資源簡介

課時分層訓練(六)　實際問題與二次函數
知識點一　面積問題
1．用總長為a m的材料做成如圖(1)所示的矩形窗框，設窗框的寬為x m，窗框的面積為y m2，y關于x的函數圖象如圖(2)，則a的值是(　B　)
第1題圖
A．16 B．12
C．8 D．4
2．如圖，假設籬笆(虛線部分)的長度為14 m，則所圍成矩形ABCD的最大面積是(　B　)
A．50 m2 B．49 m2
C．46 m2 D．48 m2
3．已知直角三角形兩條直角邊的和等于20，兩條直角邊各為多少時，這個直角三角形的面積最大？最大值是多少？
解：設直角三角形的一條直角邊長為x，則另一條直角邊長為(20－x)，其面積為y，則y＝x·(20－x)＝－x2＋10x＝－(x－10)2＋50．
因為－<0，
所以當x＝10時，面積y取最大值，y最大＝50．
知識點二　利潤問題
4．某商店購進某種商品的價格是7.5元/件，當銷售單價定為13.5元時，銷售量是500件，而銷售單價每降低1元就可多售出200件．若銷售單價為x元時，獲得的利潤為y元，則y關于x的函數解析式為(　D　)
A．y＝(6－x)(500＋x)
B．y＝(13.5－x)(500＋200x)
C．y＝(6－x)(500＋200x)
D．y＝(x－7.5)[500＋200(13.5－x)]
5．某商場要經營一種新上市的文具，進價為20元，試營銷階段發現：當銷售單價定為25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．當銷售單價為 35 元時，該文具每天的銷售利潤最大．
6．某公司投入研發費用80萬元(80萬元只計入第一年成本)，成功研發出一種產品．公司按訂單生產(產量＝銷售量)，第一年該產品正式投產后，生產成本為6元/件．此產品年銷售量y(萬件)與售價x(元/件)之間滿足函數y＝－x＋26．
(1)求這種產品第一年的利潤w1(萬元)關于售價x(元/件)的函數解析式；
(2)如果該產品第一年的利潤為20萬元，那么該產品第一年的售價是多少？
(3)第二年，該公司將第一年的利潤20萬元(20萬元只計入第二年成本)再次投入研發，使產品的生產成本降為5元/件．為保持市場占有率，公司規定第二年產品售價不超過第一年的售價，另外受產能限制，銷售量無法超過12萬件．請計算該公司第二年的利潤w2至少為多少．
解：(1)w1＝(x－6)(－x＋26)－80＝－x2＋32x－236．
(2)由題意，得20＝－x2＋32x－236，
解得x1＝x2＝16．
答：該產品第一年的售價是16元．
(3)由題意，可知銷售量無法超過12萬件，即－x＋26≤12，解得x≥14．∴14≤x≤16．
w2＝(x－5)(－x＋26)－20＝－x2＋31x－150，
∴拋物線的對稱軸為x＝15.5．
又∵14≤x≤16，
∴當x＝14時，w2有最小值，最小值為88萬元．
答：該公司第二年的利潤w2至少為88萬元．
知識點三　拋物線形問題
7．如圖，若被擊打的小球飛行高度h(單位： m)與飛行時間t(單位： s)滿足函數關系h＝24t－4t2，則小球從飛出到落地所用的時間為(　D　)
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
8．如圖，在噴水池的中心A處豎直安裝一個水管AB，水管的頂端B處有一個噴水孔，噴出的拋物線形水柱在與池中心A處的水平距離為1 m處達到最高點C，高度為3 m，水柱落地點D距離池中心A處4 m，則水管的頂端B距離水面的高度AB為(　D　)
A．2 m　B． m　C． m　D． m
9．如圖，某大學的校門是一個拋物線形的水泥建筑物，大門的地面寬度為8 m，兩側距地面4 m高處各有一個掛校名橫匾用的鐵環，兩鐵環間的水平距離為6 m．求校門的高．(結果精確到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不計)
解：以大門地面為x軸、以它的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則拋物線過(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三點．
∵拋物線關于y軸對稱，∴設解析式為y＝ax2＋c．∴
解得
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋．
∴拋物線的頂點坐標為，
即校門的高為 m≈9.1 m．
10．已知學校航模組設計制作的火箭升空高度h(m)與飛行時間t(s)滿足函數h＝－t2＋24t＋1，則下列說法中正確的是(　C　)
A．點火后1 s和點火后3 s的升空高度相同
B．點火后24 s火箭落于地面
C．火箭升空的最大高度為145 m
D．點火后10 s的升空高度為139 m
11．如圖，某學校擬建一塊矩形花圃，打算一邊利用學校現有的墻(墻足夠長)，其余三邊除門外用柵欄圍成，柵欄總長度為50 m，門寬為2 m．這個矩形花圃的最大面積是(　C　)
