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課時分層訓練(二)　怎樣判定三角形相似
知識點一　平行線分線段成比例
1．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝8，則DE的長為(　D　)
第1題圖
A．2 B．3
C． D．
2．如圖，D，E，F分別是△ABC三邊上的點，且DE∥BC，EF∥AB，BC＝14．當AD∶DB＝4∶3時，BF的長是(　C　)
第2題圖
A．6 B．7
C．8 D．9
知識點二　兩角分別相等的兩個三角形相似
3．在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現將矩形折疊，折痕為BN，點A對應的點記為點M．若點M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是 △MCB ．
知識點三　兩邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似
4．如圖，在△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影部分的三角形與原三角形不相似的是(　C　)
5．如圖，在△ABC中，P為AB上一點，下列四個條件中不能判定△APC和△ACB相似的條件是(　D　)
A．∠ACP＝∠B
B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP·AB
D．AC·CP＝AP·CB
知識點四　三邊成比例的兩個三角形相似
6．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列選項中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是(　A　)
知識點五　相似三角形的應用
7．某數學興趣小組為了估算河的寬度，在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和點S，使點P，Q，S共線且直線PS與河垂直；接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當的點T，確定PT與過點Q且與PS垂直的直線b的交點R．如果測得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，那么河的寬度PQ是(　C　)
A．70 m B．80 m
C．90 m D．100 m
8．如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，連接AD，點E在邊AC上，過點E作EF∥BC，交AD于點F，過點E作EG∥AB，交BC于點G，則下列式子中一定正確的是(　C　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
9．如圖，P為線段AB上的一點，AD與BC交于點E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC與PD交于點F，AD與PC交于點G，則下列結論中錯誤的是(　D　)
A．△APD∽△PGD
B．△APG∽△BFP
C．△PCF∽△BCP
D．△CGE∽△CBP
10．如圖，已知AB∥CD，AD，BC相交于點E，AF分別交BC，CD于點F，G，∠FAE＝∠ABE，則圖中相似三角形有 6 對．
11．將三角形紙片(△ABC)按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4．若以點B′，F，C為頂點的三角形與△ABC相似，則BF的長度是 或2 ．
12．如圖，小明周末晚上陪父母在馬路上散步，他由燈下A處前進4 m到達B處時，測得影長BC為1 m．已知小明身高為1.6 m，他若繼續往前走4 m 到達D處，此時影長DE為 2 m．
13．如圖，F為四邊形ABCD的邊CD上的一點，連接AF并延長，交BC的延長線于點E，已知∠D＝∠DCE．
(1)求證：△ADF∽△ECF；
(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝6，AF＝2EF，求DF的長．
(1)證明：∵∠D＝∠DCE，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF．
(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BE，CD＝AB＝6．
∴AF∶EF＝DF∶CF．
又∵AF＝2EF，
∴DF∶CF＝2∶1，即DF＝CD＝4．
14．如圖，在△ABC中，點D在BC上，＝，∠BAD＝∠CAE．
(1)求證：△BAC∽△DAE；
(2)當∠B＝40°時，求∠ACE的大小．
(1)證明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．
∴∠BAC＝∠DAE．
∵＝，∴△BAC∽△DAE．
(2)解：∵＝，∴＝．
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
∴∠ACE＝∠B＝40°．
【創新運用】
15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm．動點M從點C出發，以1 cm/s的速度沿CA向終點A移動，同時動點P從點A出發，以 2 cm/s 的速度沿AB向終點B移動．連接PM．設移動時間為 t s(0＜t＜2.5)．
(1)AP＝ 2t cm，AM＝ (4－t) cm．(均用含t的代數式表示)
(2)當AP＝AM時，求t的值．
(3)是否存在某一時刻t，使以M，P，A為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出相應t的值；若不存在，請說明理由．
解：(2)當AP＝AM時，即2t＝4－t，解得t＝．
∴當AP＝AM時，t＝．
(3)存在．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，
根據勾股定理，得AB＝＝＝5(cm)．
存在以M，P，A為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況：
①當△AMP∽△ABC時，＝，
即＝，解得t＝．
②當△APM∽△ABC時，＝，
即＝，解得t＝．
綜上所述，當t＝或t＝時，以M，P，A為頂點的三角形與△ABC相似．
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