資源簡介

綜合質量評價(二)
(時間：120分鐘　滿分：150分)
第Ⅰ卷(選擇題　共48分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．用配方法解方程x2－4x－7＝0，可變形為(　D　)
A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝11
C．(x－2)2＝3 D．(x－2)2＝11
2．相同方向行駛的兩輛汽車經過同一個“T”字路口時，可能向左轉或向右轉．如果這兩種可能性大小相同，那么這兩輛汽車經過該路口時，都向右轉的概率是(　A　)
A．
C．
3．如圖，⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，點P在⊙O上(點P不與點A，B重合)，則∠APB的度數為(　D　)
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
第3題圖　　 　第4題圖
4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC＝2，∠BAC＝30°，則的長為(　A　)
A． B．
C． D．
5．共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一季度投放了1萬輛單車，計劃第三季度投放單車的數量比第一季度多4 400輛，設該公司第二、三季度投放單車數量的平均增長率為x，則所列方程正確的是(　B　)
A．(1＋x)2＝4 400
B．(1＋x)2＝1.44
C．10 000(1＋x)2＝4 400
D．10 000(1＋2x)＝14 400
6．將拋物線y＝2(x－1)2－3向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，所得的拋物線的解析式為(　A　)
A．y＝2(x＋1)2＋2
B．y＝2(x－1)2＋2　
C．y＝2(x＋1)2－2
D．y＝2(x－1)2－2
7．直線y＝ax＋b與拋物線y＝ax2＋bx＋2在同一平面直角坐標系中的圖象可能是(　B　)
8．如圖，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面內，將△ABC繞點A旋轉到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，則∠BAB′的度數為(　C　)
A．30° B．35°
C．40° D．50°
9．如圖，⊙O的直徑AB＝20，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為E，且BE∶AE＝1∶4，則CD的長為(　C　)
A．10 B．12
C．16 D．18
10．某班從甲、乙、丙、丁四位選手中隨機選取兩人參加校乒乓球比賽，恰好選中甲、乙兩位選手的概率是(　B　)
A． B．
C． D．
11．扇子是夏天必備之物，紙扇在DE與BC之間糊有紙條，可以題字或者作畫．如圖，竹條AD的長為5 cm，貼紙的部分BD的長為10 cm．扇形紙扇完全打開后，外側兩竹條AB，AC的夾角為120°，則紙扇貼紙部分的面積為(　C　)
A．π cm2 B．π cm2
C．π cm2 D．100π cm2
12．有一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為20 m的籬笆圍成．已知墻長為15 m，若平行于墻的一邊長不小于8 m，則這個苗圃園面積的最大值和最小值分別為(　C　)
A．48 m2，37.5 m2
B．50 m2，32 m2
C．50 m2，37.5 m2
D．48 m2，32 m2
第Ⅱ卷(非選擇題　共102分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
13．已知關于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0沒有實數根，則k的取值范圍是 k＞1 ．
14．已知點P(－b，2)與點Q(3，2a)關于原點對稱，則ab的值是 －1 ．
15．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過點C 作⊙O的切線交AB的延長線于點P．若∠P＝40°，則∠ADC的度數為 115° ．
16．二次函數y＝－x2＋bx＋c的部分圖象如圖，對稱軸是直線x＝－1，則關于x的一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的根為 x1＝1，x2＝－3 ．
17．如圖，PA，PB分別切⊙O于A，B兩點，并與⊙O的切線CD分別相交于點C，D．已知△PCD的周長等于10 cm，則PA＝ 5 cm．
第17題圖
第18題圖
