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專項突破提升(三)
探究圓的有關題型
類型一　與圓的基本性質有關的計算
1．(4分)如圖，AB是⊙O的直徑，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，則⊙O的半徑為(　D　)
A．2 B．3
C．2 D．
2．(4分)工人師傅為檢測該廠生產的一種鐵球的大小是否符合要求，設計了一個如圖(1)所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規則的鐵球放入槽內時，若同時具有圖(1)所示的A，B，E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖(2)是過A，B，E三點的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD，BD⊥CD．若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，則這種鐵球的直徑為(　C　)
第2題圖
A．10 cm B．15 cm
C．20 cm D．24 cm
3．(4分)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形．若∠BCD＝121°，則∠BOD的度數為(　C　)
A．138° B．121°
C．118° D．112°
4．(4分)一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB＝12 cm，BC＝5 cm，則圓形鏡面的半徑為 cm ．
5．(10分)如圖是一個半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且AB＝26 m，OE⊥CD于點E．水位正常時測得OE∶CD＝5∶24．
(1)求CD的長；
(2)現汛期來臨，水面若以每小時4 m的速度上升，則經過多長時間橋洞會剛好被灌滿？
解：(1)∵直徑AB＝26 m，
∴OD＝AB＝×26＝13(m)．
∵OE⊥CD，∴DE＝CD．
∵OE∶CD＝5∶24，
∴OE∶DE＝5∶12．
設OE＝5x m，DE＝12x m．
在Rt△ODE中，(5x)2＋(12x)2＝132，
解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．
∴OE＝5 m，DE＝12 m．
∴CD＝2DE＝2×12＝24(m)．
(2)如圖，延長OE交⊙O于點F．
由(1)得OE＝5 m，
∴EF＝OF－OE＝13－5＝8(m)．
8÷4＝2(h)，即經過2 h橋洞會剛好被灌滿．
類型二　與圓的基本性質有關的證明
6．(4分)如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，則下列結論錯誤的是(　D　)
A．＝ B．OE＝OF
C．∠AOB＝∠COD D．＝
7．(10分)如圖，點A，B，C，D，E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE．求證：AD＝CE．
證明：∵AB∥CE，∴∠C＝∠BAC．
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC．
∴∠C＝∠DAC．∴＝．
∴＝．
∴＝．∴AD＝CE．
8．(10分)如圖，△ABC內接于⊙O，P為上異于A，B兩點的一動點，當△ABC滿足一定條件時，PA能否平分∠BPC的外角∠CPE？若能，請寫出△ABC滿足的條件并證明；若不能，請說明理由．
解：當AB＝AC時，PA平分∠BPC的外角∠CPE．證明如下：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．
又∵∠APE＋∠APB＝180°，∠ACB＋∠APB＝180°，
∴∠APE＝∠ACB．
又∵∠APC＝∠ABC，
∴∠APE＝∠APC，即當AB＝AC時，PA平分∠BPC的外角∠CPE．
類型三　與圓的切線有關的計算
9．(4分)如圖，在平面直角坐標系中，半徑為4的⊙P的圓心P的坐標為(－6，0)，將⊙P沿x軸的正方向平移，使得⊙P與y軸相切，則平移的距離為(　D　)
A．2 B．6
C．10 D．2或10
10．(4分)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線，交AB的延長線于點D．若∠A＝23°，則∠D的度數是(　C　)
A．57° B．46°
C．44° D．23°
11．(4分)如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，連接AC．若BD＝AO＝2，則AC的長度為(　D　)
A．2 B．
C．4 D．2
12．(4分)如圖，已知△ABE為直角三角形，∠ABE＝90°，BC為⊙O的切線，C為切點，CA＝CD，則△ABC和△CDE的面積之比為(　B　)
A．1∶3 B．1∶2
C．∶2 D．(－1)∶1
13．(4分)如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在優弧上，且與點A，B不重合．若∠C＝26°，則∠P的度數為 38° ．
14．(4分)如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，點O在BC上，以點O為圓心、OB長為半徑的圓與AC相切于點A．D是邊BC上的動點，當△ACD為直角三角形時，AD的長為 或 ．
類型四　與圓的切線有關的證明
