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第二十四章成果展示
圓
(時間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，CM＝DM＝2，MO的延長線交⊙O于點E，EM＝6，則圓的半徑為(　D　)
A．4 B．2
C． D．
第1題圖　　　　第2題圖
2．如圖，△ABC的頂點A，B，C均在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝75°，則∠OAC的大小是(　C　)
A．25° B．50°
C．65° D．75°
3．如圖，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，則∠ABO的度數為(　B　)
A．70° B．55°
C．45° D．35°
第3題圖
第4題圖
4．如圖，O為線段BC的中點，點A，C，D到點O的距離相等．若∠ABC＝40°，則∠ADC的度數是(　B　)
A．130° B．140°
C．150° D．160°
5．在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝6，對角線AC，BD相交于點O，以點O為圓心、3為半徑作⊙O，則A，B，C，D四個點在⊙O上的個數為(　B　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(0，3)，點B的坐標為(2，1)，點C的坐標為(2，－3)．經畫圖操作，可知△ABC的外心的坐標是(　A　)
A．(－2，－1) B．(1，0)
C．(0，0) D．(2，0)
第6題圖
第7題圖
7．如圖，PA，PB分別切⊙O于A，B兩點．若∠P＝40°，則∠C的度數為(　C　)
A．40° B．140°
C．70° D．80°
8．如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，點P在上，Q是的中點，則∠CPQ的度數為(　B　)
A．30° B．45°
C．36° D．60°
9．如圖，拋物線y＝x2－4與x軸交于A，B兩點，P是以點C(0，3)為圓心、2為半徑的圓上的動點，Q是線段PA的中點，連接OQ，則線段OQ的最大值是(　C　)
A．3 B．
C． D．4
第9題圖
　
第10題圖
10．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，以BC為直徑的半圓O交AB于點D，交AC于點E，則圖中陰影部分的面積是(　B　)
A．2－ B．2－
C．4－ D．4－
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．如圖，AC是⊙O的直徑，B，D是⊙O上的點．若⊙O的半徑為3，∠ADB＝30°，則的長為 2π ．
第11題圖　　　　第12題圖
12．如圖，AC是圓內接四邊形ABCD的一條對角線，點D關于AC的對稱點E在邊BC上，連接AE．若∠ABC＝64°，則∠BAE的度數為 52° ．
13．⊙O的半徑為R，點O到直線l的距離為d，R，d是關于x的方程x2－4x＋m＝0的兩根，當直線l與⊙O相切時，m的值為 4 ．
14．在《九章算術》中記載有一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何．”小輝同學根據題意，畫出圓材截面圖如圖．已知：鋸口深為1寸，鋸道AB＝1尺(1尺＝10寸)，則該圓材的直徑為 26 寸．
15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD為直徑作⊙O．將矩形ABCD繞點C旋轉，使所得矩形A′B′CD′的邊A′B′ 與⊙O相切，切點為E，邊CD′與⊙O相交于點F，則CF的長為 4 ．
第15題圖
第16題圖
16．如圖，⊙O的直徑AB的長為8，P是 上一動點，∠APB的平分線交⊙O于點Q，點I為△APB的內心，連接QA，下列結論：①Q是定點；②PQ的最大值為8；③QI的長為定值；④AP·BP的最大值為16．
其中，正確的是 ①②③ ．(填序號)
三、解答題(本大題共6個小題，共56分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(6分)如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點E．
(1)求證：∠BCO＝∠D；
(2)若CD＝4，AE＝2，求⊙O的半徑．
(1)證明：∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B．
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D．
(2)解：∵AB是⊙O的直徑，且CD⊥AB于點E，
∴CE＝CD＝×4＝2．
在Rt△OCE中，OC2＝CE2＋OE2．
設⊙O的半徑為r，則OC＝r，OE＝OA－AE＝r－2，
∴r2＝(2)2＋(r－2)2，
解得r＝3．
∴⊙O的半徑為3．
18．(8分)如圖，殘破的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交于點C，交弦AB于點D．已知 AB＝24 cm，CD＝8 cm．