A．169 m2 B．288 m2
C．338 m2 D．312.5 m2
12．某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標出相關數據(單位： m)．有下列結論：
①AB＝24 m；
②池底所在拋物線的解析式為y＝x2－5；
③池塘最深處到水面CD的距離為1.8 m；
④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．其中，正確的是(　B　)
A．①② B．②④
C．③④ D．①④
13．如圖，利用135°的墻角修建一個梯形的儲料場，并使∠C＝90°．如果新建的墻BCD總長為24 m，那么當BC＝ 16 m 時，儲料場的面積最大．
14．一名女生投擲實心球，實心球行進的路線是一條拋物線，行進高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數關系如圖所示，拋出時起點處高度為 m，當水平距離為3 m時，實心球行進至最高點3 m處．
(1)求y關于x的函數解析式；
(2)根據體育考試(女生)評分標準，投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70 m，此項考試得分為滿分10分．該女生在此項考試中是否得滿分？請說明理由．
解：(1)設y關于x的函數解析式為y＝a(x－3)2＋3．
把代入解析式，得＝a(0－3)2＋3，解得a＝－．
∴y＝－(x－3)2＋3．
(2)該女生在此項考試中得滿分．理由如下：
令y＝0，即－(x－3)2＋3＝0，
解得x1＝7.5，x2＝－1.5(不合題意，舍去)．
∴該女生投擲實心球從起點到落地點的水平距離為7.5 m，大于6.70 m．
∴該女生在此項考試中得滿分．
15．某校準備在校園里利用圍墻(墻長12 m)和21 m長的籬笆墻，圍成Ⅰ和Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數學興趣小組設計了兩種方案(除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻)，請根據設計方案回答下列問題：
(1)方案一：如圖(1)，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區中留一個寬度AE＝1 m 的水池，且需保證總種植面積為32 m2，試分別確定CG，DG的長；
(2)方案二：如圖(2)，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問：BC應設計為多長？此時最大面積為多少？
(1)
(2)
第15題圖
解：(1)∵(21－12)÷3＝3(m)，
∴Ⅰ和Ⅱ兩塊矩形的面積和為12×3＝36(m2)．
設水池的長為a m，
則水池的面積為a×1＝a(m2)．
∴36－a＝32，解得a＝4．
∴DG＝4 m．
∴CG＝CD－DG＝12－4＝8(m)，
即CG的長為8 m，DG的長為4 m．
(2)設BC的長為x m，則CD的長為(21－3x)m，
總種植面積為(21－3x) x＝－3(x2－7x)＝－3＋．
∵－3＜0，
∴當x＝時，總種植面積有最大值，最大面積為 m2，
即BC應設計為 m，此時總種植面積最大，最大面積為 m2．
【創新運用】
16．某公司開發出一種產品，生產成本為5元/件，規定售價不超過15元/件，受產能限制，按訂單生產該產品(銷量＝產量)，年銷量不超過30萬件．年銷量y(萬件)與售價x(元/件)之間的函數關系如圖(1)所示．為提高該產品的競爭力，投入研發費用P萬元(計入成本)，P與x之間的函數關系如圖(2)所示，AB是一條線段，BC是拋物線P＝－4x＋m的一部分．
(1)求y關于x的函數解析式；
(2)當售價為多少時年利潤最大？最大利潤是多少？
(1)
(2)
第16題圖
解：(1)設y關于x的函數解析式為y＝kx＋b．
把(5，30)，(15，10)代入，
得解得
∴y關于x的函數解析式為y＝－2x＋40(5≤x≤15)．
(2)由題意，得當5≤x≤10時，P＝60．
設年利潤為w，
則w＝(x－5)y－P＝(x－5)(－2x＋40)－60＝－2x2＋50x－260．
∵－2＜0，5≤x≤10，對稱軸為x＝12.5，
∴當5≤x≤10時，w隨x的增大而增大．
∴當x＝10時，w最大，最大值為40．
當10≤x≤15時，P＝x2－4x＋m．
把x＝10，P＝60代入P＝x2－4x＋m，得60＝×102－4×10＋m，
解得m＝75．
∴P＝x2－4x＋75．
∴w＝(x－5)y－P＝(x－5)(－2x＋40)－＝－x2＋54x－275＝＋49．
∵－＜0，10≤x≤15，
∴當x＝12時，w有最大值，最大值為49．
綜上所述，當x＝12時，年利潤w最大，最大利潤為49萬元．
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