18．公園里噴水池中的水柱的形狀可以看成是拋物線，小明想知道水柱的最大高度，于是畫出了如圖的示意圖，并測出了一些數據：水柱上的點C，D到地面的距離都是1.6 m，即BC＝OD＝1.6 m，AB＝1 m，AO＝5 m，則水柱的最大高度是 m．
三、解答題(本大題共8個小題，共78分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
19．(8分)解方程：
(1)(x－1)(x＋3)＝12；
(2)4(x＋3)2＝25(x－2)2．
解：(1)整理方程，得x2＋2x－15＝0，
即(x＋5)(x－3)＝0，所以x1＝－5，x2＝3．
(2)原方程化為2(x＋3)＝±5(x－2)，
即2(x＋3)＝5(x－2)或2(x＋3)＝－5(x－2)，
所以x1＝，x2＝．
20．(8分)某汽車專賣店經銷某種型號的汽車．已知該型號汽車的進價為15萬元/輛，經銷一段時間后發現：當該型號汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛．
(1)當售價為22萬元/輛時，求平均每周的銷售利潤；
(2)若該店計劃平均每周的銷售利潤是90萬元，為了盡快減少庫存，求汽車的售價．
解：(1)由題意，可得當售價為22萬元/輛時，平均每周的銷售量是×1＋8＝14(輛)，
此時，平均每周的銷售利潤是(22－15)×14＝98(萬元)．
(2)設每輛汽車降價x萬元．
根據題意，得(25－x－15)(8＋2x)＝90，
解得x1＝1，x2＝5．
當x＝1時，銷售量為8＋2×1＝10(輛)；
當x＝5時，銷售量為8＋2×5＝18(輛)．
為了盡快減少庫存，則x＝5，此時汽車的售價為25－5＝20(萬元/輛)．
所以汽車的售價為20萬元/輛．
21．(8分)如圖，已知P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，OC＝CP＝4，弦AB⊥OC，劣弧所對的圓周角度數為60°，連接PB，BC．
(1)求BC的長；
(2)求證：PB是⊙O的切線．
(1)解：如圖，連接OB，OA．
∵弦AB⊥OC，劣弧所對的圓周角度數為60°，
∴∠AOB＝120°．
∴∠BOC＝60°．
∵OB＝OC，
∴△OBC是等邊三角形．
∴BC＝OC＝4．
(2)證明：∵OC＝CP，BC＝OC，
∴BC＝CP．∴∠CBP＝∠CPB．
∵△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°．
∴∠BCP＝120°，∠CBP＝∠CPB＝30°．
∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°．
∴OB⊥BP．
∵OB是⊙O的半徑，
∴PB是⊙O的切線．
22．(10分)如圖，在半徑為5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是 上的一個動點(不與點A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D，E．
(1)當BC＝6時，求線段OD的長．
(2)△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由．
解：(1)∵OD⊥BC，
∴BD＝BC＝×6＝3．
∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝＝4，
即線段OD的長為4．
(2)存在，DE的長度保持不變．
如圖，連接AB．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝＝5．
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分別是線段BC和AC的中點．
∴DE是△ABC的中位線．
∴DE＝AB＝．
∴DE的長度保持不變．
23．(10分)如圖，E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉到△ABF的位置，連接EF．
(1)試判斷△AEF的形狀，并說明理由；
(2)若四邊形AECF的面積為36，DE＝2，求EF的長．
解：(1)△AEF是等腰直角三角形．理由如下：
∵把△ADE順時針旋轉到△ABF的位置，
∴△ABF≌△ADE．
∴AF＝AE，∠FAB＝∠DAE．
∴∠FAE＝∠DAB＝90°．
∴△AEF是等腰直角三角形．
(2)∵四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積，
∴正方形ABCD的面積為36．
∴AD＝6．
在Rt△ADE中，∵AD＝6，DE＝2，
∴AF＝AE＝＝2．
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝＝4．
