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思想方法集錦
方法一　整體法
1．(4分)已知方程x2－3x－4＝0的根為x1，x2，則(x1＋2)·(x2＋2)的值為 6 ．
2．(4分)若m是方程2x2－3x－1＝0的一個根，則6m2－9m＋2 024的值為 2 027 ．
3．(4分)將拋物線y＝ax2＋bx－1向上平移3個單位長度后，經(jīng)過點(－2，5)，則8a－4b－11的值是 －5 ．
4．(4分)若W＝5x2－4xy＋y2－2y＋8x＋3(x，y均為實數(shù))，則W的最小值為 －2 ．
解析：W＝5x2－4xy＋y2－2y＋8x＋3
＝x2＋4x2－4xy＋y2－2y＋8x＋3
＝4x2－4xy＋y2－2y＋x2＋8x＋3
＝(4x2－4xy＋y2)－2y＋x2＋8x＋3
＝(2x－y)2－2y＋x2＋4x＋4x＋3
＝(2x－y)2＋4x－2y＋x2＋4x＋3
＝(2x－y)2＋2(2x－y)＋1－1＋x2＋4x＋4－4＋3
＝[(2x－y)2＋2(2x－y)＋1]＋(x2＋4x＋4)－2
＝(2x－y＋1)2＋(x＋2)2－2．
∵x，y均為實數(shù)，
∴(2x－y＋1)2≥0，(x＋2)2≥0．
∴原式W≥－2，即原式W的最小值為－2．
方法二　構(gòu)造法
5．(4分)如圖，若△ABC內(nèi)接于半徑為R的⊙O，且∠A＝60°，連接OB，OC，則邊BC的長為(　D　)
A．R B．R
C．R D．R
6．(8分)如圖，已知⊙O的半徑為2，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝135°，求AB的長．
解：如圖，設(shè)D為優(yōu)弧AB上的一點，連接AD，BD，OA，OB．
∵⊙O的半徑為2，
△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝135°，
∴∠ADB＝45°．
∴∠AOB＝90°．
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2．
方法三　分類討論法
7．(8分)已知直角三角形兩邊x，y的長滿足x2－4x＋4＋＝0，求第三邊長．
解：∵x2－4x＋4＋＝0，
∴(x－2)2＋＝0．
∵(x－2)2≥0，≥0，
∴x＝2，y2－5y＋6＝0，
解得y1＝2，y2＝3．
當x＝2，y＝3時，直角三角形的第三邊長為或；
當x＝2，y＝2時，直角三角形的第三邊長為2．
綜上所述，直角三角形的第三邊長為或或2．
8．(12分)已知函數(shù)y＝kx2＋(k＋1)x＋1(k為實數(shù))．
(1)當k＝3時，求此函數(shù)圖象與x軸的交點坐標；
(2)判斷此函數(shù)與x軸的交點個數(shù)，并說明理由；
(3)若此函數(shù)圖象為拋物線，且頂點在x軸下方，頂點到y(tǒng)軸的距離為2，求k的值．
解：(1)當k＝3時，此函數(shù)為y＝3x2＋4x＋1．
令3x2＋4x＋1＝0，解得 x1＝－1，x2＝－．
∴此函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為(－1，0)，．
(2)①當k＝0時，函數(shù)為y＝x＋1，它的圖象與x軸有一個交點．
②當k≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，
Δ＝b2－4ac＝(k＋1)2－4k＝(k－1)2，
若k＝1，則b2－4ac＝0，它的圖象與x軸 有一個交點；
若k≠1，則b2－4ac＞0，它的圖象與x軸 有兩個交點．
∴當k＝0或k＝1時，它的圖象與x軸有一個交點；
當k≠0且k≠1 時，圖象與x軸有兩個交點．
(3)當此函數(shù)圖象為拋物線時，k≠0．
∵頂點到y(tǒng)軸的距離為2，
∴－＝±2，
解得k1＝－，k2＝．
經(jīng)檢驗，k1＝－和k2＝都是方程的解．
∵頂點在x軸下方，
∴＜0．
當k＝－時，＝＞0，
∴k＝－不合題意，舍去．
當k＝時，＝＜0，
∴k＝符合題意．
故所求k的值為．
9．(14分)如圖(1)，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2－4x＋c的圖象與y軸的交點坐標為(0，5)，圖象的頂點為M．矩形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸、y軸上，頂點B的坐標為(1，5)．
(1)求c的值及頂點M的坐標．
(2)如圖(2)，將矩形ABCD沿x軸正方向平移t個單位長度(0＜t＜3)得到對應(yīng)的矩形A′B′C′D′．已知邊C′D′，A′B′分別與函數(shù)y＝x2－4x＋c的圖象交于點P，Q，連接PQ，過點P作PG⊥A′B′于點G．
