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課時分層訓練(十)　圓的對稱性
知識點一　圓的軸對稱性與垂徑定理
1．下列說法中，不正確的是(　C　)
A．圓是軸對稱圖形
B．圓的任意一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸
C．圓的任意一條直徑都是圓的對稱軸
D．經過圓心的任意直線都是圓的對稱軸
2．如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，AC，OB交于點D．若AD＝CD＝8，OD＝6，則BD的長為(　B　)
第2題圖
A．5 B．4
C．3 D．2
3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．若AB＝10，AE＝1，則弦CD的長是(　C　)
第3題圖
A． B．2
C．6 D．8
4．如圖，在一個殘缺的圓形工件上量得弦BC＝8 cm，的中點D到弦BC的距離DE＝2 cm，則這個圓形工件的半徑是 5 cm．
知識點二　弧、弦、圓心角之間的關系
5．下列說法中，正確的有(　A　)
①相等的圓心角所對的弧相等；
②平分弦的直徑也平分弦所對的弧；
③長度相等的兩條弧是等??；
④經過圓心的每一條直線將圓分成兩條等弧．
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
6．如圖，AB是⊙O的直徑，＝＝，∠COD＝34°，則∠A的度數是(　A　)
A．51° B．56°
C．68° D．78°
7．如圖，AB，CD是⊙O的弦，OC，OD分別交AB于點E，F，且OE＝OF．求證：＝．
證明：如圖，過點O作OG⊥AB于點G，延長OG與⊙O交于點H．
∵OE＝OF，OG⊥EF于點G，
∴∠EOG＝∠FOG．∴＝．
∵OG⊥AB于點G，OA＝OB，
∴∠AOG＝∠BOG．
∴＝．
∴＝，即＝．
知識點三　圓心角的度數和它所對弧的度數的關系
8．若圓的一條弦把圓分成度數比為1∶3的兩條弧，則該弦所對的圓心角的度數是(　A　)
A．90° B．45°
C．135° D．45°或135°
9．如圖，有一塊三角尺ABC，∠C為直角，∠ABC＝30°，將它放置在⊙O中，點A，B在圓上，邊BC經過圓心O，劣弧的度數為 120° ．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝26°，以點C為圓心、BC長為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，則的度數為 52° ，的度數為 38° ．
11．如圖，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為點M，N．如果MN＝3，那么BC＝(　C　)
A．4 B．5
C．6 D．7
12．如圖，某圓弧形拱橋的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m，則該拱橋的半徑為(　D　)
A．15 m B．13 m
C．9 m D．6.5 m
13．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝30°，則CD的長為(　D　)
A．
C．2 D．2
14．已知⊙O的直徑CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為點M，且AB＝8 cm，則AC的長為 2或4 cm．
15．如圖，A是半圓上的一個三等分點，B是 的中點，P是直徑MN上的一個動點，⊙O的半徑為1，則AP＋PB的最小值為 ．
16．如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上任意一點，求PA＋PC的最小值．
解：如圖，過點C作CH⊥AB，垂足為點H，連接OB，OC，BC，此時PA＋PC的最小值即為BC的長．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直徑，
AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，
∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9．
∴OE＝＝＝9，
OF＝＝＝12．
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21．
在Rt△BCH中，根據勾股定理，得BC＝＝＝21，即PA＋PC的最小值為21．
17．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8，點C在BO的延長線上，且cos ∠ABC＝，OC＝OB．求：
(1)⊙O的半徑；
(2)∠BAC的正切值．
解：(1)如圖，過點O作OD⊥AB，垂足為點D．
∵AB＝8，∴AD＝BD＝AB＝4．
在Rt△OBD中，cos ∠ABC＝，
∴OB＝＝＝5．
∴⊙O的半徑為5．
(2)如圖，過點C作CE⊥AB，垂足為點E．
∵OC＝OB，OB＝5，
∴BC＝OB＝7.5．
∵OD⊥AB，∴OD∥CE．
∴＝．∴＝．∴BE＝6．
∴AE＝AB－BE＝8－6＝2．
在Rt△BCE中，
CE＝＝＝4.5．
在Rt△ACE中，
tan ∠BAC＝＝＝．
∴∠BAC的正切值為．
【創新運用】
18．如圖是某蔬菜基地搭建的一座圓弧形蔬菜棚，跨度AB＝3.2 m，拱高CD＝0.8 m(C為AB的中點，D為的中點，DC⊥AB于點C)．
(1)求該圓弧所在圓的半徑；
(2)在距蔬菜棚的一端0.4 m處豎立支撐桿EF，求支撐桿EF的高度．
解：(1)如圖，設所在圓的圓心為O，連接OB．
∵D為的中點，DC⊥AB于點C，
∴點O在直線DC上．
∴BC＝AB＝×3.2＝1.6(m)．
設⊙O的半徑為R m．
在Rt△OBC中，OB2＝OC2＋CB2，
∴R2＝(R－0.8)2＋1.62，解得R＝2，
即該圓弧所在圓的半徑為2 m．
(2)如圖，過點O作OH⊥FE，交FE的延長線于點H，易得四邊形OCEH是矩形，
∴OH＝CE＝BC－BE＝1.6－0.4＝1.2(m)，OF＝2 m．
在Rt△OHF中，由勾股定理，得
HF＝＝＝1.6(m)．
∵HE＝OC＝OD－CD＝2－0.8＝1.2(m)，
∴EF＝HF－HE＝1.6－1.2＝0.4(m)，
即支撐桿EF的高度為0.4 m．
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