24．(10分)在一個不透明的口袋里裝有除顏色外其他無差別的黑、白兩種顏色的球共5個．某學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復．下表是活動進行中的一組統計數據：
摸球的次數n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次數m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的頻率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)請估計：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近 0.6 ，隨機摸出一個球，摸到白球的概率是 0.6 ，摸到黑球的概率是 0.4 ；(均保留一位小數)
(2)試估算：口袋中有 2 個黑球，有 3 個白球；
(3)從口袋中任意摸出一個球，記下顏色后放回口袋中攪拌均勻，再任意摸出一個球，兩次摸到的球的顏色恰好相同的概率為多少？
解：(3)畫樹狀圖如圖．
共有25種等可能的結果，其中兩次摸到的球的顏色恰好相同的結果有13種，
∴P(兩次摸到的球的顏色恰好相同)＝．
25．(12分)如圖，二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象交x軸于A，D兩點，并經過點B，已知點A的坐標是(2，0)，點B的坐標是(8，6)．
(1)求二次函數的解析式．
(2)求二次函數圖象的頂點坐標及點D的坐標．
(3)二次函數圖象的對稱軸上是否存在一點C，使得△CBD的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．
解：(1)將A(2，0)，B(8，6)代入y＝x2＋bx＋c，
得
解得
∴二次函數的解析式為y＝x2－4x＋6．
(2)∵y＝x2－4x＋6＝(x－4)2－2，
∴二次函數圖象的頂點坐標為(4，－2)．
當y＝0時，有x2－4x＋6＝0，
解得x1＝2，x2＝6，
∴點D的坐標為(6，0)．
(3)存在．如圖，連接CA．
∵點C在二次函數圖象的對稱軸x＝4上，
∴xC＝4，CA＝CD．
∴△CBD的周長為CD＋CB＋BD＝CA＋CB＋BD．
當A，C，B三點共線時，CA＋CB的長最小．
∵BD是定值，∴當A，C，B三點共線時，△CBD的周長最小．
設直線AB的函數解析式為y＝mx＋n．
把A(2，0)，B(8，6)代入y＝mx＋n，
得解得
∴直線AB的函數解析式為y＝x－2．
當x＝4時，y＝x－2＝4－2＝2．
∴當點C的坐標為(4，2)時，△CBD的周長最小．
26．(12分)小星學習二次函數后，設計了一個建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分，拋物線的頂點在C處，對稱軸OC與水平線OA垂直，OC＝9，點A在拋物線上，且點A到對稱軸的距離OA＝3，點B在拋物線上，點B到對稱軸的距離是1．
(1)求拋物線的解析式；
(2)為了更加穩固，小星想在OC上找一點P，加裝拉桿PA，PB，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點P的位置并求出坐標；
(3)為了造型更加美觀，小星重新設計拋物線，其解析式為y＝－x2＋2bx＋b－1(b＞0)，當4≤x≤6時，函數y的值總大于等于9．求b的取值范圍．
解：(1)設拋物線的解析式為y＝ax2＋9．
把點A的坐標(3，0)代入，得9a＋9＝0，
解得a＝－1．
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋9．
(2)如圖，作點A關于y軸的對稱點A′(－3，0)，連接A′B交OC于點P，點P即為所求．
把x＝1代入y＝－x2＋9，得y＝8，
∴點B的坐標為(1，8)．
設直線A′B的解析式為y＝kx＋m．
∴解得
∴直線A′B的解析式為y＝2x＋6．
令x＝0，得y＝6，
∴點P的坐標為(0，6)．
(3)y＝－x2＋2bx＋b－1＝－(x－b)2＋b2＋b－1，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝b，頂點坐標為(b，b2＋b－1)．
當0＜b≤4時，得－62＋12b＋b－1≥9，解得b≥．∴≤b≤4．
當4＜b＜6時，
由b－4＞6－b，得b＞5，
∴－42＋8b＋b－1≥9，解得b≥．
∴5＜b＜6．
由b－4≤6－b，得b≤5，
∴－62＋12b＋b－1≥9，解得b≥．
∴4＜b≤5．
∴當4＜b＜6時，都成立．
當b≥6時，得－42＋8b＋b－1≥9，解得b≥，
∴b≥6時，都成立．
綜上所述，b的取值范圍為b≥．
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