資源簡介

第二十一章成果展示
一元二次方程
(時間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．下列方程是一元二次方程的是(　C　)
A．5x2－6y－2＝0
B．2x2－7＝3y＋1
C．x(x＋2)＝5(x－2)
D．ax2＋(b－3)x＋c＋5＝0
2．一元二次方程(2x＋1)(2x－1)＝8x＋15的根的情況是(　A　)
A．有兩個不等的實數根
B．有兩個相等的實數根
C．只有一個實數根
D．沒有實數根
3．若方程2x2＋x－2m＋1＝0有一個正實數根和一個負實數根，則m的取值范圍是(　B　)
A．m≥ B．m＞
C．m＞ D．m≥
4．設a，b是方程x2＋2x－20＝0的兩個實數根，則a2＋3a＋b的值為(　D　)
A．－18 B．21
C．－20 D．18
5．一元二次方程y2－y－＝0配方后可化為(　B　)
A．＝1 B．＝1
C．＝ D．＝
6．若x＝3是關于x的一元二次方程x2－ax－a2＝0(a＞0)的一個根，下面對a的值估計正確的是(　B　)
A．＜a＜1
B．1＜a＜
C．＜a＜2
D．2＜a＜
7．某省深度落實加快新舊動能轉換，促進企業創新發展．某企業1月的營業額是1 000萬元，營業額的月平均增長率相同，第一季度的總營業額是3 990萬元．若設月平均增長率是x，則可列出的方程是(　B　)
A．1 000(1＋x)2＝3 990
B．1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3 990
C．1 000(1＋2x)＝3 990
D．1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋2x)＝3 990
8．《九章算術》“勾股”章有一題，其譯文大意是：已知矩形門的高比寬多六尺八寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少(1丈＝10尺，1尺＝10寸)？若設門的寬為x寸，則下列方程中，符合題意的是(　D　)
A．x2＋12＝(x＋0.68)2
B．x2＋(x＋0.68)2＝12
C．x2＋1002＝(x＋68)2
D．x2＋(x＋68)2＝1002
9．下列表格中的數據是ax2＋bx＋c與x的部分對應值：
x 5.12 5.13 5.14 5.15
ax2＋bx＋c －0.04 －0.02 0.01 0.03
那么你認為方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c為常數)的一個解最接近于(　C　)
A．5.12 B．5.13
C．5.14 D．5.15
10．若關于x的方程a(x＋m)2＋bx－c＝0的根是x1＝－2，x2＝1(a，m，b，c均為常數，a≠0)，則方程a(x＋m－1)2＋b(x－1)＝c的根是(　A　)
A．x1＝－1，x2＝2
B．x1＝－2，x2＝1
C．x1＝2，x2＝1
D．x1＝－2，x2＝－1
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．把一元二次方程(－x－1)2＝3化為一般形式是 x2＋2x－2＝0 ．
12．已知x1和x2是方程x2＋3x－1＝0的兩個實數根，則＝ 11 ．
13．若關于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0有實數根，則k的取值范圍是 k≤1且k≠0 ．
14．若關于x的方程x2－2(m＋1)x＋m＋4＝0的兩根的倒數和為1，則m的值為 2 ．
15．對于任意實數a，b，定義：a◆b＝a2＋ab＋b2．若方程(x◆2)－5＝0的兩根記為m，n，則 m2＋n2＝ 6 ．
16．已知關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列說法：
①若a＋b＋c＝0，則b2－4ac≥0；
②若方程ax2＋c＝0有兩個不等的實數根，則方程ax2＋bx＋c＝0必有兩個不等的實數根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，則一定有ac＋b＋1＝0成立．
其中，正確的是 ①② ．(填序號)
三、解答題(本大題共6個小題，共56分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(6分)把下列方程化成一般形式，然后寫出其二次項系數、一次項系數及常數項．
(1)(2x＋1)2＝16(3x－2)2；
(2)(2＋x)(2－x)＝(x－3)2．
解：(1)方程整理，得140x2－196x＋63＝0．
則二次項系數為140，一次項系數為－196，常數項為63．
(2)方程整理，得2x2－6x－3＝0．
則二次項系數為2，一次項系數為－6，常數項為－3．
