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綜合質量評價(二)
(時間：120分鐘　滿分：150分)
第Ⅰ卷(選擇題　共48分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．在△ABC中，若cos A＝，tan B＝，則這個三角形一定是(　A　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
2．若x2m-1＋10x＋m＝0是關于x的一元二次方程，則m的值為(　C　)
A．2 B．
C． D．無法確定
3．如圖，虛線平行于正多邊形一邊，并把它分割成兩部分，則陰影部分多邊形與原多邊形一定相似的是(　A　)
A　 　　B　　 　 　C　　 　 D
4．某市2023年人均可支配收入為2.36萬元，2023年達到2.7萬元．若2023年至2025年間每年人均可支配收入的增長率都為x，則下面所列方程正確的是(　B　)
A．2.7(1＋x)2＝2.36
B．2.36(1＋x)2＝2.7
C．2.7(1－x)2＝2.36
D．2.36(1－x)2＝2.7
5．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，將△ABC繞點C逆時針方向旋轉得到△DEC，當點D落在邊BC上時，ED的延長線恰好經過點A，則AD的長為(　C　)
第5題圖
A．1 B．
C．－1＋
6．如圖是一臺54英寸的大背投彩電放置在墻角的俯視圖．設∠DAO＝α，彩電后背AD平行于前沿BC，且與BC的距離為60 cm．若AO＝100 cm，則墻角O到前沿BC的距離OE是(　A　)
第6題圖
A．(60＋100sin α)cm
B．(60＋100cos α)cm
C．(60＋100tan α)cm
D．都不對
7．如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m，n于點A，C，E，B，D，F．若AC＝2，CE＝3，則＝(　B　)
A．
C．
8．下列條件中，不能判斷△ABC與△DEF相似的是(　B　)
A．∠A＝∠D，∠B＝∠F
B．＝且∠B＝∠D
C．＝＝
D．＝且∠A＝∠D
9．如圖，水平地面上有一面積為30π cm2的灰色扇形OAB，其中OA＝6 cm，且OA垂直于地面．將這個扇形向右滾動(無滑動)至點B剛好接觸地面為止，則在這個滾動過程中，點O移動的距離是(　A　)
A．10π cm B．20π cm
C．24π cm D．30π cm
10．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD為⊙O的直徑．若AD＝10，AC＝8，則cos B等于(　D　)
第10題圖
A．
C．
11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB經過點A(4，0)，點B(0，4)，⊙O的半徑為2，點P是直線AB上的一動點，過點P作⊙O的一條切線PQ，點Q為切點，則切線PQ長的最小值為(　C　)
第11題圖
A． B．2－1
C．2 D．3
12．關于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有兩個實數根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值為(　A　)
A．－1 B．－4
C．－4或1 D．－1或4
第Ⅱ卷(非選擇題　共102分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
13．已知關于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一個根為x＝0，則a＝ －1 ．
14．設x1，x2是關于x的方程x2－3x＋k＝0的兩個根，且x1＝2x2，則k＝ 2 ．
15．如圖，有6個大小相同的小正方形，恰好放置在△ABC中，則tan B的值等于 ．
解析：如圖．
依題意，得FH∥BC，EH＝1，FH＝2，
∴∠B＝∠EFH．
∴tan B＝tan ∠EFH＝＝．
16．如圖，⊙I是△ABC的內切圓，與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F，∠DEF＝40°，則∠A＝ 100° ．(填度數)
第16題圖
17．如圖，一個矩形廣場的長為90 m，寬為60 m，廣場內有兩橫、兩縱四條小路，且小路內外邊緣所圍成的兩個矩形相似．如果兩條橫向小路的寬均為1.2 m，那么每條縱向小路的寬為 1.8 m．
第17題圖
18．已知⊙O的半徑是7，AB是⊙O的弦，且AB的長為7，則弦AB所對的圓周角的度數為 60°或120° ．
三、解答題(本大題共8個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19．(6分)計算：
(1)cos 45°－2sin 60°＋3tan 30°；
(2)2cos245°－1＋tan30°tan 60°；
(3)(sin 30°＋cos 30°)2－tan 60°．
解：(1)原式＝－2×＋3×＝＝．
(2)原式＝2×－1＋＝2×－1＋1＝1－1＋1＝1．
(3)原式＝－＝－＝＝＝＝．
20．(8分)如圖，在菱形ABCD中，G是BD上一點，連接CG并延長，交BA的延長線于點F，交AD于點E，連接AG．求證：
(1)AG＝CG；
(2)AG2＝GE·GF．
證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB．
在△ADG和△CDG中，
∴△ADG≌△CDG(SAS)．∴AG＝CG．
(2)∵△ADG≌△CDG，
∴∠EAG＝∠GCD．
∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD．
∴∠F＝∠GCD．∴∠EAG＝∠F．
∵∠AGE＝∠FGA，
∴△AEG∽△FAG．∴＝．
∴AG2＝GE·GF．
21．(8分)如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為A，B，C，測得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8 km，求A，B兩點間的距離．(結果精確到1 km．參考數據：≈1.4，≈1.7)
解：過點C作CD⊥AB于點D(圖略)．
在Rt△ACD中，CD＝AC·sin ∠CAB＝8×＝4(km)，
