資源簡介

專項突破提升(二)
二次函數的應用
類型一　銷售利潤問題
1．(4分)某商店購進一批成本為5角的面包，如果以單價7角銷售，每天可銷售160個．在此基礎上，這種面包的單價每提高1角，每天就會少賣出20個．若設每個面包上漲x(x＞0)角，每天銷售利潤為y角，則可列函數解析式為y＝(7＋x－5)(160－20x)，關于所列函數解析式中出現的代數式，下列說法錯誤的是(　A　)
A．(7＋x－5)表示漲價后面包的單價
B．20x表示漲價后少賣出面包的數量
C．(160－20x)表示漲價后賣出面包的數量
D．(7＋x)表示漲價后面包的單價
2．(4分)將進貨單價為30元的某種商品按零售價100元1件賣出時，每天能賣出20件．若這種商品的零售價在一定范圍內每降價1元，其日銷售量就增加1件，為了獲得最大的利潤，則應降價(　C　)
A．5元 B．15元
C．25元 D．35元
3．(4分)某食品零售店新上架一款冷飲產品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y(個)與銷售價格x(元/個)的關系如圖所示，當10≤x≤20時，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產品的最大利潤為 121 元．
4．(10分)李大爺每天到批發市場購進某種水果進行銷售，這種水果每箱10 kg，批發商規定：整箱購買，一箱起售，每人一天購買不超過10箱；當購買1箱時，批發價為8.2元/千克，每多購買1箱，批發價每千克降低0.2元．根據李大爺的銷售經驗，這種水果售價為12元/千克時，每天可銷售1箱；售價每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．設這種水果的批發價為y(元/千克)，購進數量為x(箱)，且1≤x≤10．
(1)求這種水果的批發價y(元/千克)關于購進數量x(箱)的函數解析式．
(2)若每天購進的這種水果需當天全部售完，請你計算，李大爺每天應購進這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤最大？最大利潤是多少？
解：(1)根據題意，得y＝8.2－0.2(x－1)＝－0.2x＋8.4．
答：這種水果批發價y(元/千克)關于購進數量x(箱)的函數解析式為y＝－0.2x＋8.4．
(2)設李大爺每天所獲利潤是w元．
由題意，得w＝[12－0.5(x－1)－(－0.2x＋8.4)]×10x＝－3x2＋41x＝－3＋．
∵－3＜0，x為正整數，且＞，
∴當x＝7時，w取最大值，最大值為－3×＋＝140(元)．
答：李大爺每天應購進這種水果7箱，才能使每天所獲利潤最大，最大利潤是140元．
5．(12分)某企業投入60萬元(只計入第一年成本)生產某種產品，按網上訂單生產并銷售(生產量等于銷售量)．經測算，該產品網上每年的銷售量y(萬件)與售價x(元/件)之間滿足函數y＝24－x，第一年除60萬元外其他成本為8元/件．
(1)求該產品第一年的利潤w(萬元)關于售價x(元/件)的函數解析式．
(2)該產品第一年利潤為4萬元，第二年將它全部作為技改資金再次投入(只計入第二年成本)后，其他成本下降2元/件．
①求該產品第一年的售價；
②若第二年售價不高于第一年，銷售量不超過13萬件，則第二年利潤最少是多少萬元？
解：(1)根據題意，得w＝(x－8)(24－x)－60＝＋32x－252．
(2)①∵該產品第一年利潤為4萬元，
∴4＝－x2＋32x－252，
解得x1＝x2＝16．
答：該產品第一年的售價是16元．
②∵第二年產品售價不超過第一年的售價，銷售量不超過13萬件，
∴解得11≤x≤16．
設第二年利潤是w′萬元．
w′＝(x－6)(24－x)－4＝－x2＋30x－148．
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝15，
11≤x≤16，
∴當x＝11時，w′有最小值，最小為(11－6)×(24－11)－4＝61(萬元)．
答：第二年的利潤最少是61萬元．
