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課時分層訓練(八)　解直角三角形
知識點一　已知兩邊解直角三角形
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則cos A的值為 ．
2．解直角三角形：
(1)∠C＝90°，AB＝5，BC＝5；
(2)∠C＝90°，AC＝，BC＝．
解：(1)∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝5，
∴AC＝＝＝5，
sin A＝＝＝．
∴∠A＝45°．∴∠B＝90°－∠A＝45°．
(2)∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴AB＝＝＝2，tan A＝＝＝．
∴∠A＝60°．∴∠B＝90°－∠A＝30°．
知識點二　已知一邊及一銳角解直角三角形
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，∠A＝42°，則BC的長約為 8.0 ．(結果精確到0.1．參考數據：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
4．如圖，在△ABC中，BD⊥AC，BD＝3，CD＝2，∠A＝30°．求：
(1)AB和AD的長；
(2)cos C的值．
解：(1)在△ABC中，BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ADB中，BD＝3，∠A＝30°，
∴AB＝2BD＝6．
∴AD＝＝＝3．
(2)在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝3，CD＝2，
由勾股定理，得BC＝＝．
∴cos C＝＝＝．
知識點三　已知一邊及一銳角的三角比解直角三角形
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AB＝10，則BC的長為(　D　)
A．3 B．4
C．6 D．8
6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sin B＝．求AC的長及∠A的正切值．
解：在Rt△ABC中，sin B＝＝，AB＝13，
∴AC＝5．
∴BC＝＝＝12．
∴tan A＝＝．
知識點四　解非直角三角形
7．如圖，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，則AC的長為(　B　)
第7題圖
A．
C． D．2
8．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，則sin ∠ACB＝ ．
第8題圖
知識點五　解非直角三角形與相似三角形的綜合應用
9．如圖，在Rt△BAD中，延長斜邊BD到點C，使DC＝BD，連接AC．若tan ∠ADB＝，則tan ∠CAD的值為(　B　)
A．
C．
10．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，D是CB延長線上的一點，且AB＝BD，則tan D的值為(　D　)
A．2 B．3
C．2＋ D．2－
11．如圖為一節樓梯的示意圖，BC⊥AC，∠BAC＝α，AC＝6 m．現要在樓梯上鋪一塊地毯，樓梯寬度為1 m，則地毯的面積至少需要(　B　)
A．m2 B．(6tan α＋6)m2
C． m2 D． m2
12．如圖，在6×7的網格中，每個小正方形的邊長均為1．若點A，B，C都在格點上，則sin B的值為(　A　)
A．
C．
13．在△ABC中，AB＝，AC＝，tan C＝，則∠B的度數為 45°或135° ．
14．如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數恰為2 cm．若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數為 (2＋2) cm．
15．如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ADC＝120°，BC＝14，AD＝3，求DC的長．
解：如圖，延長BA，CD交于點E．
∵在四邊形ABCD中，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ADC＝120°，BC＝14，AD＝3，
∴∠B＝60°．∴∠BEC＝90°－∠B＝30°．
∴BE＝2BC＝28，DE＝2AD＝6．
∴CE＝＝＝14．
∴CD＝CE－DE＝14－6，
即DC的長為14－6．
16．如圖，AD是△ABC的中線，tan B＝，cos C＝，AC＝2，求：
(1)BC的長；
(2)sin ∠ADC的值．
解：(1)如圖，過點A作AE⊥DC，垂足為點E．
在Rt△AEC中，cos C＝，AC＝2，
∴EC＝AC·cos C＝2＝2．
∴AE＝＝＝2．
在Rt△ABE中，tan B＝，
∴BE＝＝＝4．
∴BC＝BE＋EC＝4＋2＝6．
(2)∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝BC＝3．
∴DE＝BE－BD＝4－3＝1．
在Rt△AED中，AE＝2，
∴AD＝＝＝．
∴sin ∠ADC＝＝＝．
【創新運用】
17．閱讀理解：通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．同理，可以在等腰三角形中，建立邊角之間的聯系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫作頂角正對(sad)．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作“sad A”，這時sad A＝底邊÷腰＝．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據上述角的正對定義，解答下列問題：
(1)如圖2，利用等腰直角三角形計算：sad 90°＝ ；
(2)如圖3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，若sin A＝，求sad A的值．
解：(2)如圖，過點B作AC的垂線，垂足為點M．
∵AB＝5，sin A＝，
∴＝．∴BM＝4．
在Rt△ABM中，AM＝＝3，
∴CM＝5－3＝2．
在Rt△BCM中，BC＝＝2，
∴sad A＝＝．
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