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創新考向集訓
創新考向一　規律探究
1．(4分)如圖，四邊形OABC1是正方形，曲線C1C2C3C4C5…叫作“正方形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，C1循環，當OA＝1時，點C2 024的坐標是(　A　)
A．(－2 024，1) B．(－2 023，1)
C．(2 024，1) D．(－8，－1)
解析：由圖得C1(0，1)，C2(1，0)，C3(－1，－2)，C4(－4，1)，C5(0，5)，C6(5，0)，C7(－1，－6)，…，
點C的位置每4個一循環，
2 024＝506×4，
∴C2 024在第二象限，與C4，C8，C12，…符合規律(－n，1)．
∴C2 024的坐標為(－2 024，1)．
2．(4分)如圖，在平面直角坐標系中，射線OB是第一象限的角平分線，線段OB＝2，將△OAB繞原點逆時針旋轉，每次旋轉45°，則第2 035次旋轉結束后，點B的對應點的坐標為(　C　)
A．(－2，－2)
B．(2，0)
C．(－2，0)
D．(0，2)
解析：∵射線OB是第一象限的角平分線，OB＝2，
∴B(2，2)．
由題意，得第1次旋轉后點B對應點的坐標為(0，2)，
第2次旋轉后點B對應點的坐標為(－2，2)，
第3次旋轉后點B對應點的坐標為(－2，0)，
第4次旋轉后點B對應點的坐標為(－2，－2)，
第5次旋轉后點B對應點的坐標為(0，－2)，
第6次旋轉后點B對應點的坐標為(2，－2)，
第7次旋轉后點B對應點的坐標為(2，0)，
第8次旋轉后點B對應點的坐標為(2，2)，
……
∴第8次旋轉后與原來的點B重合．
∴每8次一個循環．
∵2 035÷8＝254……3，
∴第2 035次旋轉結束后，點B對應點的坐標與第3次的坐標相同為(－2，0)．
創新考向二　傳統文化
3．(4分)窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一．下列窗花作品既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　A　)
4．(4分)我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算．他利用這種方法得到了圓周率π的近似值為3.141 6．如圖，⊙O的半徑為1，運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積近似估計⊙O的面積，可得π的估計值為，若用圓內接正十二邊形作近似估計，可得π的估計值為(　C　)
A． B．2
C．3 D．2
解析：如圖，AB是正十二邊形的一條邊，點O是正十二邊形的中心，
過點A作AM⊥OB于點M．
在正十二邊形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，
∴AM＝OA＝．
∴S△AOB＝OB·AM＝×1×＝．
∴正十二邊形的面積為12×＝3．
∴3＝12×π．
∴π＝3．
∴π的估計值為3．
故選C．
5．(4分)《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖，是以點O為圓心、OA為半徑的圓弧，N是AB的中點，MN⊥AB．“會圓術”給出的弧長l的近似值計算公式：l＝AB＋．當OA＝4，∠AOB＝60°時，l的值為(　B　)
A．11－2 B．11－4
C．8－2 D．8－4
解析：如圖，連接ON．
∵是以點O為圓心、OA為半徑的圓弧，N是AB的中點，MN⊥AB，
∴ON⊥AB．
∴M，N，O三點共線．
∵OA＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等邊三角形．
∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°．
∴ON＝2．
∴MN＝OM－ON＝4－2．
∴l＝AB＋＝4＋＝11－4．
故選B．
6．(4分)《九章算術》中記載了一道數學題，其大意為：今有一個直角三角形，勾(短直角邊)長為8步，股(長直角邊)長為15步．問：該直角三角形內切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據勾、股，求得弦長．用勾、股、弦相加作為除數，用勾乘股，再乘2作為被除數，商即為該直角三角形內切圓的直徑，用此方法求得該直徑等于 6 步．(注：“步”為長度單位)
7．(8分)為弘揚中華優秀傳統文化，學校舉辦“經典誦讀”比賽，將比賽內容分為“唐詩”“宋詞”“元曲”三類(分別用A，B，C依次表示這三類比賽內容)．現將正面寫有A，B，C的三張完全相同的卡片背面朝上洗勻，由選手抽取卡片確定比賽內容．選手小明先從三張卡片中隨機抽取一張，記下字母后放回洗勻，選手小梅再隨機抽取一張，記下字母．請用列表或畫樹狀圖的方法，求小明和小梅抽到同一類比賽內容的概率．