6．(12分)某文具店最近有A，B兩款紀念冊比較暢銷．該店購進A款紀念冊5本和B款紀念冊4本共需156元，購進A款紀念冊3本和B款紀念冊5本共需130元．在銷售中發現：A款紀念冊售價為32元/本時，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；B款紀念冊售價為22元/本時，每天的銷售量為80本，B款紀念冊每天的銷售量y(本)與售價x(元/本)之間滿足一次函數關系，其部分對應數據如表所示：
售價x/(元/本) … 22 23 24 25 …
每天銷售量y/本 … 80 78 76 74 …
(1)求A，B兩款紀念冊每本的進價分別為多少元．
(2)該店準備降低每本A款紀念冊的利潤，同時提高每本B款紀念冊的利潤，且這兩款紀念冊每天銷售總數不變，設A款紀念冊每本降價m元．
①直接寫出B款紀念冊每天的銷售量；(用含m的代數式表示)
②當A款紀念冊每本售價為多少元時，該店每天所獲利潤最大？最大利潤是多少？
解：(1)設A款紀念冊每本的進價為a元，B款紀念冊每本的進價為b元．
根據題意，得
解得
答：A款紀念冊每本的進價為20元，B款紀念冊每本的進價為14元．
(2)①根據題意，A款紀念冊每本降價m元，可多售出2m本．
∵兩款紀念冊每天銷售總數不變，
∴B款紀念冊每天的銷售量為(80－2m)本．
②設B款紀念冊每天的銷售量y(本)與售價x(元/本)之間滿足的一次函數關系是y＝kx＋b′．
根據表格，得解得
∴y＝－2x＋124．
當y＝80－2m時，x＝22＋m，
即當B款紀念冊每天的銷售量為(80－2m)本時，每本售價是(22＋m)元．
設該店每天所獲利潤是w元．
由已知可得w＝(32－m－20)(40＋2m)＋(22＋m－14)(80－2m)＝－4m2＋48m＋1 120＝＋1 264．
∵－4＜0，
∴當m＝6時，w取最大值，最大值為1 264，
此時A款紀念冊每本售價為32－m＝32－6＝26．
答：當A款紀念冊每本售價為26元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是1 264元．
類型二　拋物線形問題
7．(4分)如圖所示是拋物線形的拱橋，當水面離拱頂2 m時，水面寬4 m．若水面寬為2 m，則水面下降(　A　)
A．1 m B．2 m
C．3 m D．10 m
8．(12分)現要修建一條隧道，其截面為拋物線形，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O為坐標原點，以OE所在直線為x軸，以過點O且垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據設計要求：OE＝10 m，該拋物線的頂點P到OE的距離為9 m．
(1)求滿足設計要求的拋物線的函數解析式；
(2)如圖，現需在這一隧道內壁的點A，B處分別安裝照明燈．已知點A，B到OE的距離均為6 m，求點A，B的坐標．
解：(1)由題意，得拋物線的頂點為P(5，9)，
∴設拋物線的解析式為y＝a(x－5)2＋9．
把(0，0)代入，得a＝－，∴拋物線的函數解析式為y＝－(x－5)2＋9．
(2)令y＝6，得－(x－5)2＋9＝6，
解得x1＝5＋，x2＝5－．
∴A，B．
類型三　投擲類拋物線形問題
9．(4分)如圖(1)，校運動會上，九年級的同學們進行了投實心球比賽．我們發現，實心球在空中飛行的軌跡可以近似看作是拋物線．如圖(2)建立平面直角坐標系，已知實心球運動的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數關系是y＝－x2＋x＋，則該同學此次投擲實心球的成績是(　D　)
(1)　　 (2)
第9題圖
A．2 m B．6 m
C．8 m D．10 m
10．(4分)距離地面有一定高度的某發射裝置豎直向上發射物體，物體離地面的高度h(m)與物體運動的時間t(s)之間滿足函數關系h＝－5t2＋mt＋n，其圖象如圖所示，物體運動的最高點離地面20 m，物體從發射到落地的運動時間為3 s．設w表示 0 s 到t s時h的值的“極差”(即0 s到t s時h的最大值與最小值的差)，則當0≤t≤1時，w的取值范圍是 0≤w≤5 ；當2≤t≤3時，w的取值范圍是 5≤w≤20 ．
