資源簡介

綜合質量評價(一)
(時間：120分鐘　滿分：150分)
第Ⅰ卷(選擇題　共48分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．觀察下列每組圖形，其中兩個圖形可能是相似圖形的是(　C　)
A　　　　　　　 B
C　　　　　　　 D
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，則∠A的正切值為(　A　)
A．3 B．
C．
3．在△ABC中，BC＝54 cm，CA＝45 cm，AB＝63 cm．另一個和它相似的三角形的最短邊長為15 cm，則最長邊長一定是(　B　)
A．18 cm B．21 cm
C．24 cm D．19.5 cm
4．計算：＋tan 30°·sin 60°＝(　C　)
A．－ B．2
C．
5．已知線段a，b，c，求作線段x，使x＝，下列作法中正確的是(　D　)
6．如圖，以點D為位似中心，作△ABC的一個位似三角形A1B1C1，A，B，C的對應點分別為A1，B1，C1，DA1與DA的比值為k．若兩個三角形的頂點及點D均在格點上，則k的值和點的坐標分別為(　A　)
A．2，(2，8) B．4，(2，8)
C．2，(2，4) D．2，(4，4)
7．如圖，在△ABC中，BC＞AC，點D在邊BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分線CE交AD于點E，點F是AB的中點，則S△AEF∶S四邊形BDEF的值為(　D　)
第7題圖
A．3∶4 B．1∶2
C．2∶3 D．1∶3
8．如圖，在△ABC中，點M是AC的中點，點E，F是邊BC上的兩點，且BE＝EF＝FC，則BN∶NQ∶QM等于(　C　)
第8題圖
A．6∶3∶2 B．2∶1∶1
C．5∶3∶2 D．1∶1∶1
9．如圖，矩形EFGO的兩邊在坐標軸上，點O為平面直角坐標系的原點，以y軸上的某一點為位似中心，作位似圖形ABCD，且點B，F的坐標分別為(－4，4)，(2，1)，則位似中心的坐標為(　C　)
第9題圖
A．(0，3) B．(0，2.5)
C．(0，2) D．(0，1.5)
10．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D沿邊BC自點B向點C運動(點D與點B，C不重合)，作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，則BE＋CF的值(　C　)
第10題圖
A．不變 B．增大
C．減小 D．先變大再變小
11．周末，劉老師讀到《行路難》中“閑來垂釣碧溪上，忽復乘舟夢日邊”，邀約好友一起去江邊垂釣．如圖，釣魚竿AC的長為4 m，露在水面上的魚線BC的長為2 m，劉老師想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC逆時針轉動15°到AC′的位置，此時露在水面上的魚線B′C′的長度是(　C　)
A．3 m　 B．2 m
C．2 m D．3 m
12．在銳角三角形ABC中，AB＝AC，邊BC的長為6，高AD的長為4，正方形PQMN的兩個頂點在△ABC一邊上，另兩個頂點分別在△ABC的另兩邊上，則正方形PQMN的邊長為(　B　)
A． 或
C．或 或
第Ⅱ卷(非選擇題　共102分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
13．如果β是銳角，且tan β＝，那么sin β的值是 ．
14．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點P在矩形ABCD的內部，點E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC．若△APD是等腰三角形，則PE的長為 1.2或3 ．
15．如圖，小軍、小珠之間的距離為2.7 m，他們在同一盞路燈下的影長分別為1.8 m，1.5 m，已知小軍、小珠的身高分別為1.8 m，1.5 m，則路燈的高為 3 m．
第15題圖
16．如圖，已知△ABC和△AED均為等邊三角形，點D在邊BC上，DE與AB相交于點F．如果AC＝12，CD＝4，那么BF的長度為 ．
第16題圖
17．如圖，一艘輪船自西向東航行，航行到A處測得小島C位于北偏東60°方向上，繼續向東航行10 n mile到達點B處，測得小島C在輪船的北偏東15°方向上，此時輪船與小島C的距離為 5 n mile．(結果保留根號)
18．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，則△ABC的面積為 2或14 ．
三、解答題(本大題共8個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19．(6分)已知α是銳角，且sin α＝，求3cos2α＋sin(α－15°)tan (α＋15°)－cos (α－15°)的值．
解：∵sin α＝，且α是銳角，∴α＝45°．
∴原式＝3cos245°＋sin30°·tan 60°－cos 30°＝3×＋＝＝．
20．(8分)如圖，在正方形ABCD中，P是邊BC上的點，且BP＝3PC，點Q是邊CD的中點．求證：△ADQ∽△QCP．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，BP＝3PC，點Q是CD的中點，
∴QC＝QD＝AD，CP＝AD．∴＝．
又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°，
∴△ADQ∽△QCP．