①當t＝2時，求QG的長．
②當點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得△PGQ的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
第9題圖
解：(1)∵二次函數(shù)y＝x2－4x＋c的圖象與y軸的交點坐標為(0，5)，
∴c＝5．
∴y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
∴頂點M的坐標是(2，1)．
(2)①如圖．
∵點A在x軸上，點B的坐標為(1，5)，
∴點A的坐標是(1，0)．
當t＝2時，點D′，A′的坐標分別是(2，0)，(3，0)．
當x＝3時，y＝32－4×3＋5＝2，即點Q的縱坐標是2．
當x＝2時，y＝1，即點P的縱坐標是1．
∵PG⊥A′B′，
∴點G的縱坐標是1．
∴QG＝2－1＝1．
②存在．
∵△PGQ的面積為1，PG＝1，
∴QG＝2．
根據(jù)題意，得P(t，t2－4t＋5)，
Q(t＋1，t2－2t＋2)，
∴G(t＋1，t2－4t＋5)．
如圖，當點G在點Q的上方時，
QG＝t2－4t＋5－(t2－2t＋2)＝3－2t＝2，
此時t＝，符合0＜t＜3．
如圖，當點G在點Q的下方時，
QG＝t2－2t＋2－(t2－4t＋5)＝2t－3＝2，
此時t＝，符合0＜t＜3．
綜上所述，存在t，使得△PGQ的面積為1，此時t的值為或．
方法四　數(shù)形結(jié)合思想
10．(4分)在函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，若a＞0，b＜0，c＜0，則這個函數(shù)圖象與x軸的交點情況是(　D　)
A．沒有交點
B．有兩個交點，都在x軸的正半軸
C．有兩個交點，都在x軸的負半軸
D．一個在x軸的正半軸，另一個在x軸的負半軸
11．(10分)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：
(1)寫出方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根；
(2)寫出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有兩個不等的實數(shù)根，求k的取值范圍；
(5)直接判斷出關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c－2＝0的根的情況．
解：(1)∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點為(1，0)，(3，0)，
∴方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根為x1＝1，x2＝3．
(2)由圖象可知，當1＜x＜3時，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方，
∴不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為1＜x＜3．
(3)∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，開口向下，
∴當y隨x的增大而減小時，自變量x的取值范圍是x>2．
(4)由圖象可知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的頂點坐標為(2，2)，
當直線y＝k在(2，2)的下方時，一定與拋物線有兩個不同的交點，
∴當k＜2時，方程ax2＋bx＋c＝k有兩個不等的實數(shù)根．
(5)關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c－2＝0有兩個相等的實數(shù)根，即x1＝x2＝2．
方法五　方程思想
12．(4分)如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，點P從點B出發(fā)向終點C以每秒1個單位長度的速度移動，點Q從點C出發(fā)向終點A以每秒2個單位長度的速度移動，P，Q兩點同時出發(fā)，任意一點到達終點時，兩點同時停止移動，當△PCQ的面積等于4時，P，Q兩點同時移動的時間是(　B　)
A．1 s或4 s B．1 s
C．2 s或4 s D．4 s
13．(4分)如圖，OA是⊙O的半徑，弦BC⊥OA于點D，連接OB．若⊙O的半徑為5 cm，BC的長為8 cm，則OD的長是 3 cm．
方法六　建模思想
14．(12分)閱讀材料，回答問題．
