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專項突破提升(一)
二次函數的圖象與性質
類型一　二次函數圖象的對稱性與系數的關系
1．(4分)已知拋物線y＝(x－2)2＋1，下列結論錯誤的是(　D　)
A．拋物線開口向上
B．拋物線的對稱軸為直線x＝2
C．拋物線的頂點坐標為(2，1)
D．當x＜2時，y隨x的增大而增大
2．(4分)已知二次函數y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其中b＞0，c＞0，則該函數的圖象可能是(　C　)
3．(4分)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)的部分圖象如圖所示，設m＝a－b＋c，則m的取值范圍是 －4＜m＜0 ．
類型二　二次函數的增減性與最值問題
4．(4分)已知點A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在拋物線y＝(x－1)2－2上，點A在點B左側，下列選項正確的是(　D　)
A．若c＜0，則a＜c＜b
B．若c＜0，則a＜b＜c
C．若c＞0，則a＜c＜b
D．若c＞0，則a＜b＜c
5．(4分)設二次函數y＝a(x－m)(x－m－k)(a＞0，m，k是實數)，則(　A　)
A．當k＝2時，函數y的最小值為－a
B．當k＝2時，函數y的最小值為－2a
C．當k＝4時，函數y的最小值為－a
D．當k＝4時，函數y的最小值為－2a
解析：令y＝0，則(x－m)(x－m－k)＝0，
∴x1＝m，x2＝m＋k．
∴二次函數y＝a(x－m)(x－m－k)與x軸的交點坐標是(m，0)，(m＋k，0)．
∴二次函數的對稱軸是直線x＝＝＝．
∵a＞0，
∴y有最小值．
當x＝時，y最小，
即y＝a＝－a．
當k＝2時，函數y的最小值為y＝－a＝－a；
當k＝4時，函數y的最小值為y＝－a＝－4a．
故選A．
6．(4分)點A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函數y＝(x－1)2＋n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為(　B　)
A．m＞2 B．m＞
C．m＜1 D．＜m＜2
7．(10分)已知函數y＝－x2＋bx＋c(b，c為常數)的圖象經過點(0，－3)，(－6，－3)．
(1)求b，c的值；
(2)當－4≤x≤0時，求y的最大值；
(3)當m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．
解：(1)把(0，－3)，(－6，－3)代入y＝－x2＋bx＋c，
得b＝－6，c＝－3．
(2)∵y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6，
－4≤x≤0，
∴當x＝－3時，y有最大值，最大值為6．
(3)①當－3＜m≤0時，
當x＝0時，y有最小值，為－3．
當x＝m時，y有最大值，為－m2－6m－3．
∵y的最大值與最小值之和為2，
∴－m2－6m－3＋(－3)＝2．
∴m1＝－2，m2＝－4(舍去)．
②當m≤－3時，
當x＝－3時，y有最大值，為6．
∵y的最大值與最小值之和為2，
∴y的最小值為－4．
∴－(m＋3)2＋6＝－4．
∴m1＝－3－，m2＝－3＋(舍去)．
綜上所述，m＝－2或m＝－3－．
類型三　二次函數的動點問題
8．(10分)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c經過點A(－1，0)，B(2，－3)，與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．
(1)求拋物線的解析式．
(2)拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積是△BCD面積的4倍？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋c經過點A(－1，0)，B(2，－3)，
∴
解得
∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3．
(2)存在．
∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴點D的坐標為(1，－4)．
令x＝0，則y＝x2－2x－3＝－3，
∴點C的坐標為(0，－3)．
又∵點B的坐標為(2，－3)，∴BC∥x軸．
∴S△BCD＝×2×1＝1．
設拋物線上的點P的坐標為(m，m2－2m－3)，∴S△PBC＝×2×|m2－2m－3－(－3)|＝－2m|．
當|m2－2m|＝4×1時，
解得m＝1±．
當m＝1＋時，m2－2m－3＝1；
當m＝1－時，m2－2m－3＝1．
綜上，點P的坐標為(1＋，1)或(1－，1)．
類型四　二次函數的圖象與字母系數之間的關系
9．(4分)如圖，二次函數y＝ax2＋bx(a≠0)的圖象過點(2，0)，下列結論錯誤的是(　D　)
A．b＞0
B．a＋b＞0
C．x＝2是關于x的方程ax2＋bx＝0(a≠0)的一個根
D．若點(x1，y1)，(x2，y2)在二次函數的圖象上，則當 時，y2＜y1＜0
10．(4分)如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與y軸的交點在(0，1)與(0，2)之間，對稱軸為直線x＝－1，函數最大值為4，結合圖象給出下列結論：①b＝2a；②－3＜a＜－2；③4ac－b2＜0；④若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋a＝m－4(a≠0)有兩個不相等的實數根，則m＞4；⑤當x＜0時，y隨x的增大而減小．其中，正確的有(　B　)
A．2個 B．3個
C．4個 D．5個
11．(4分)已知拋物線y＝x2－bx＋c，當x＝1時，y＜0；當x＝2時，y＜0．下列判斷：①b2＞2c；②若c＞1，則b＞；③已知點，n1)，B(m2，n2)在拋物線y＝x2－bx＋c上，當 m1＜m2＜b時，n1＞n2；④若方程x2－bx＋c＝0的兩個實數根分別為x1，x2，則x1＋x2＞3．其中，正確的有(　C　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
類型五　二次函數與圖形變換
