資源簡介

綜合質量評價(一)
(時間：120分鐘　滿分：150分)第Ⅰ卷(選擇題　共48分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．我國古代數學的許多創新與發明都曾在世界上產生重要影響．下列圖形：“楊輝三角”“中國七巧板”“劉徽割圓術”“趙爽弦圖”．其中，中心對稱圖形是(　D　)
2．已知關于x的方程(a－3)x|a-1|＋x－1＝0是一元二次方程，則a的值是(　A　)
A．－1 B．2
C．－1或3 D．3
3．若1－是關于x的方程x2－2x＋c＝0的一個根，則c的值為(　A　)
A．－2 B．4－2
C．3－ D．1＋
4．用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，變形后的結果正確的是(　D　)
A．(x＋4)2＝－9 B．(x＋4)2＝－7
C．(x＋4)2＝25 D．(x＋4)2＝7
5．在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝ax－b和二次函數y＝－ax2－b的大致圖象是(　A　)
A　　　　　　B
C　　　 　　　D
6．拋物線y＝－x2＋4x－4與坐標軸的交點個數為(　C　)
A．0 B．1
C．2 D．3
7．若一元二次方程x2－3x＋1＝0的兩個根分別為x1，x2，則3x2＋x1x2－2的值是(　D　)
A．10 B．9
C．8 D．7
8．二次函數y＝x2－ax＋b的圖象如圖，對稱軸為直線x＝2，下列結論不正確的是(　C　)
A．a＝4
B．當b＝－6時，頂點的坐標為(2，－10)
C．b＞－5
D．當x＞3時，y隨x的增大而增大
第8題圖 第10題圖
9．若一個等腰三角形的一邊長為2，它的另外兩條邊的長是關于x的一元二次方程 x2－6x＋k＝0 的兩個實數根，則k的值是(　B　)
A．8 B．9
C．8或9 D．12
10．如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，點B的對應點B′的坐標是(　B　)
A．(－1，2＋) B．(－，3)
C．(－，2＋) D．(－3，)
11．在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖，現給出以下結論：①abc＜0；②c＋2a＜0；③9a－3b＋c＝0；④a－b≥m(am＋b)(m為實數)；⑤4ac－b2＜0．其中，錯誤的結論有(　A　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，動點P滿足S△PAB＝S矩形ABCD，則點P到A，B兩點的距離之和PA＋PB的最小值為(　A　)
A．2 B．2
C．3 D．
第Ⅱ卷(非選擇題　共102分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
13．將二次函數y＝2x2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得圖象的解析式為 y＝2(x＋1)2－2 ．
14．為了加快數字化城市建設，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了301個充電樁，第三個月新建了500個充電樁．設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為x，根據題意，可列出方程為 301(1＋x)2＝500 ．
15．拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－3，0)，B(4，0)兩點，則關于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是 x1＝－2，x2＝5 ．
16．已知函數y＝mx2＋3mx＋m－1的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，則實數m的值為 1或－ ．
17．如圖，△ABC是等邊三角形，D為邊BC上一點，BD＝DC＝2，以D為頂點作正方形DEFG，且DE＝BC，連接AE，AG．若將正方形DEFG繞點D旋轉一周，當AE取最小值時，AG的長為 8 ．
　　　
第17題圖　 　 第18題圖
18．如圖，在邊長為6 cm的正方形ABCD中，點E，F，G，H分別從點A，B，C，D同時出發，均以1 cm/s的速度向點B，C，D，A勻速運動，當點E到達點B時，四個點同時停止運動，在運動過程中，當運動時間為 3 s時，四邊形EFGH的面積最小，其最小值是 18 cm2．
三、解答題(本大題共8個小題，共78分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
19．(8分)解方程：
(1)x2－1＝3x＋3；
(2)x2＋2x－5＝0．
解：(1)原式變形為(x＋1)(x－1)－3(x＋1)＝0．
因式分解，得(x＋1)(x－4)＝0，
即x＋1＝0或x－4＝0，
解得x1＝－1，x2＝4．
(2)∵a＝1，b＝2，c＝－5，
∴Δ＝22－4×1×(－5)＝24＞0，
則x＝＝－1±．
∴x1＝－1＋，x2＝－1－．
20．(8分)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)．
(1)畫出△ABC關于原點成中心對稱的△A1B1C1，并寫出點的坐標；
(2)畫出將△A1B1C1繞點C1按順時針方向旋轉90°所得的△A2B2C1．
解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求，其中點C1的坐標為(－2，－1)．
(2)如圖，△A2B2C1即為所求．
21．(8分)已知關于x的一元二次方程x2－6x＋4m＋1＝0有實數根．
(1)求m的取值范圍；
(2)若該方程的兩個實數根分別為x1，x2，且|x1－x2|＝4，求m的值．
解：(1)∵關于x的一元二次方程x2－6x＋4m＋1＝0有實數根，
∴Δ＝(－6)2－4×1×(4m＋1)≥0，
解得m≤2．
(2)∵方程x2－6x＋4m＋1＝0的兩個實數根分別為 x1，x2，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝4m＋1．
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝42＝16，