(1)作出此殘片所在的圓；(不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)求殘片所在圓的面積．
解：(1)如圖，連接AC，作弦AC的垂直平分線，與弦AB的垂直平分線交于點O，以點O為圓心、OA長為半徑作⊙O，⊙O就是此殘片所在的圓．
(2)如圖，連接OA．
設OA＝x cm，則OD＝(x－8)cm．
在Rt△AOD中，AD＝AB＝12 cm．
根據勾股定理列方程，得x2＝122＋(x－8)2，
解得x＝13，
即圓的半徑為13 cm．
∴圓的面積為π×132＝169π(cm2)．
19．(8分)某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，如圖(1)，它的底面圓的直徑DE與母線AD長度之比為1∶2．制作這種外包裝需要用如圖(2)所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．將扇形AEF圍成圓錐時，AE，AF恰好重合．
(1)求這種加工材料的頂角∠BAC的大??；
(2)若圓錐底面圓的直徑DE為5 cm，求加工材料剩余部分(圖中陰影部分)的面積．(結果保留π)
(1)　　　　 　　　　(2)
第19題圖
解：(1)設∠BAC＝n°．
由題意，得π·DE＝，AD＝2DE，
∴n＝90．∴∠BAC＝90°．
(2)由(1)得∠BAC＝90°．
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D為BC的中點．
∴BC＝2AD．
∵AD＝2DE＝10 cm，
∴BC＝2AD＝20 cm．
∴S陰影＝BC·AD－S扇形AEF＝×20×10－＝(100－25π)cm2．
20．(10分)如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O分別與AC和BC相交于點D和點E，連接OD，DE．求證：
(1)OD∥BC；
(2)AD＝DE．
證明：(1)∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C．
∴∠ODA＝∠C．∴OD∥BC．
(2)如圖，連接OE，
∴OB＝OE．
∴∠B＝∠OEB．
由(1)知OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B，∠OEB＝∠EOD．
∴∠AOD＝∠EOD．
∴AD＝DE．
21．(12分)如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，BE是⊙O的直徑，連接BF，延長BA，過點F作FG⊥BA，垂足為G．
(1)求證：FG是⊙O的切線；
(2)已知FG＝2，求圖中陰影部分的面積．
(1)證明：如圖，連接OF，OA．
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝．
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°．
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°．
∴∠ABF＝∠BFO．
∴AB∥OF．
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG．
∵OF為半徑，
∴FG是⊙O的切線．
(2)解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°．
∵OA＝OF，
∴△AOF是等邊三角形．
∴∠AFO＝60°．
∴∠AFG＝90°－60°＝30°．
∵FG＝2，∴AF＝4．
∴AO＝4．
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF．
∴圖中陰影部分的面積為＝π．
22．(12分)如圖，在圓的內接五邊形ABCDE中，AD和BE交于點N，AB和EC的延長線交于點M，CD∥BE，BC∥AD，BM＝BC＝1，D是 　的中點．
(1)求證：BC＝DE；
(2)求證：AE是圓的直徑；
(3)求圓的面積．
(1)證明：∵CD∥BE，∴∠DCE＝∠CEB．
∴＝．∴BC＝DE．
(2)證明：如圖，連接AC．
∵BC∥AD，∴∠CAD＝∠BCA．
∴＝．
∴AB＝CD．
∵D是的中點，∴＝．∴CD＝DE．
又∵BC＝DE，∴AB＝BC．
又∵BM＝BC，∴AB＝BC＝BM，
即△ACB和△BCM都是等腰三角形．
在△ACM中，∠ACM＝∠ACB＋∠BCM＝×180°＝90°，
∴∠ACE＝90°．∴AE是圓的直徑．
(3)解：由(1)(2)，得＝＝＝．
又∵AE是圓的直徑，
∴∠BEA＝∠DAE＝22.5°，∠BAN＝45°．
∴NA＝NE．∴∠BNA＝∠BAN＝45°，∠ABN＝90°．∴AB＝BN．
∵AB＝BM＝1，∴BN＝1．
∴AN＝NE＝．
∴BE＝NE＋BN＝＋1．
在△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2＝12＋(＋1)2＝4＋2．
∴S圓＝π＝π·AE2＝π．
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