15．(12分)已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為BA延長線上的一點，連接CD．
(1)如圖(1)，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長；
(2)如圖(2)，若DC與⊙O相切，E為OA上一點，且∠ACD＝∠ACE．求證：CE⊥AB．
(1)
(2)
第15題圖
(1)解：∵OC＝OA＝1，CO⊥AB，∠D＝30°，
∴CD＝2，OD＝．
∴AD＝OD－OA＝－1．
(2)證明：∵DC與⊙O相切，
∴OC⊥DC，
即∠ACD＋∠OCA＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∵∠ACD＝∠ACE，
∴∠OAC＋∠ACE＝90°．
∴∠AEC＝90°，即CE⊥AB．
16．(14分)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的兩條切線，C，D為切點．
(1)如圖(1)，求⊙O的半徑；
(2)如圖(1)，若E是BC的中點，連接PE，求PE的長度；
(3)如圖(2)，若M是邊BC上任意一點(不含點B，C)，以M為直角頂點，在BC的上方作∠AMN＝90°，交直線CP于點N．求證：AM＝MN．
(1)
(2)
第16題圖
(1)解：如圖(1)，連接BD．
∵四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，∠BAD＝90°，
∴BD為⊙O的直徑．
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，
∴BD＝＝＝4．
∴⊙O的半徑為2．
(1)
第16題解圖
(2)解：如圖(1)，連接OE，OC，OP．
∵PC，PD是⊙O的兩條切線，C，D為切點，
∴∠ODP＝∠OCP＝90°．
∵四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，
∴∠DOC＝90°，OD＝OC．
∴四邊形DOCP是正方形．
∴OP＝＝＝4，∠POC＝45°．
∵E是BC的中點，∴OE⊥BC，EC＝BC＝×4＝2，OE＝DC＝×4＝2．
∴∠EOC＝45°．∴∠EOP＝90°．
在Rt△OPE中，∠EOP＝90°，OE＝2，OP＝4，
∴PE＝＝2．
(3)證明：如圖(2)，在AB上截取AF＝MC，連接FM，OC，OD．
(2)
第16題解圖
∵AB＝BC，∴BF＝BM．
∵∠B＝90°，∴∠BFM＝∠BMF＝45°．
∴∠AFM＝135°．
又∵在正方形OCPD中，∠DCN＝45°，
∴∠MCN＝∠AFM＝135°．
∵∠AMN＝90°，
∴∠AMB＋∠CMN＝90°．
∵∠B＝90°，
∴∠AMB＋∠BAM＝90°．
∴∠BAM＝∠CMN．
∴△AFM≌△MCN(ASA)．
∴AM＝MN．
類型五　與外接圓和內切圓有關的計算或證明
17．(4分)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是⊙O的直徑，點P在⊙O上．若∠ACB＝40°，則∠BPC的度數是(　C　)
A．40° B．45°
C．50° D．55°
第17題圖
第18題圖
18．(4分)如圖，在四邊形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9 cm，AB＝20 cm，BC＝24 cm．現用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是(　B　)
A． cm B．8 cm
C．6 cm D．10 cm
19．(4分)如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為(1，3)，(5，3)，(1，－1)，則△ABC的外接圓圓心的坐標是(　C　)
A．(3，－1)　　　　　 B．(－3，－1)
C．(3，1)　　　　　 D．(－3，1)
20．(4分)如圖，△ABC是一張周長為17 cm的三角形紙片，BC＝5 cm，⊙O是它的內切圓，小明準備用剪刀在⊙O的右側沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為(　B　)
A．12 cm
B．7 cm
C．6 cm
D．隨直線MN的變化而變化
21．(12分)如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BE，CE，BD，CD．
(1)若∠CBD＝34°，求∠BEC的度數；
(2)求證：DE＝DB．
(1)解：∵點E是△ABC的內心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．
∵∠CBD＝34°，
∴∠CAD＝∠CBD＝34°．
∴∠BAC＝2∠CAD＝68°．
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－68°＝112°．
∴∠ABE＋∠ACE＝×112°＝56°．
∴∠BEC＝∠BAC＋∠ABE＋∠ACE＝68°＋56°＝124°．
(2)證明：∵點E是△ABC的內心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE．
由圓周角定理，得∠DAC＝∠DBC．
又∵∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∠DEB＝∠ABE＋∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB．
∴DE＝DB．
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