類型四　圖形面積問題
11．(4分)九(2)班計劃在勞動實踐基地內種植蔬菜，班長買回來8 m長的圍欄，準備圍成一邊靠墻(墻足夠長)的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，如圖，同學們提出了圍成矩形、等腰三角形(底邊靠墻)、半圓形這三種方案，最佳方案是(　C　)
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
12．(4分)如圖，在長為20 m、寬為14 m的矩形花圃里建有等寬的十字形小徑．若小徑的寬不超過1 m，則花圃中的陰影部分的面積有(　A　)
A．最小值，為247 m2
B．最小值，為266 m2
C．最大值，為247 m2
D．最大值，為266 m2
13．(10分)如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的頂點A在x軸正半軸上，頂點C的坐標為(4，3)，D是拋物線y＝－x2＋6x上一點，且在x軸上方，則△BCD面積的最大值是多少？
解：∵D是拋物線y＝－x2＋6x上一點，
∴設D(x，－x2＋6x)．
∵頂點C的坐標為(4，3)，
∴OC＝＝5．
∵四邊形OABC是菱形，
∴BC＝OC＝5，BC∥x軸．
∴S△BCD＝×5×(－x2＋6x－3)＝－(x－3)2＋15．
∵－＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值為15．
14．(12分)某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資源，該矩形養殖場一面靠墻(墻的長度為10 m)，另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成面積為1∶2的兩個矩形，已知柵欄的總長度為24 m，設較小矩形的寬為x m(如圖)．
(1)若矩形養殖場的總面積為36 m2，求此時x的值；
(2)當x為多少時，矩形養殖場的總面積最大？最大面積為多少？
解：(1)根據題意，較大矩形的寬為2x m，長為＝(8－x)m，
∴(x＋2x)(8－x)＝36，
解得x1＝2，x2＝6．
經檢驗，當x＝6時，3x＝18＞10，不符合題意，舍去，∴x＝2．
答：此時x的值為2．
(2)設矩形養殖場的總面積是y m2．
∵墻的長度為10 m，
∴0＜x≤．
根據題意，得y＝(x＋2x)×(8－x)＝＋24x＝－3(x－4)2＋48．
∵－3＜0，0∴當x＝時，y取最大值，最大值為－3×＋48＝．
答：當x＝時，矩形養殖場的總面積最大，最大面積為 m2．
15．(12分)如圖是一只菱形風箏的骨架示意圖，它由4條竹棒AC，BD，EF，GH組成，其中E，F，G，H分別是菱形ABCD四邊的中點，現有一根長為80 cm的竹棒，正好鋸成風箏的四條骨架，設AC＝x cm，菱形ABCD的面積為y cm2．
(1)寫出y關于x的函數解析式；
(2)為了使風箏在空中有較好的穩定性，要求25 cm≤AC≤BD，那么當骨架AC的長為多少時，這風箏即菱形ABCD的面積最大？此時最大面積為多少？
解：(1)∵E，F分別為AB，AD的中點，
∴EF＝BD．
同理，GH＝BD．
∵EF＋BD＋GH＋AC＝80 cm，
∴BD＝cm．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴y＝x＝－x2＋20x．
(2)∵AC≤BD，∴x≤．
∴x≤32．∴25≤x≤32．
∴y＝－x2＋20x＝－(x－40)2＋400．
∵－＜0，25≤x≤32，
∴當x＝32，即AC為32 cm時，風箏即菱形ABCD的面積最大，此時最大面積為384 cm2．
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