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課時分層訓練(四)　二次函數的圖象和性質
知識點一　二次函數的圖象與性質
1．下列函數中是二次函數的是(　D　)
A．y＝3x－1
B．y＝x2＋
C．y＝(x＋1)2－x2
D．y＝3x2－1
2．二次函數y＝－2(x－3)2＋1的圖象的對稱軸是(　A　)
A．直線x＝3
B．直線x＝－3
C．直線x＝－2
D．直線x＝1
3.如圖，拋物線的頂點坐標是P(1，3)，當函數y隨自變量x的增大而減小時，x的取值范圍是(　C　)
A．x>3
B．x<3
C．x>1
D．x<1
4．函數y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常數，且a≠0)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是(　B　)
5．已知二次函數y＝x2－2x－3的自變量x1，x2，x3對應的函數值分別為y1，y2，y3．當－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y1，y2，y3之間的大小關系是(　B　)
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y3＜y1
6．已知二次函數y＝－x2＋4x＋5．
(1)將y＝－x2＋4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)求出這個二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標．
解：(1)y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，即將y＝－x2＋4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式為y＝－(x－2)2＋9．
(2)∵y＝－(x－2)2＋9，
∴對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為(2，9)．
知識點二　二次函數的圖象與幾何變換
7．拋物線y＝－x2＋x＋1經平移后，不可能得到的拋物線是(　D　)
A．y＝－x2＋x
B．y＝－x2－4
C．y＝－x2＋2 023x－2 024
D．y＝－x2＋x＋1
8．將拋物線y＝－5x2＋1向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得到的拋物線是(　A　)
A．y＝－5(x＋1)2－1
B．y＝－5(x－1)2－1
C．y＝－5(x＋1)2＋3
D．y＝－5(x－1)2＋3
9．通過平移y＝－(x－1)2＋3的圖象，可得到y＝－x2的圖象，下列平移方法正確的是(　B　)
A．向左平移1個單位長度，向上平移3個單位長度
B．向左平移1個單位長度，向下平移3個單位長度
C．向右平移1個單位長度，向上平移3個單位長度
D．向右平移1個單位長度，向下平移3個單位長度
知識點三　待定系數法求二次函數的解析式
10．已知二次函數的圖象經過(0，0)，(3，0)，(1，－4)三點，則該函數的解析式為(　C　)
A．y＝x2－3x
B．y＝2x2－3x
C．y＝2x2－6x
D．y＝x2－6x
11．如圖是某個二次函數的圖象，根據圖象可知，該二次函數的解析式是(　D　)
A．y＝x2－x－2
B．y＝x2－x＋2
C．y＝x2－x＋1
D．y＝－x2＋x＋2
12．已知二次函數y＝a(x－1)(x－3)的圖象經過點(0，3)．
(1)求a的值；
(2)將該二次函數的圖象以x軸為對稱軸作軸對稱變換得到新的二次函數，請求出新二次函數的解析式．
解：(1)把(0，3)代入y＝a(x－1)(x－3)，
得a×(－1)×(－3)＝3，
解得a＝1．
(2)由(1)得該二次函數的解析式為y＝x2－4x＋3．
將該二次函數的圖象沿x軸進行軸對稱變換，得到的新二次函數的解析式是－y＝x2－4x＋3，即y＝－x2＋4x－3．
13．若拋物線y＝x2＋ax＋b與x軸的兩個交點間的距離為2，則稱此拋物線為定弦拋物線．已知某定弦拋物線的對稱軸為直線x＝1，將此拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的新拋物線過點(　B　)
A．(－3，－6) B．(－3，0)
C．(－3，－5) D．(－3，－1)
14．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－1，且拋物線經過點(1，0)，下面給出了四個結論：①abc＞0；②a－2b＋4c＞0；③5a＋c＜b；④a－b＝c．其中，正確的結論有(　C　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
15．已知二次函數y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)，若點P(m，3)在該函數的圖象上，且m≠0，則m的值為 2 ．
16．設拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)過A(0，2)，B(4，3)，C三點，其中點C在直線x＝2上，且點C到拋物線的對稱軸的距離等于1，則拋物線的函數解析式為 y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2 ．
17．如圖，已知拋物線的頂點坐標為(－1，9)，且經過x軸上一點(－4，0)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求拋物線與y軸的交點坐標；
(3)試說明當x＞－1時，函數值y隨x的增大而變化的情況．
　　
解：(1)設拋物線的解析式為y＝a(x＋1)2＋9．把(－4，0)代入，得a×(－4＋1)2＋9＝0，解得a＝－1．
∴拋物線的解析式為y＝－(x＋1)2＋9．
(2)當x＝0時，y＝－(x＋1)2＋9＝8，
∴拋物線與y軸的交點坐標為(0，8)．
(3)∵拋物線的對稱軸為直線x＝－1，拋物線開口向下，∴當x＞－1時，函數值y隨x的增大而減小．
18．如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，頂點為D．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)連接BC，CD，BD，P為線段BD的中點，連接CP，則線段CP的長是 ．
解：(1)∵拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點，
∴
解得
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3．
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴D(1，4)．
把x＝0代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝3，
∴C(0，3)．
∵P為線段BD的中點，B(3，0)，D(1，4)，
∴點P的坐標為，
即P(2，2)．
∴CP＝＝．
故答案為．
【創新運用】
19．已知二次函數y＝x2－2mx＋m2－1．
(1)當二次函數的圖象經過坐標原點O(0，0)時，求二次函數的解析式．
(2)如圖，當m＝2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C，D兩點的坐標．
(3)在(2)的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC＋PD最短？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
解：(1)將點O(0，0)代入二次函數y＝x2－2mx＋m2－1，得0＝m2－1，解得m＝±1．∴二次函數的解析式為y＝x2＋2x或y＝x2－2x．
(2)當m＝2時，二次函數的解析式為y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴C(0，3)，頂點坐標為D(2，－1)．
(3)存在．連接CD，圖略，根據“兩點之間，線段最短”可知，當點P位于CD與x軸的交點時，PC＋PD最短．
設經過C，D兩點的直線的解析式為y＝kx＋b(k≠0)．將C(0，3)，D(2，－1)兩點的坐標代入解析式中，可得
解得
∴y＝－2x＋3．
令y＝0，可得－2x＋3＝0，解得x＝．
∴當點P的坐標為時，PC＋PD最短．
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