解：用樹狀圖法表示所有等可能出現的結果如下．
共有9種等可能出現的結果，其中小明和小梅抽到同一類比賽內容的結果有3種，
所以P(小明和小梅抽到同一類比賽內容)＝＝．
創新考向三　新定義
8．(4分)對于實數a，b，定義運算“?”：a?b＝b2－ab．例如，3?2＝22－3×2＝－2，則關于x的方程(k－3)?x＝k－1 的根的情況，下列說法正確的是(　A　)
A．有兩個不等的實數根
B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根
D．無法確定
9．(4分)定義：關于x的一元二次方程a1(x－m)2＋n＝0與a2(x－m)2＋n＝0稱為“同族二次方程”．如：2(x－3)2＋4＝0與3(x－3)2＋4＝0是“同族二次方程”．若關于x的一元二次方程2(x－1)2＋1＝0與(a＋2)x2＋(b－4)x＋8＝0是“同族二次方程”，則代數式－ax2＋bx＋2 024的最大值是(　A　)
A．2 029 B．2 028
C．2 027 D．2 026
解析：∵(a＋2)x2＋(b－4)x＋8＝0，
∴(a＋2)(x2－2x＋1)＋2(a＋2)x－(a＋2)＋(b－4)x＋8＝0，
即(a＋2)(x－1)2＋(2a＋b)x＋6－a＝0．
∵2(x－1)2＋1＝0與(a＋2)x2＋(b－4)x＋8＝0是“同族二次方程”，
∴2(x－1)2＋1＝0與(a＋2)(x－1)2＋(2a＋b)x＋6－a＝0是“同族二次方程”．
∴2a＋b＝0，6－a＝1，
解得a＝5，b＝－10．
則－ax2＋bx＋2 024
＝－5x2－10x＋2 024
＝－5(x2＋2x＋1)＋5＋2 024
＝－5(x＋1)2＋2 029≤2 029，
當x＝1時，－ax2＋bx＋2 024取最大值2 029．
創新考向四　初高銜接
10．(10分)定義：如果一個數的平方等于－1，記為i2＝－1，這個數i叫作虛數單位．那么和我們所學的實數對應起來就叫作復數，復數一般表示為a＋bi(a，b為實數)，a叫作這個復數的實部，b叫作這個復數的虛部，它的加法、減法、乘法運算與整式的加法、減法、乘法運算類似．
例如，解方程：x2＝－1，
解得x1＝i，x2＝－i．
同樣我們也可以化簡＝＝＝2i．
讀完這段文字，請你解答以下問題：
(1)填空：i3＝ －i ，i4＝ 1 ，i6＝ －1 ，i2 024＝ 1 ；
(2)在復數范圍內解方程：(x－1)2＝－1；
(3)在復數范圍內解方程：x2－4x＋8＝0．
解：(2)(x－1)2＝－1．
(x－1)2＝i2．
x－1＝±i．
x1＝1＋i，x2＝1－i．
(3)x2－4x＋8＝0．
x2－4x＝－8．
(x－2)2＝4i2．
∴x－2＝±2i，
解得x1＝2＋2i，x2＝2－2i．
創新考向五　探究開放
11．(14分)如圖(1)，拋物線y＝－x2＋bx與x軸交于點A，與直線y＝－x交于點B(4，－4)，點C(0，－4)在y軸上．點P從點B出發，沿線段BO方向勻速運動，運動到點O時停止．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當BP＝2時，請在圖(1)中過點P作PD⊥OA交拋物線于點D，連接PC，OD，判斷四邊形OCPD的形狀，并說明理由；
(3)如圖(2)，點P從點B開始運動時，點Q從點O同時出發，以與點P相同的速度沿x軸正方向勻速運動，點P停止運動時點Q也停止運動．連接BQ，PC，求CP＋BQ的最小值．
第11題圖
解：(1)∵拋物線y＝－x2＋bx過點B(4，－4)，
∴－16＋4b＝－4．
∴b＝3．
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋3x．
(2)四邊形OCPD是平行四邊形．理由如下：
如圖，過點P作PD⊥OA交x軸于點H，連接PC，OD，BC．
∵點P在直線y＝－x上，
∴OH＝PH，∠POH＝45°．
∵OC＝BC＝4，
∴OB＝4．
∵BP＝2，
∴OP＝OB－BP＝2．
由勾股定理，得OH2＋PH2＝OP2，
即2OH2＝OP2．
∴OH＝PH＝OP＝×2＝2．
當xD＝2時，DH＝yD＝－4＋3×2＝2，
∴PD＝DH＋PH＝2＋2＝4．
∵C(0，－4)，
∴OC＝4．
∴PD＝OC．
∵OC⊥x軸，PD⊥x軸，
∴PD∥OC．
∴四邊形OCPD是平行四邊形．
(3)如圖，由題意，得BP＝OQ，連接BC．
在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC，連接BM．
∵OC＝BC＝4，BC⊥OC，
∴∠CBP＝45°．
∴∠CBP＝∠MOQ．
在△CBP和△MOQ中，
∴△CBP≌△MOQ(SAS)．
∴CP＝MQ．
∴CP＋BQ＝MQ＋BQ≥MB(當M，Q，B三點共線時最短)．