即32－16m＝16，解得m＝1．
22．(10分)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的中點為O，點G，H在對角線AC上，AG＝CH，直線GH繞點O逆時針旋轉α，與邊AB，CD分別相交于點E，F(點E不與點A，B重合)．
(1)求證：四邊形EHFG是平行四邊形；
(2)若α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的長．
(1)證明：∵對角線AC的中點為O，
∴AO＝CO．
∵AG＝CH，
∴GO＝HO．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB．
∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA．
∴△COF≌△AOE(ASA)．∴FO＝EO．
又∵GO＝HO，
∴四邊形EHFG是平行四邊形．
(2)解：如圖，連接CE．
∵α＝90°，∴EF⊥AC．
∵AO＝CO，
∴EF是AC的垂直平分線．∴AE＝CE．
在Rt△BCE中，CE2＝BC2＋BE2，
即AE2＝9＋(9－AE)2，解得AE＝5．
23．(10分)某農場準備利用如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長)，用60 m長的籬笆圍成一個矩形家禽養殖場MNPQ(籬笆只圍PQ，PN兩邊)，并在PQ，PN兩邊上各開一個1 m寬的門，設PQ＝x m，養殖場的面積為S m2．
(1)求S關于x的函數解析式．
(2)求S的最大值．
(3)若在直角墻角內的A處有一個水池，且與墻MQ，MN的距離分別是10 m，20 m，要將這個水池圍在矩形養殖場內(含邊界，不考慮水池的尺寸)，則養殖場的面積能否為600 m2？若能，求出x的值；若不能，請說明理由．
解：(1)依題意，得PN＝60－(x－1)＋1＝(62－x)m，
∴S＝x(62－x)＝－x2＋62x．
∴S關于x的函數解析式為S＝－x2＋62x．
(2)S＝－x2＋62x＝－(x－31)2＋961．
∵a＝－1＜0，
∴當x＝31時，S最大，
即S最大＝961．
(3)能．若養殖場的面積為600 m2，
則－x2＋62x＝600，
解得x1＝12，x2＝50．
根據題意，易知x≥10，且62－x≥20，
∴10≤x≤42．
∴當x＝12時，養殖場的面積為600 m2．
24．(10分)閱讀材料：
利用完全平方公式可以將一些形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多項式變形為a(x＋m)2＋n的形式，我們把這樣的變形方法叫作多項式ax2＋bx＋c(a≠0)的配方法．
如：求代數式x2＋4x＋6的最小值．
解：原式＝x2＋4x＋4＋2＝(x＋2)2＋2．
∵(x＋2)2≥0，
∴當x＝－2時，x2＋4x＋6有最小值，最小值是2．
根據材料用配方法解決下列問題：
(1)求代數式x2－6x＋12的最小值；
(2)若y＝－x2＋2x－3，當x＝ 1 時，y有最 大 (填“大”或“小”)值，這個值是 －2 ；
(3)求證：無論x，y取任何實數，多項式x2＋y2－4x＋2y＋6的值總為正數．
(1)解：原式＝x2－6x＋9－9＋12
＝(x－3)2＋3．
∵(x－3)2≥0，
∴當x＝3時，x2－6x＋12有最小值，最小值是3．
(3)證明：x2＋y2－4x＋2y＋6
＝x2－4x＋4＋y2＋2y＋1＋1
＝(x－2)2＋(y＋1)2＋1．
∵(x－2)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴(x－2)2＋(y＋1)2＋1＞0．
∴無論x，y取任何實數，多項式x2＋y2－4x＋2y＋6的值總為正數．
25．(12分)小李在景區銷售一種旅游紀念品，已知每件進價為 6元，當銷售單價定為8元時，每天可以銷售 200件．市場調查反映：銷售單價每提高1元，日銷量將會減少10件．物價部門規定：銷售單價不能超過 12元．設該紀念品的銷售單價為x(單位： 元)，日銷量為y(單位： 件)，日銷售利潤為w(單位： 元)．
(1)求y關于x的函數解析式；
(2)要使日銷售利潤為720元，銷售單價應定為多少元？
(3)求w關于x的函數解析式．當x為何值時，日銷售利潤最大？請求出最大利潤．
解：(1)根據題意，得y＝200－10(x－8)＝－10x＋280．
故y關于x的函數解析式為y＝－10x＋280．
(2)根據題意，得w＝(x－6)(－10x＋280)＝720，
解得x1＝10，x2＝24(不合題意，舍去)．
∴要使日銷售利潤為720元，銷售單價應定為10元．
(3)根據題意，得w＝(x－6)(－10x＋280)＝－10(x－17)2＋1 210．
∵－10＜0，
∴當x＜17時，w隨x的增大而增大．
∴當x＝12時，日銷售利潤最大，w最大＝960．
故w關于x的函數解析式為w＝－10(x－17)2＋1 210；
當x為12時，日銷售利潤最大，最大利潤為960元．
26．(12分)如圖，已知拋物線經過A(－3，0)，B(0，3)兩點，且其對稱軸為直線x＝－1．
(1)求此拋物線的函數解析式；
(2)若點P是拋物線上點A與點B之間的動點(不包括點A，B)，求△PAB的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．
解：(1)∵拋物線的對稱軸是直線x＝－1且經過點A(－3，0)，∴由拋物線的對稱性可知拋物線還經過點(1，0)．
設拋物線的函數解析式為y＝a(x－1)(x＋3)．
把B(0，3)代入，得3＝－3a，
∴a＝－1．
故拋物線的函數解析式為y＝－x2－2x＋3．
(2)設直線AB的函數解析式為y＝kx＋b．
∵A(－3，0)，B(0，3)，
∴解得
故直線AB的函數解析式為y＝x＋3．
如圖，過點P作PQ⊥x軸于點Q，交直線AB于點M．
設－2x＋3)，
則M(x，x＋3)．
∴PM＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x．
∴S△PAB＝(－x2－3x)×3＝－＋．
∵－<0，
∴當x＝－時，S△PAB有最大值，S最大＝．
此時y＝－－2×＋3＝，
∴△PAB的面積的最大值為，此時點P的坐標為．
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