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課時分層訓練(十二)　正多邊形和圓
知識點一　認識正多邊形
1．下面圖形中，是正多邊形的是(　C　)
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
2．如圖，正六邊形的每一個內角都相等，則其中一個內角α的度數是(　B　)
A．240° B．120°
C．60° D．30°
3．若某紀念幣的形狀可近似看為正七邊形，則一個內角的度數為．(不取近似值)
知識點二　與正多邊形有關的計算
4．如圖，圓內接正六邊形ABCDEF的周長為12 cm，則該正六邊形的內切圓半徑為(　A　)
A． cm B．2 cm
C．2 cm D． cm
第4題圖 第5題圖
5．如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，P為 上的一點，則∠APC的度數為(　D　)
A．36° B．60°
C．65° D．72°
6．若正方形的外接圓半徑為2，則其內接圓半徑為(　A　)
A． B．2
C． D．1
7．如圖，在正六邊形ABCDEF中，若對角線AC，BD相交于點M，則的值為 2 ．
第7題圖 　　　第8題圖
8．將一個邊長為1的正八邊形補成如圖所示的正方形，這個正方形的邊長等于 1＋ ．(結果保留根號)
9．如圖，正方形、正六邊形的邊長相等，在同一平面內將兩個多邊形的一邊重合，那么∠α的度數為 30° ．
10．如圖，正五邊形ABCDE和正三角形APQ都內接于⊙O，則的度數為 24° ．
11．已知⊙O的內接正六邊形ABCDEF的半徑是R，求正六邊形的邊長a和面積S．
解：畫示意圖如圖，作半徑OA，OB，過點O作OH⊥AB于點H．
∴∠AOH＝＝30°．
∴AH＝R．
∴a＝2AH＝R．由勾股定理，
可得OH2＝R2－，
∴OH＝R．
∴S＝a·OH×6＝R·R·6＝R2．
知識點三　正多邊形的畫法
12．如圖(1)是我們常見的地磚上的圖案，其中包含了一種特殊的平面圖形——正八邊形．如圖(2)，AE是⊙O的直徑，請你用直尺和圓規作⊙O的內接正八邊形ABCDEFGH．(不寫作法，保留作圖痕跡)
(1)
　
(2)
第12題圖
解：如圖所示，正八邊形ABCDEFGH即為所求．
13．如圖，已知半徑為R的⊙O，用多種工具、多種方法作出圓內接正三角形．
　
　
解：如圖所示．
(方法一) (方法二)
(方法三) (方法四)
方法一：①用量角器畫圓心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；
②連接AB，BC，CA，則△ABC為圓內接正三角形．
方法二：①用量角器畫圓心角∠BOC＝120°；
②在⊙O上用圓規截取 ＝＝；
③連接AC，BC，AB，則△ABC為圓內接正三角形．
方法三：①作直徑AD；
②以點D為圓心，以OA長為半徑畫弧，交⊙O于點B，C；
③連接AB，BC，CA，則△ABC為圓內接正三角形．
方法四：①作直徑AE；
②作半徑OE的垂直平分線MN，交⊙O于點B，C；
③連接AB，BC，CA，則△ABC為圓內接正三角形．
14．如圖，在圓內接正六邊形ABCDEF中，BD，EC交于點G，已知半徑為3，則EG的長為(　C　)
A． B．3
C．2 D．6
15．如圖，點O是正方形AB′C′D′和正五邊形ABCDE的中心，連接AD，CD′交于點P，則∠APD′的度數為(　B　)
A．72° B．81°
C．76° D．80°
16．如圖，邊長為6的正方形ABCD內接于⊙O，E是 上的一動點(不與點A，B重合)，F是 上的一點，連接OE，OF，分別與AB，BC交于點G，H，且∠EOF＝90°．有以下結論：
①OG＝OH；
②△GBH周長的最小值為6＋2；
③隨著點E位置的變化，四邊形OGBH的面積始終為9．
其中，正確的是 ①③ ．(填序號)
17．如圖，⊙O是正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的外接圓．
(1)正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的邊長之比為 ∶1 ．
(2)若連接BE，則BE是否為⊙O的內接正n邊形的一邊？如果是，求出n的值；如果不是，請說明理由．
解：(1)設⊙O的半徑為R，
則它的內接正方形的邊長為R，
它的內接正六邊形的邊長為R，
內接正方形和內接正六邊形的邊長之比為R∶R＝∶1．
故答案為∶1．
(2)BE是⊙O的內接正十二邊形的一邊．理由如下：
如圖，連接OA，OB，OE，BE．
在正方形ABCD中，∠AOB＝90°．
在正六邊形AEFCGH中，∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝30°．
∵n＝＝12，
∴BE是⊙O的內接正十二邊形的一邊．
18．如圖，在正方形ABCD內有一折線段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE＝3，EF＝4，FC＝5，求正方形ABCD的外接圓的半徑．
解：如圖，連接AC，則AC是該圓的直徑，延長AE交⊙O于點G，連接CG，則∠AGC＝90°．
∵AE⊥EF，EF⊥FC，
∴四邊形EFCG是矩形．
∴EG＝FC＝5，CG＝EF＝4．
∴AG＝8．
由勾股定理，得AC＝＝4，
∴正方形外接圓的半徑為2．
【創新運用】
19．如圖，在圖(1)，(2)，(3)，…，(n)中，M，N分別是⊙O的內接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形的邊AB，BC上的點，且BM＝CN，連接OM，ON．
(1)求圖(1)中∠MON的度數；
(2)圖(2)中∠MON的度數是 90° ，圖(3)中∠MON的度數是 72° ；
(3)試探究∠MON的度數與正n邊形邊數n的關系．(直接寫出答案)
(1)　　　(2)　　　 (3)　　　　(n)
第19題圖
解：(1)如圖，連接OB，OC．
∵正三角形ABC內接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°．
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN(SAS)．
∴∠BOM＝∠CON．
∴∠MON＝∠BOC＝120°．
(3)∠MON＝．
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