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第二十二章成果展示
二次函數(shù)
(時間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．下列函數(shù)是二次函數(shù)的是(　D　)
A．y＝
B．y＝(x＋3)2－x2
C．y＝
D．y＝x(x－1)
2．拋物線y＝－2(x＋1)2－3的對稱軸是(　B　)
A．直線x＝1 B．直線x＝－1
C．直線x＝3 D．直線x＝－3
3．若拋物線y＝x2＋x＋c與x軸只有一個公共點，則c的值為(　B　)
A．－ B．
C．－4 D．4
4．下列選項中，與y＝2(x－1)2＋3的形狀相同的拋物線的解析式為(　D　)
A．y＝1＋x2
B．y＝(2x＋1)2
C．y＝(x－1)2
D．y＝2x2
5．如圖，在平面直角坐標系中，有四條拋物線，其中，二次項系數(shù)的絕對值最小的是(　C　)
A．y1 B．y2
C．y3 D．y4
6．如圖為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，則下列結論錯誤的是(　B　)
A．函數(shù)有最小值
B．當－1＜x＜2時，y＞0　
C．a(chǎn)＋b＋c＜0
D．當x＜0時，y隨x的增大而減小
7．將拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后得到拋物線y＝－(x－2)2＋3，則原拋物線的解析式為(　A　)
A．y＝－(x＋1)2＋1
B．y＝－(x－1)2－1　
C．y＝－x2
D．y＝－(x－5)2＋5
8．經(jīng)過A(2－3b，m)，B(4b＋c－1，m)兩點的拋物線y＝－x2＋bx－b2＋2c(x為自變量)與x軸有交點，則線段AB的長為(　B　)
A．10 B．12
C．13 D．15
解析：∵經(jīng)過A(2－3b，m)，B(4b＋c－1，m)兩點的拋物線y＝－x2＋bx－b2＋2c(x為自變量)與x軸有交點，
∴＝－，Δ＝b2－4×(－b2＋2c)≥0．
∴b＝c＋1，b2－4c≤0．
∴(c＋1)2－4c≤0．
∴(c－1)2≤0．
∴c－1＝0，
解得c＝1．
∴b＝c＋1＝2．
∴AB＝|(4b＋c－1)－(2－3b)|
＝|4b＋c－1－2＋3b|
＝|7b＋c－3|
＝|7×2＋1－3|
＝|14＋1－3|
＝12．
9．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖，下列結論正確的有(　A　)
①abc＜0；②b2－4ac＜0；③2a＞b；④(a＋c)2＜b2．
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
第9題圖　　　 　第10題圖
10．如圖是某拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點為O，B，以點O為原點、水平直線OB為x軸建立平面直角坐標系，橋的拱形可近似看成拋物線y＝－(x－80)2＋16，橋拱與橋墩AC的交點C恰好在水面，且AC⊥x軸．若OA＝10 m，則橋面離水面的高度AC為(　B　)
A．16 m B． m
C．16 m D． m
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．將二次函數(shù)y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式為 y＝(x－2)2＋1 ．
12．經(jīng)過A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三點的拋物線的解析式是 y＝－x2＋x＋3 ．
13．已知點＋3，y3) 都在函數(shù) y＝－(x＋4)2 的圖象上，則 y1，y2，y3 的大小關系是y1＞y2＞y3．
14．如圖，正方形的邊長為4，以正方形的中心為原點建立平面直角坐標系，作出函數(shù)y＝x2與y＝－x2的圖象，則陰影部分的面積是 8 ．
　
第14題圖　　　　 第15題圖
15．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4的圖象如圖，則關于x的方程ax2＋bx＝0的根為 x1＝0，x2＝－3 ．
16．某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長)，中間用一道墻隔開，并在如圖的三處各留1 m寬的門．已知計劃中的材料可建墻體(不包括門)的總長為27 m，則能建成的飼養(yǎng)室的面積最大為 75 m2．
三、解答題(本大題共6個小題，共56分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(6分)已知二次函數(shù)的解析式是y＝x2－2x－3．
(1)求該函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點坐標以及它的頂點坐標；
(2)根據(jù)(1)的結果在平面直角坐標系中利用描點法畫出此拋物線．
解：(1)令y＝0，則x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3．
令x＝0，則y＝－3．
即拋物線y＝x2－2x－3與x軸交點的坐標為(－1，0)，(3，0)，與y軸交點的坐標為(0，－3)．
由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
可得其頂點坐標為(1，－4)．
(2)列表如下．
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －3 －4 －3 0 …
畫出拋物線如圖．
18．(8分)設二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1(a≠0，且a，b是實數(shù))．已知函數(shù)值y和自變量x的部分對應取值如表所示：
x … －1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
(1)若m＝4．
①求二次函數(shù)的解析式；
②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減小．
(2)若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求a的取值范圍．
解：(1)①由題意，得
解得
∴二次函數(shù)的解析式是y＝x2－2x＋1．
②∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1．
∴當x＜1時，y隨x的增大而減小．
(2)∵x＝0和x＝2時的函數(shù)值都是1，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝－＝1．