AD＝AC·cos ∠CAB＝8×＝4(km)．
在Rt△CDB中，∠CBA＝45°，
∴CD＝BD＝4 km．
∴AB＝AD＋BD＝4＋4≈11(km)．
答：A，B兩點間的距離約為11 km．
22．(10分)端午節期間，某水果超市調查某種水果的銷售情況，下面是調查員的對話：
小王：該水果的進價是22元/千克．
小李：當售價為38元/千克時，每天可售出160 kg；若售價每降低3元，每天的銷售量將增加120 kg．
根據他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3 640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種水果的售價為每千克多少元．
解：設每千克降低x元．
由題意，得(38－x－22)＝3 640，
整理，得x2－12x＋27＝0，
解得x1＝3，x2＝9．
∵要盡可能讓顧客得到實惠，∴x＝9．
∴售價為38－9＝29(元/千克)．
答：這種水果的售價為每千克29元．
23．(10分)已知關于x的方程(1－2k)x2－2(k＋1)x－k＝0有實數根．
(1)若方程只有一個實數根，求出這個根；
(2)若方程有兩個不相等的實數根x1，x2，且＝－6，求k的值．
解：(1)①若1－2k＝0，即當k＝時，
方程為－2×x－＝0，解得x＝－．
②若1－2k≠0，即當k≠時，方程為一元二次方程，由方程只有一個實數根，可得Δ＝4(k＋1)2－4(1－2k)×＝0，解得k＝－．
此時方程為x2－x＋＝0，
解得x1＝x2＝．
故當k＝時，方程的根為－；當k＝－時，方程的根為．
(2)∵方程有兩個不相等的實根，
∴Δ＝4(k＋1)2－4(1－2k)×>0，
解得k＞－．
由根與系數的關系，得
x1＋x2＝，x1x2＝－．
∵＝－6，即＝－6，
∴＝．
∵1－2k≠0，∴2(k＋1)＝3k，解得k＝2．
24．(12分)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(2，1)，B(1，－2)，C(3，－1)，P(m，n)是△ABC的邊AB上一點．
(1)畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關于點O中心對稱，并寫出點A，P的對應點A1，P1的坐標；
(2)以原點O為位似中心，在y軸的左側，畫出將△A1B1C1擴大到原來的2倍后的△A2B2C2，并分別寫出點A1，P1的對應點A2，P2的坐標．
解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求．
A1(－2，－1)，P1(－m，－n)．
(2)如圖，△A2B2C2即為所求．
A2(－4，－2)，P2(－2m，－2n)．
25．(12分)如圖是房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線．為了測量房屋的高度，在地面上點C測得屋頂A的仰角為35°，此時地面上點C、屋檐上點E、屋頂上點A恰好共線．繼續向房屋方向走8 m到達點D時，又測得屋檐點E的仰角為60°．已知房屋的頂層橫梁EF＝12 m，EF∥CB，AB交EF于點G，點C，D，B在同一水平直線上．(參考數據：sin 35°≈0.6，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，≈1.7)
求：(1)屋頂到橫梁的距離AG；
(2)房屋的高AB．(結果精確到1 m)
解：(1)∵房屋的側面示意圖是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，且EF∥BC，EF＝12 m，
∴AG⊥EF，EG＝EF＝6 m，∠AEG＝∠ACB＝35°．
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°．
∵tan ∠AEG＝tan 35°＝＝≈0.7，
∴AG＝6×0.7＝4.2(m)．
答：屋頂到橫梁的距離AG約為4.2 m．
(2)如圖，過點E作EH⊥CB于點H．
設EH＝x m．
在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°．
∵tan ∠EDH＝＝＝，∴DH＝．
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°．
∵tan ∠ECH＝＝≈0.7，∴CH＝．
∵CH－DH＝CD＝8，
∴＝8，解得x≈9.52．
∴AB＝BG＋AG＝9.52＋4.2≈14(m)．
答：房屋的高AB約為14 m．
26．(12分)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E為BC的中點，AE⊥DE于點E．點O是線段AE上的點，以點O 為圓心、OE的長為半徑的⊙O與AB相切于點G，交BC于點F，連接OG．
(1)求證：△ECD∽△ABE；
(2)求證：⊙O與AD相切；
(3)若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半徑和陰影部分的面積．
(1)證明：∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°．
∴∠DEC＋∠AEB＝90°．
∵∠C＝90°，∴∠CDE＋∠DEC＝90°．
∴∠AEB＝∠CDE．
∵∠B＝∠C，∴△ECD∽△ABE．
(2)證明：延長DE，AB交于點P，過點O作OH⊥AD于點H(圖略)．
∵點E為BC的中點，∴CE＝BE．
在△DCE和△PBE中，
∴△DCE≌△PBE(ASA)．∴DE＝PE．
∵AE⊥DE，∴AE垂直平分DP．
∴AD＝AP．∴∠DAO＝∠GAO．
∵OH⊥AD，OG⊥AB，∴OH＝OG．
∵OG為⊙O的半徑，∴OH為⊙O的半徑．
∴⊙O與AD相切．
(3)解：連接OF(圖略)．
在Rt△ABE中，BE＝BC＝3，AB＝3，
∴tan ∠AEB＝＝＝．∴∠AEB＝60°．
∴△OEF是等邊三角形，∠EAB＝30°．
∴AE＝2BE＝6．
設⊙O的半徑為r，∴AO＝2OG．
∴6－r＝2r．∴r＝2．∴OE＝EF＝2．
∵BE＝3，∴BF＝BE－EF＝1．
在Rt△AOG中，AG＝＝2，
∴GB＝AB－AG＝．
∵∠GOF＝180°－∠EOF－∠AOG＝60°，
∴S陰影＝×(1＋2)×
＝．
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