21．(8分)在學習“功和簡單機械”時有這樣一個問題：如圖1，均勻桿AB長為8 dm，桿AB可以繞轉軸點A在豎直平面內自由轉動，在點A正上方距離為10 dm 處固定一個小定滑輪，細繩通過定滑輪與桿的另一端B相連，并將桿AB從水平位置緩慢向上拉起．當桿AB與水平面夾角為30°時，求動力臂．從數學角度看是這樣一個問題：如圖2，已知AB＝8 dm，CA⊥AD于點A，且CA＝10 dm，連接CB，求點A到BC的距離．請寫出解答過程，求出點A到BC的距離．(結果保留根號)
解：如圖，過點B作BE⊥AC于點E．
∵CA⊥AD，∴∠DAC＝90°．
∵∠BAD＝30°，∴∠BAE＝60°．
∵∠AEB＝90°，∴∠ABE＝30°．
∵AB＝8 dm，∴AE＝AB＝4 dm．
∴BE＝AB＝4 dm．
∵AC＝10 dm，∴CE＝10－4＝6(dm)．
∴BC＝＝＝2(dm)．
設點A到BC的距離為h dm．
∵S△ABC＝AC·BE＝BC·h，
∴h＝＝，
即點A到BC的距離為 dm．
22．(10分)如圖，在正方形ABCD中，點M為邊BC上一點，點F是AM的中點，EF⊥AM，垂足為點F，交邊AD的延長線于點E，交邊DC于點N．
(1)求證：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的長．
(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC．
∴∠AMB＝∠EAF．
又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°．
∴∠B＝∠AFE．∴△ABM∽△EFA．
(2)解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12．
∵點F是AM的中點，∴AF＝AM＝6.5．
∵△ABM∽△EFA，∴＝，
即＝．
∴AE＝16.9．∴DE＝AE－AD＝4.9．
23．(10分)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于點E，且AE＝CE，DE＝5，EB＝12．
(1)求AD的長；
(2)若∠CAB＝30°，求四邊形ABCD的周長．
解：(1)∵∠ABC＝90°，AE＝CE，EB＝12，
∴EB＝AE＝CE＝12．
∵DE⊥AC，DE＝5，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD＝＝＝13．
(2)∵在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，
AC＝AE＋CE＝24，
∴BC＝12，AB＝AC·cos 30°＝12．
∵DE⊥AC，AE＝CE，∴DC＝AD＝13．
∴四邊形ABCD的周長＝AB＋BC＋CD＋AD＝38＋12．
24．(12分)京杭大運河是世界文化遺產．綜合實踐活動小組為了測出某段運河的河寬，如圖，在岸邊分別選定了點A，B和點C，D，先用卷尺量得AB＝160 m，CD＝40 m，再用測角儀測得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求該段運河的河寬CH的長．
解：如圖，過點D作DE⊥AB．
可得四邊形CHED為矩形，∴HE＝CD＝40 m．
設CH＝DE＝x m．
在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，
∴BE＝x m．
在Rt△ACH中，∠CAB＝30°，∴AH＝x m．
由AH＋HE＋EB＝AB＝160 m，
得x＋40＋x＝160，
解得x＝30，即CH＝30 m．
答：該段運河的河寬CH的長為30 m．
25．(12分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點D，E，F分別是邊AC，BC上一點．
(1)求證：＝；
(2)若CE＝AC，BF＝BC，求∠EDF的度數．
(1)證明：∵CD⊥AB，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ADC＝∠CDB＝90°．
又∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°．
∴∠B＝∠ACD．∴△ADC∽△CDB．
∴＝．
(2)解：∵CE＝AC，BF＝BC，＝，
∴＝＝＝．
又∵∠ACD＝∠B，∴△CED∽△BFD．
∴∠CDE＝∠BDF．
∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝∠BDF＋∠CDF＝∠CDB＝90°，即∠EDF＝90°．
26．(12分)圖1為搭建在地面上的遮陽棚，圖2、圖3是遮陽棚支架的示意圖．遮陽棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構成，滑塊E，H可分別沿等長的立柱AB，DC上下移動，AF＝EF＝FG＝1 m．請解答下列問題．(結果精確到0.1 m．參考數據：≈1.73，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
(1)若移動滑塊使AE＝EF，求∠AFE的度數和棚寬BC的長．
(2)當∠AFE由60°變為74°時，棚寬BC是增加還是減少？增加或減少了多少？
圖1　　　　　　　圖2
圖3
解：(1)∵AE＝EF＝AF＝1 m，
∴△AEF是等邊三角形．
∴∠AFE＝60°．
如圖，連接MF并延長交AE于點K，則FM＝2FK．
∵△AEF是等邊三角形，∴AK＝ m．
∴FK＝＝ m．
∴FM＝2FK＝ m．
∴BC＝4FM＝4≈6.9 m．
(2)∵∠AFE＝74°，AF＝EF，
∴∠AFK＝37°．
∴KF＝AF·cos 37°≈0.80 m．
∴FM＝2FK＝1.60 m．
∴BC＝4FM＝6.40 m＜6.9 m．
6．9－6.40＝0.5(m)．
答：當∠AFE由60°變為74°時，棚寬BC減少了，減少了約0.5 m．
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