∴(1，n)是頂點，(－1，m)和(3，p)關于對稱軸對稱．
若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，則拋物線必須開口向下，且m≤0．
∵－＝1，∴b＝－2a．
∴二次函數(shù)為y＝ax2－2ax＋1．
∴m＝a＋2a＋1≤0．
∴a≤－．
19．(8分)已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋3a＋2(a為常數(shù))．
(1)請寫出該二次函數(shù)的三條性質(zhì)；
(2)在同一平面直角坐標系中，若該二次函數(shù)的圖象在x≤4的部分與一次函數(shù)y＝2x－1的圖象有兩個交點，求a的取值范圍．
解：(1)∵二次函數(shù)y＝x2－4x＋3a＋2＝(x－2)2＋3a－2，∴該二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為(2，3a－2)，有最小值3a－2．(答案不唯一)
(2)令x2－4x＋3a＋2＝2x－1．
整理，得x2－6x＋3a＋3＝0．
∵二次函數(shù)的圖象在x≤4的部分與一次函數(shù)y＝2x－1的圖象有兩個交點，
∴方程x2－6x＋3a＋3＝0在x≤4的范圍內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根．
∴
解得≤a<2．
∴a的取值范圍為≤a＜2．
20．(10分)如圖，拋物線 y＝a(x＋1)2 的頂點為點A，與y軸的負半軸交于點B，且 S△AOB＝．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)若C是拋物線上A，B兩點之間的一點，當S△ABC 最大時，求點C的坐標．
解：(1)由題意，得A(－1，0)，B(0，a)，
∴OA＝1，OB＝－a．
∵S△AOB＝，
∴×1×(－a)＝，
解得a＝－1．
∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝－(x＋1)2．
(2)∵A(－1，0)，B(0，－1)，
∴AB所在直線的函數(shù)解析式為y＝－x－1．
如圖，在拋物線上A，B兩點之間任取一點C，過點C作CD⊥x軸，交AB于點D．
設C[x，－(x＋1)2]，則D(x，－x－1)，
∴CD＝－(x＋1)2＋x＋1．
∵S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝ [－(x＋1)2＋x＋1]×1，
∴S△ABC＝－＋．
∵－＜0，
∴當x＝－時，S△ABC最大，此時點C的坐標為．
21．(12分)某服裝超市購進單價為30元的童裝若干件，物價部門規(guī)定其銷售單價不低于每件30元，不高于每件60元．銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為60元時，平均每月的銷售量為80件，而當銷售單價每降低10元時，平均每月能多售出20件．同時，在銷售過程中，每月還要支付其他費用450元．設銷售單價為x元，平均月銷售量為y件．
(1)求出y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)當銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月可獲得利潤1 800 元？
(3)當銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
解：(1)由題意，得y＝80＋20×＝－2x＋200，
∴y關于x的函數(shù)解析式為y＝－2x＋200(30≤x≤60)．
(2)由題意，得(x－30)(－2x＋200)－450＝1 800，解得x1＝55，x2＝75(舍去)．
∴當銷售單價為55元時，銷售這種童裝每月可獲得利潤 1 800 元．
(3)設每月獲得的利潤為w元．由題意，得
w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x－65)2＋2 000．
∵－2＜0，
∴當x<65時，w隨x的增大而增大．
∵30≤x≤60，
∴當x＝60時，w最大，w最大＝－2×(60－65)2＋2 000＝1 950．
∴當銷售單價為60元時，銷售這種童裝每月獲得的利潤最大，最大利潤是1 950元．
22．(12分)在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2－2kx＋k2＋k圖象的對稱軸為直線x＝k，且k≠0，頂點為P．
(1)求a的值；
(2)求頂點P的坐標；(用含k的式子表示)
(3)已知A(0，1)，B(2，1)，若函數(shù)y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的圖象與線段AB恰好有一個公共點，寫出k的取值范圍．
解：(1)∵二次函數(shù)y＝ax2－2kx＋k2＋k圖象的對稱軸為直線x＝k，
∴－＝k．∴a＝1．
(2)把a＝1代入y＝ax2－2kx＋k2＋k，
得y＝x2－2kx＋k2＋k．
當x＝k時，y＝k2－2k2＋k2＋k＝k，
∴頂點P的坐標為(k，k)．
(3)∵函數(shù)y＝ax2－2kx＋k2＋k＝x2－2kx＋k2＋k＝(x－k)2＋k，∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線x＝k，頂點坐標為(k，k)．
∵A(0，1)，B(2，1)，
∴①當k＞1時，拋物線的頂點在直線AB的上方，拋物線與線段AB沒有公共點，則函數(shù)y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的圖象與線段AB沒有公共點；
②當k＝1時，頂點(1，1)在線段AB上，即函數(shù)y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的圖象與線段AB恰好有一個公共點；
③當k＜0時，則x＝k＋1或x＝k－1時，y＝1＋k＜1，函數(shù)y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的圖象在線段AB下方，沒有公共點；
④當0＜k＜1時，若函數(shù)圖象過點A(0，1)，則k2＋k＝1，解得k＝＜0(舍去)或k＝．
∵0＜＜1，
∴根據(jù)拋物線的對稱性知，當≤k＜1時，函數(shù)y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的圖象與線段AB有兩個公共點；當0＜k＜時，函數(shù)y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的圖象與線段AB恰好有一個公共點．
綜上所述，若函數(shù)y＝≤k＋1)的圖象與線段AB恰好有一個公共點，則09 / 9

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