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課時分層訓練(十)　圓的有關性質
知識點一　垂徑定理及其推論
1．高速公路上隧道和橋梁很多，如圖是一個隧道的縱截面．若它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，路面AB＝8 m，凈高CD＝8 m，則此圓的半徑OA＝(　A　)
A．5 m B． m
C．6 m D． m
2．如圖，⊙O的直徑CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M．若OM∶OC＝3∶5，則AB的長為(　D　)
A．8 B．12
C．15 D．16
3．如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，小圓的弦AB的延長線交大圓于點C．若AB＝4，BC＝1，則圓環的面積是 5π ．
知識點二　弧、弦、圓心角之間的關系
4．如圖，在⊙O中，∠AOB＝100°，C是的中點，則∠AOC的度數為(　A　)
A．50°　 B．80°　
C．100°　 D．200°
5．如圖，已知在⊙O中，BC是直徑，AB＝DC，則下列結論不一定成立的是(　A　)
A．OA＝OB＝AB
B．∠AOB＝∠COD
C．＝
D．點O到AB，CD的距離相等
知識點三　圓周角定理及其推論
6．如圖，在⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點D，連接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，則∠C的度數是(　D　)
A．25° B．27.5°
C．30° D．35°
7．如圖，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，則∠CAB的度數為(　C　)
A．35° B．45°
C．55° D．65°
8．如圖，在⊙O中，OC⊥AB于點D，點E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，則半徑OB等于(　D　)
A．2 B．
C．2 D．
9．如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四個點，AB＝BC，BD交AC于點E，連接CD，AD．求證：DB平分∠ADC．
證明：∵AB＝BC，
∴＝．
∴∠ADB＝∠BDC．
∴DB平分∠ADC．
知識點四　圓內接四邊形的性質
10．如圖，點B，C，D在⊙O上．若∠BCD＝130°，則∠BOD的度數是(　D　)
A．50° B．60°
C．80° D．100°
11．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形．若∠C＝∠D，則AB與CD的位置關系是 AB∥CD ．
12.如圖，在⊙O中，AB是直徑，點C，D，E在圓上，AC＝2，AD＝6，AE＝8，AB＝10．下列結論：①＝；②＝；③＝；④＝．其中，正確的結論有(　B　)
A．4個 B．3個
C．2個 D．1個
13．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝30°，則CD的長為(　D　)
A． B．
C．2 D．2
14．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠B＝90°，∠BCD＝120°．若AB＝2，CD＝1，則AD的長為(　C　)
A．2－2　B．3－　C．4－　D．2
15．如圖，△ABC的頂點在⊙O上．若∠ABC＝45°，AC＝，則⊙O的半徑是 1 ．
16．如圖，AB為⊙O的直徑，半徑OC∥弦BD，判斷與是否相等，并說明理由．
解：相等．理由如下：
如圖，連接OD．
∵OC∥BD，
∴∠AOC＝∠B，∠COD＝∠D．
∵OB＝OD，
∴∠D＝∠B．
∴∠AOC＝∠COD．
∴＝．
17．如圖，⊙C經過坐標原點，且與兩坐標軸分別交于點A，B，點A的坐標為(0，4)，M是圓上一點，∠BMO＝120°．求⊙C的半徑．
解：∵四邊形ABMO內接于⊙C，
∴∠BAO＋∠BMO＝180°．
∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°．
在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°．
∴AB＝2AO＝8．
∴⊙C的半徑為4．
18．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，且D為邊BC的中點．
(1)求證：△ABC為等邊三角形；
(2)求DE的長．
(1)證明：如圖，連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°．
∵D是BC的中點，
∴AD是BC的垂直平分線．
∴AB＝AC．
又∵AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC．
∴△ABC為等邊三角形．
(2)解：如圖，連接BE．
∵AB是直徑，
∴∠AEB＝90°．
∴BE⊥AC．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AE＝EC，即E為AC的中點．
又∵D是BC的中點，
∴DE是△ABC的中位線．
∴DE＝AB＝×2＝1．
【創新運用】
19．如圖，以AB為直徑的⊙O經過△ABC的頂點C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交⊙O于點D，連接BD．
(1)判斷△BDE的形狀，并證明你的結論；
(2)若AB＝10，BE＝2，求BC的長．
解：(1)△BDE為等腰直角三角形．證明如下：
∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠CBD＋∠EBC，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°．
∴△BDE是等腰直角三角形．
(2)如圖，連接OC，CD，OD，OD交BC于點F．
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，
∴BD＝DC．
∵OB＝OC,
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．
設OF＝t，則DF＝5－t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52－t2＝－(5－t)2，
解得t＝3．∴BF＝4．∴BC＝8．
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