∴CP＋BQ的最小值為MB．
∵∠MOB＝∠MOQ＋∠BOQ＝45°＋45°＝90°，
∴MB＝＝＝4．
∴CP＋BQ的最小值為4．
創新考向六　生活情境
12．(4分)如圖，某博覽會上有一圓形展示區，在其圓形邊緣的點P處安裝了一臺監視器，它的監控角度是55°，為了監控整個展區，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監視器 4 臺．
第12題圖 　　第13題圖
13．(4分)蜂巢結構精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面示意圖，圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標系中，點P，Q，M均為正六邊形的頂點．若點P，Q的坐標分別為(－2，3)，(0，－3)，則點M的坐標為(　A　)
A．(3，－2) B．(3，2)
C．(2，－3) D．(－2，－3)
解析：如圖，設中間正六邊形的中心為D，連接DB．
∵點P，Q的坐標分別為(－2，3)，(0，－3)，圖中是7個全等的正六邊形，
∴AB＝BC＝2，OQ＝3．
∴OA＝OB＝．
∴OC＝3．
∵DQ＝DB＝2OD，
∴OD＝1，CM＝QD＝DB＝2．
∴M(3，－2)．
故選A．
14．(10分)二十四節氣是中國古代一種用來指導農事的補充歷法，被列入聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄．小明和小亮對二十四節氣非常感興趣，在課間玩游戲時，準備了四張完全相同的不透明卡片，卡片正面分別寫有“A．驚蟄”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四個節氣，兩人商量將卡片背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張，并講述所抽卡片上的節氣的由來與習俗．
(1)小明從四張卡片中隨機抽取一張卡片，抽到“A．驚蟄”的概率是 ；
(2)小明先從四張卡片中隨機抽取一張，小亮再從剩下的卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩人都沒有抽到“B．夏至”的概率．
解：(2)用樹狀圖表示所有等可能出現的結果如下．
共有12種等可能出現的結果，其中兩人都沒有抽到“B．夏至”的結果有6種，所以P(兩人都沒有抽到“B．夏至”)＝＝．
創新考向七　科技前沿
15．(4分)如圖，已知空間站A與星球B的距離為a，信號飛船C在星球B附近沿圓形軌道行駛，B，C之間的距離為b．數據S表示飛船C與空間站A的實時距離，那么S的最大值是(　C　)
A．a B．b
C．a＋b D．a－b
16．(14分)鷹眼系統能夠追蹤、記錄和預測球的運動軌跡．圖(1)為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統預測畫面，圖(2)為該畫面的截面示意圖，攻球員位于點O，守門員位于點A，OA的延長線與球門線交于點B，且點A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．已知OB＝28 m，AB＝8 m，足球飛行的水平速度為15 m/s，水平距離s(水平距離＝水平速度×時間)與離地高度h的鷹眼數據如表：
s/m … 9 12 15 18 21 …
h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
(1)假如沒有守門員，根據表中數據預測足球落地時，s＝ 30 m；
(2)求h關于s的函數解析式；
(3)守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應，當守門員位于足球正下方時，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度視為防守成功．已知守門員背對足球向球門前進過程中最大防守高度為1.8 m，若守門員背對足球向球門前進并成功防守，求此過程守門員的最小速度．
第16題圖
解：(2)由表可知，拋物線關于s＝15對稱，設h＝a(s－15)2＋5．
把(12，4.8)代入上述解析式，
得a(12－15)2＋5＝4.8，解得a＝－．
∴h＝－(s－15)2＋5＝－s2＋s．
(3)若守門員背對足球向球門前進并成功防守，設守門員的速度為v m/s，且t s時，足球位于守門員正上方，
則有15t＝28－(8－vt)，解得t＝．
∴s＝15·＝．
將h＝1.8代入h＝－s2＋s，
可得－s2＋s＝1.8，
解得s1＝27，s2＝3(舍去)．
∴＝27，解得v＝．
∴此過程守門員的最小速度為 m/s．
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