18．(12分)用合適的方法解方程：
(1)x2－x－＝0；
(2)3x(x－1)＝2(x－1)；
(3)x2－5x＋2＝0；
(4)(2x－1)2＝(3－x)2．
解：(1)x2－x－＝0，
a＝1，b＝－，c＝－．Δ＝b2－4ac>0．
方程有兩個不等的實數根x＝，
即x1＝，x2＝．
(2)移項，得3x(x－1)－2(x－1)＝0．
因式分解，得(x－1)(3x－2)＝0，
解得x1＝1，x2＝．
(3)移項，得x2－5x＝－2．
方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，
得x2－5x＋＝－2＋．
配方，得＝．
開方，得x－＝±，
解得 x1＝，x2＝．
(4)兩邊開平方，得2x－1＝±(3－x)，
即2x－1＝3－x或2x－1＝－3＋x，
解得x1＝，x2＝－2．
19．(8分)已知x＝2是關于x的方程x2－(m＋4)x＋4m＝0的一個實數根，并且這個方程的兩個實數根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長．求：
(1)m的值；
(2)△ABC的周長．
解：(1)把x＝2代入方程x2－(m＋4)x＋4m＝0，
得4－2(m＋4)＋4m＝0，解得m＝2．
(2)方程化為x2－6x＋8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
∵2＋2＝4，
∴等腰三角形ABC的腰長為4，底邊長為2．
∴△ABC的周長為4＋4＋2＝10．
20．(10分)如圖，AO＝OB＝50 cm，OC是一條射線，OC⊥AB，一只螞蟻由點A以2 cm/s的速度向點B爬行，同時另一只螞蟻由點O以3 cm/s的速度沿OC方向爬行．多長時間時，兩只螞蟻與點O組成的三角形的面積為450 cm2
解：分兩種情況進行討論：
①如圖(1)，當一只螞蟻在AO上運動時，設x s 時兩只螞蟻與點O組成的三角形的面積為450 cm2．
由題意，得×3x·(50－2x)＝450．
整理，得x2－25x＋150＝0，
解得x1＝15，x2＝10．
　　　　
(1)　 　 　　　 (2)
第20題解圖
②如圖(2)，當一只螞蟻在OB上運動時，設y s 時，兩只螞蟻與點O組成的三角形的面積為450 cm2．
由題意，得×3y·(2y－50)＝450．
整理，得y2－25y－150＝0，解得y1＝30，y2＝－5(不合題意，舍去)．
綜上，10 s或15 s或30 s時，兩只螞蟻與點O組成的三角形的面積為450 cm2．
21．(10分)如圖，為了美化環境，某小區計劃在一塊矩形空地上修建一個面積為1 500 m2的矩形草坪，并將草坪四周余下的空地修建成同樣寬的通道，已知矩形空地的長為 60 m，寬為40 m．
(1)求通道的寬度；
(2)某公司承攬了該小區草坪的種植工程，計劃種植“四季青”和“黑麥草”兩種綠植，該公司種植“四季青”的單價是每平方米30元，超過50 m2后，每多出5 m2，所有“四季青”的種植單價可降低1元，但單價不低于每平方米 20元．已知小區種植“四季青”的面積超過了50 m2，支付該公司種植“四季青”的費用為2 000元，求種植“四季青”的面積．
解：(1)設通道的寬度為x m．
由題意，得(60－2x)(40－2x)＝1 500，
解得x1＝5，x2＝45(不合題意，舍去)．
∴通道的寬度為5 m．
(2)設種植“四季青”的面積為y m2．
由題意，得y＝2 000，
解得y1＝y2＝100．
∴種植“四季青”的面積為100 m2．
22．(10分)某商城在端午節期間促銷某品牌冰箱，每臺冰箱進貨價為2 500元，標價為3 000元．
(1)商城將冰箱連續兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以2 430元的價格出售給中獎者，求每次降價的百分率；
(2)市場調研表明：當每臺冰箱售價為2 900元時，平均每天能售出8臺，當每臺冰箱售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺．若商城想要使冰箱的銷售利潤平均每天達到5 000元，則每臺冰箱的定價應為多少元？
解：(1)設每次降價的百分率為x．
依題意，得3 000(1－x)2＝2 430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合題意，舍去)．
∴每次降價的百分率是10%．
(2)設下調a個50元．
依題意，得5 000＝(2 900－2 500－50a)·(8＋4a)，解得a1＝a2＝3．
∴應下調3×50＝150(元)．
∴定價為2 900－150＝2 750(元)．
∴每臺冰箱的定價應為2 750元．
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