m)．
故當羊圈的長為40 m、寬為16 m或長為32 m、寬為20 m時，能圍成一個面積為的羊圈．
(2)不能．理由如下：
由題意，得x(72－2x)＝650，
化簡，得 x2－36x＋325＝0．
∵Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，
∴一元二次方程沒有實數根．
∴羊圈的面積不能達到 650 m2．
21．(8分)為弘揚革命傳統精神，清明期間，某校組織學生前往烈士陵園緬懷革命先烈．大家想知道紀念碑CD的高，于是師生組成綜合實踐小組進行測量．他們在地面的點A處用測角儀測得碑頂D的仰角為30°，在點B處測得碑頂D的仰角為60°，已知AB＝35 m，測角儀的高度是1.5 m(點A，B，C在同一條直線上)．根據以上數據，求烈士紀念碑CD的高．(結果保留一位小數．參考數據：≈1.732)
解：由題意，得AM＝BN＝CE＝1.5 m，
AB＝MN＝35 m，∠DEM＝90°，
∠DNE＝60°，∠DME＝30°．
∵∠DNE是△DMN的外角，
∴∠MDN＝∠DNE－∠DMN＝30°．
∴∠DMN＝∠MDN＝30°．
∴DN＝MN＝35 m．
在Rt△DNE中，DE＝DN·sin 60°＝35×＝(m)，
∴DC＝DE＋CE＝＋1.5≈＋1.5≈31.8(m)．
故烈士紀念碑CD的高約為31.8 m．
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