資源簡介

第2章成果展示　解直角三角形
(時間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么cos A等于(　B　)
A．
C．
2．按如圖所示的運算程序，能使輸出y值為的是(　C　)
A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45°
C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°
3．在△ABC中，(tan A－3)2＋＝0，則△ABC是(　A　)
A．直角三角形
B．等邊三角形
C．含60°角的任意三角形
D．頂角為鈍角的等腰三角形
4．一樹干被臺風吹斷，折斷部分與地面成30°角，樹干底部與樹尖著地處相距20 m，則樹干原來的高度為(　B　)
A． m B．20 m
C． m D．20 m
5．在正方形網格中，△ABC的位置如圖，其中點A，B，C均在格點上，則cos B的值是(　A　)
A．
C．
第5題圖
　　　　
第6題圖
6．在商周時期就有了用來攀登城墻的設備——云梯，后被魯國人魯班加以改進．如圖，梯子(長度不變)跟地面所成的銳角為∠α，關于∠α的三角函數值與梯子的傾斜程度之間的說法，敘述正確的是(　A　)
A．sin α的值越大，梯子越陡
B．cos α的值越大，梯子越陡
C．tan α的值越小，梯子越陡
D．陡緩程度與∠α的函數值無關
7．公元3世紀，我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出了“趙爽弦圖”．如圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形的面積是25，那么(sin θ－cos θ)2＝(　A　)
A．
C．
8．如圖，海中有一小島A，在點B測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從點B出發由西向東航行10 n mile 到達點C，在點C測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離AC為(　D　)
A． n mile B． n mile
C．20 n mile　 D．10 n mile
9．如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊(OC⊥OB，點A，B，C，D，O在同一平面內)，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，則點A到OC的距離等于(　D　)
A．a sin x＋b sin x B．a cos x＋b cos x
C．a sin x＋b cos x D．a cos x＋b sin x
10．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長為a，則其底邊上的高是(　D　)
A．a B．a
C．a D．a或a
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．計算：tan 45°＋cos 60°－tan 60°＝ ．
12．比較三角函數值的大小：sin 30° < tan 30°．(填“＞”“＜”或“＝”)
13．如圖，網格中的四個格點組成菱形ABCD，則tan ∠DBC的值為 3 ．
第13題圖
14．人字梯為現代家庭常用的工具(如圖)．若AB，AC的長都為2 m，當α＝50°時，人字梯頂端離地面的高度AD是 1.5 m．(結果精確到0.1 m．參考數據：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)
第14題圖
15．西周時期，丞相周公旦設計過一種通過測量正午日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表(如圖1)．它包括一根直立的標桿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺(稱為“圭”)．當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上．圖2是一個根據某市地理位置設計的圭表平面示意圖，表AC垂直于圭BC．已知該市冬至正午太陽高度角(即∠ABC)為α，夏至正午太陽高度角(即∠ADC)為β．若表AC的長為m，則圭面上冬至線與夏至線之間的距離(即BD的長)為．
解析：在Rt△ACD中，AC＝m，∠ADC＝β，
∴CD＝＝．
在Rt△ACB中，AC＝m，∠ABC＝α，
∴BC＝＝．
∴BD＝BC－CD＝．
16．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，則sin ∠ABD＝ ．
三、解答題(本大題共6個小題，共56分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(6分)計算：2cos245°＋tan60°·tan 30°－cos 60°．
解：原式＝2×＋＝1＋1－＝．
18．(8分)解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，已知a＝5，∠B＝60°．
解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝180°－60°－90°＝30°．
∴sin A＝sin 30°＝＝＝．∴c＝10．
由勾股定理，得b＝＝＝＝5，則b＝5，c＝10，∠A＝30°．
19．(10分)在△ABC中，∠B，∠C 均為銳角，其對邊分別為b，c，求證：＝．
證明：如圖，過點A作AD⊥BC于點D．
在Rt△ABD中，sin B＝，
∴AD＝AB·sin B．
在Rt△ADC中，sin C＝，
∴AD＝AC·sin C．
∴AB·sin B＝AC·sin C．
∵AB＝c，AC＝b，∴c sin B＝b sin C．
∴＝．
20．(10分)小宸想利用測量知識測算湖中小山的高度．他站在湖邊看臺上，清晰地看到小山倒映在平靜的湖水中．如圖，他在點O處測得小山頂端的仰角為45°，小山頂端A在水中倒影A′的俯角為60°．已知點O到湖面的距離OD＝3 m，OD⊥DB，AB⊥DB，A，B，A′三點共線，A′B＝AB，求小山的高度AB．(光線的折射忽略不計，結果保留根號)
解：過點O作OE⊥AB于點E(圖略)，則BE＝OD＝3 m．
設AE＝x m，則AB＝(x＋3)m，A′E＝(x＋6)m．
∵∠AOE＝45°，∴OE＝AE＝x m．
∵∠A′OE＝60°，∴tan 60°＝＝，
即＝，解得x＝3＋3．
∴AB＝3＋3＋3＝(6＋3)m．
答：小山的高度AB為(6＋3)m．
21．(10分)某興趣小組為了測量大樓CD的高度，先沿著斜坡AB走了52 m到達坡頂點B處，然后在點B處測得大樓頂點C的仰角為53°．已知斜坡AB的坡度i＝1∶2.4，點A到大樓的距離AD為72 m，求大樓的高度CD．
解：如圖，過點B作BE⊥AD于點E，作BF⊥CD于點F．
∵CD⊥AD，∴四邊形BEDF是矩形．
∴FD＝BE，FB＝DE．
在Rt△ABE中，BE∶AE＝1∶2.4＝5∶12，
設BE＝5x，則AE＝12x．
在Rt△ABE中，根據勾股定理，得AB＝13x，
∴13x＝52，解得x＝4．
∴BE＝FD＝5x＝20，AE＝12x＝48．
∴DE＝FB＝AD－AE＝72－48＝24(m)．
在Rt△CBF中，CF＝FB·tan ∠CBF≈24×＝32(m)，∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52(m)．
答：大樓的高度CD約為52 m．
22．(12分)閱讀材料：關于三角比有如下的公式：sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β，tan (α＋β)＝．利用這些公式可以將兩角和的三角比轉化成兩個三角比的和，如：tan 75°＝tan (30°＋45°)＝＝＝＝2＋．
問題解決：根據以上閱讀材料，請選擇適當的公式解答下列問題．
(1)求sin 75°．
(2)如圖，邊長為2的等邊三角形ABC沿直線滾動，設當△ABC滾動240°時，點C的位置在C′處，當△ABC滾動480°時，點A的位置在A′處．求：
①tan ∠CAC′的值；
②∠CAC′＋∠CAA′的度數．
解：(1)sin 75°＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°·sin 45°
＝＝．
(2)①如圖1，過點C′作C′E⊥l于點E．
圖1
∵△ABC是等邊三角形且邊長為2，
∴C′E＝，AE＝2＋2＋1＝5．
∴tan ∠CAC′＝＝．
②如圖2，過點A′作A′F⊥l于點F．
圖2
∵△ABC是等邊三角形且邊長為2，
∴A′F＝，AF＝2＋2＋2＋2＋1＝9．
∴tan ∠CAA′＝＝．
設∠CAC′＝α，∠CAA′＝β，
∴tan (α＋β)＝＝＝．
∴α＋β＝30°，即∠CAC′＋∠CAA′＝30°．
8/8

展開更多......

收起↑