12．(4分)將拋物線y＝(x－1)2＋5平移后，得到拋物線的解析式為y＝x2＋2x＋3，則平移的方向和距離是(　D　)
A．向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
B．向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
C．向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
D．向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
13．(4分)小嘉說：將二次函數y＝x2的圖象平移或翻折后經過點(2，0)有4種方法：
①向右平移2個單位長度；
②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度；
③向下平移4個單位長度；
④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度．
你認為小嘉說的方法中正確的有(　D　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
14．(12分)如圖，點P(a，3)在拋物線C：y＝4－(6－x)2上，且在C的對稱軸的右側．
(1)寫出C的對稱軸和y的最大值，并求a的值；
(2)坐標平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點P及C的一段，分別記為P′，C′．平移該膠片，使C′所在拋物線對應的函數恰為y＝－x2＋6x－9．求點P′移動的最短路程．
解：(1)∵拋物線C：y＝4－(6－x)2＝－(x－6)2＋4，
∴拋物線的頂點為Q(6，4)，拋物線的對稱軸為直線x＝6，y的最大值為4．
當y＝3時，3＝－(x－6)2＋4，
解得x＝5或x＝7．
∵點P在對稱軸的右側，
∴P(7，3)．∴a＝7．
(2)∵平移后的拋物線的解析式為y＝，∴平移后的頂點為Q′(3，0)．
∵平移前拋物線的頂點為Q(6，4)，∴點P′移動的最短路程為QQ′＝＝5．
15．(12分)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線M經過A(－1，0)，且頂點坐標為B(0，1)．
(1)求拋物線M的函數解析式．
(2)設F(t，0)為x軸正半軸上一點，將拋物線M繞點F旋轉180°得到拋物線M1．
①若t＝1，直接寫出拋物線M1的函數解析式(頂點式即可)；
②t取符合條件的值時拋物線M1的頂點B1的坐標可表示為 (2t，－1) ，當拋物線M1與線段AB有公共點時，結合函數的圖象，求t的取值范圍．
解：(1)由拋物線M的頂點坐標為B(0，1)，設拋物線的函數解析式為y＝ax2＋1．
將A(－1，0)代入，得a×(－1)2＋1＝0，
解得a＝－1．
∴拋物線M的函數解析式為y＝－x2＋1．
(2)①由旋轉的性質，得B1(x，y)與B(0，1)關于點F(t，0)對稱，
∴＝t，＝0，解得x＝2t，y＝－1．
∴當t＝1時，點B1的坐標為(2，－1)．
∴y＝(x－2)2－1．
②由題意可知拋物線M1的頂點B1的坐標可以表示為(2t，－1)．
故答案為(2t，－1)．
∵二次項系數為1，∴拋物線M1的函數解析式為y＝(x－2t)2－1(t＞0)．
如圖，當拋物線M1經過點A(－1，0)時，(－1－2t)2－1＝0，
解得t1＝－1(舍去)，t2＝0．
如圖，當拋物線M1經過點B(0，1)時，
(0－2t)2－1＝1，解得t1＝，t2＝－(舍去)．
結合圖象可得0類型六　二次函數與一次函數的綜合問題
16．(4分)如圖，已知拋物線y＝ax2＋c與直線y＝kx＋m交于A(－3，y1)，B(1，y2)兩點，則關于x的不等式ax2＋c≥－kx＋m 的解集是(　D　)
A．x≤－3或x≥1
B．x≤－1或x≥3
C．－3≤x≤1
D．－1≤x≤3
17．(4分)如圖，拋物線y＝－x2－6x－5交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，D(m，m＋1)是拋物線上的點，則點D關于直線AC的對稱點的坐標為 (－5，－4)或(0，1) ．
18．(14分)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝x的圖象與二次函數y＝－x2＋bx(b為常數)的圖象相交于O，A兩點，點A的坐標為(3，m)．
(1)求m的值以及二次函數的解析式；
(2)根據圖象，直接寫出不等式－x2＋bx＜x的解集；
(3)若P為拋物線的頂點，連接OP，AP，求△POA的面積．
解：(1)∵點A(3，m)在一次函數y＝x的圖象上，
∴m＝3．
將點A(3，3)代入y＝－x2＋bx，
得3＝－32＋3b，
解得b＝4．
故二次函數的解析式為y＝－x2＋4x．
(2)由圖象可知，一次函數與二次函數相交于O(0，0)，A(3，3)兩點，
觀察圖象可以看出當x＜0或x＞3時，y＝＋bx的圖象在y＝x圖象的下方，
∴不等式－x2＋bx＜x的解集為x<0或x>3．
(3)如圖，連接AB，分別過點P，A向x軸作垂線，垂足分別為E，F．
∵點P為拋物線的頂點，
∴點P的坐標為(2，4)．
由題意，得A(3，3)，拋物線與x軸的另一個交點為B(4，0)．
∴OE＝2，PE＝4，EF＝1，AF＝3，BF＝1，
則S四邊形APOB＝×2×4＋×(4＋3)×1＋×1×3＝9．
∵S△ABO＝×4×3＝6，
∴S△POA＝S四邊形APOB－S△ABO＝9－6＝3．
∴△POA的面積為3．
類型七　二次函數與方程、不等式
19．(4分)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于點A(－2，0)，B(4，0)，若以AB為直徑的圓與在x軸下方的拋物線有交點，則a的取值范圍是(　A　)
A．a≥ B．a＞
C．0＜a＜ D．0＜a≤
20．(4分)已知函數y＝ax2－(a＋1)x＋1，有下列說法：
①若該函數圖象與x軸只有一個交點，則a＝1；
②方程ax2－(a＋1)x＋1＝0至少有一個整數根；
③若＜x＜1，則y＝ax2－(a＋1)x＋1的函數值都是負數；
④不存在實數a，使得ax2－(a＋1)x＋1≤0對任意實數x都成立．
其中，不正確的有(　C　)
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
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