材料1：經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)．如果這三種事件發(fā)生的可能性相同，求三輛汽車經(jīng)過這個十字路口時，至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)的概率．
材料2：有兩把不同的鎖和三把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖(一把鑰匙只能開一把鎖)，第三把鑰匙不能打開這兩把鎖．隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是多少？
我們可以用“袋中摸球”的試驗來模擬材料1：在不透明口袋中放三個不同顏色的小球(除顏色外無其他差別)，紅球表示直行，綠球表示向左轉(zhuǎn)，黑球表示向右轉(zhuǎn)，三輛汽車經(jīng)過路口，相當于從三個這樣的口袋中各隨機摸出一球．
問題：(1)事件“至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)”相當于“袋中摸球”的試驗中的什么事件？
(2)設(shè)計一個“袋中摸球”的試驗?zāi)M材料2，請簡要說明你的方案．
(3)請直接寫出材料2的結(jié)果．
解：材料1：畫樹狀圖如圖：
一共有27種等可能的結(jié)果．至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)的結(jié)果有7種：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，
所以P(至少有兩輛車向左轉(zhuǎn))＝．
材料2：列表如下：
鑰匙 鎖
鎖1 鎖2
鑰匙1 (鎖1，鑰匙1) (鎖2，鑰匙1)
鑰匙2 (鎖1，鑰匙2) (鎖2，鑰匙2)
鑰匙3 (鎖1，鑰匙3) (鎖2，鑰匙3)
一共有6種等可能的結(jié)果，其中隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的結(jié)果有2種，
∴P＝＝．
問題：
(1)至少摸出兩個綠球．
(2)一個口袋中放紅色和黑色的小球各一個，分別表示不同的鎖；另一個口袋中放紅色、黑色和綠色的小球各一個，分別表示不同的鑰匙．其中同顏色的球表示一套鎖和鑰匙．“隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率”相當于“從兩個口袋中各隨機摸出一個球，兩球顏色一樣的概率”．
(3)．
15．(12分)某超市銷售A品牌的純牛奶，進價是40元/箱．根據(jù)前段時間的銷售經(jīng)驗，每天的售價x(元/箱)與銷售量y(箱)有如下關(guān)系：
每天的售價x/(元/箱) 65 64 … 40
每天銷售量y/箱 40 44 … 140
已知y與x是一次函數(shù)關(guān)系．
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)若該超市每天銷售這種純牛奶盈利1 104元，要使顧客獲得實惠，每箱售價應(yīng)定為多少元？
(3)若銷售價格不能低于40元/箱，不能高于65元/箱，請你直接寫出當A品牌的純牛奶的銷售價格定為多少時，超市一天的總盈利最大．
解：(1)設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝kx＋b(k≠0)．
根據(jù)題意，得
解得
故y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝－4x＋300．
(2)由題意，得(x－40)(－4x＋300)＝1 104，
解得x1＝63，x2＝52．
∵要使顧客獲得實惠，
∴x＝52．
故每箱售價應(yīng)定為52元．
(3)設(shè)超市一天的總盈利為w元．
根據(jù)題意，得w＝(x－40)(－4x＋300)＝＋460x－12 000＝－4＋1 225．
∵銷售價格不能低于40元/箱，不能高于65元/箱，
∴40≤x≤65．
∴當x＝＝57.5時，w最大，最大為1 225．
答：當A品牌的純牛奶的銷售價格定為57.5元/箱時，超市一天的總盈利最大．
方法七　轉(zhuǎn)化思想
16．(4分)如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別以AB，BC，CD，AD為直徑向外作半圓．若AB＝4，BC＝5，則陰影部分的面積是(　D　)
A．π－20 B．π－20
C．20π D．20
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