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四川省資陽市雁江區保和中學2024-2025學年九年級上學期期末考試數學試卷
一、單選題
1．若二次根式有意義，則x的值可以是（ ）
A． B．2 C．4 D．6
2．下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．方程的根的情況為（ ）
A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根 C．有一個實數根 D．沒有實數根
4．如圖，點P在的邊上，若只添加一個條件，就可以判定，則添加的條件可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在中，是斜邊上的中線，已知，，則的值是（ ）．

A． B． C． D．
6．下列關于隨機事件發生的頻率和概率，說法正確的是（ ）
A．頻率就是概率
B．隨著試驗次數的增加，頻率一般會逐步穩定在概率值附近
C．試驗得到的頻率一定會等于概率
D．在相同的條件下進行試驗，如果試驗次數相同，則各試驗小組所得頻率的值也會相同
7．圭表是度量日影長度的一種天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成，垂直于地面的直桿叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以測量影長的標尺叫“圭”，如圖是小明根據所在城市設計的圭表示意圖，其中冬至時正午陽光入射角，夏至時正午陽光入射角．已知“表”高，則“圭”上所刻冬至線與夏至線之間的距離為（ ）
A． B．
C． D．
8．已知關于x的方程的兩個實數根，，若，則m的值為（ ）
A． B．1 C．或1 D．或3
9．已知x，y為實數，且，則的化簡結果為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖所示，已知四邊形是矩形，延長到點E，使，連接．點F為的中點，分別連接，，交于點G．觀察下列結論：①；②；③；④其中正確的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
11．函數的自變量x的取值范圍為 ．
12．若，則 ．
13．互聯網的進步，改變著人們的生活方式，購物支付也有著巨大變化．在一次購物中，小明和小紅都想從微信、支付寶、云閃付三種支付方式中選一種方式進行支付，則兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為 ．
14．如圖，有一斜坡，坡頂離地面的高的長為，斜坡的坡度為，現有一輛小車從A點以的速度沿爬坡，則當爬到坡頂B處時，需要時間為 ．
15．如圖，在中，平分，D是的中點，，，，則的長為 ．
16．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形的邊在x軸上，在y軸上且，線段，的長分別是方程的兩個根（），P、Q分別為、上兩點，，將翻折，使點O落在邊上的點D處，則 ．
三、解答題
17．（1）計算：
（2）解方程：
18．先化簡后求值：，其中．
19．如圖，的頂點坐標分別為，，．
(1)作出與關于x軸對稱的；
(2)以原點O為位似中心，在原點另一側畫出，使得．
(3)的面積為_______．
20．某校進行九年級體能測試，測試后，將學生的體能成績分為A，B，C，D四個等級，并將結果繪制成如圖所示的兩幅不完整統計圖．
請你根據統計圖信息，回答下列問題：
(1)參加體能測試的學生共有______名；在扇形統計圖中，表示“C等級”的扇形的圓心角的度數為______；圖中m的值為______．
(2)補全條形統計圖；
(3)等級為C的學生有4名來自九年級1班，這4名學生中有兩名是女生．王老師準備從這4名學生中隨機選出2名學生，請用樹狀圖或列表格的方法求出所選的學生恰好是一男一女的概率．
21．如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD上的點，點F在邊CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD．

（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若AB＝4，延長EF交BC的延長線于點G，求 CG的長．
22．某運動品牌銷售一款運動鞋，已知每雙運動鞋的成本價為60元，當售價為100元時，平均每天能售出200雙；經過一段時間銷售發現，平均每天售出的運動鞋數量y（雙）與降低價格x（元）之間存在如圖所示的函數關系．
(1)求出y與x的函數關系式；
(2)公司希望平均每天獲得的利潤達到8910元，且優惠力度最大，則每雙運動鞋的售價應該定為多少？
(3)為了保證每雙運動鞋的利潤不低于成本價的50%，公司每天能否獲得9000元的利潤？若能，求出定價；若不能，請說明理由．
23．隨著科技的發展，無人機已廣泛應用于生產生活，如代替人們在高空測量距離和高度．圓圓要測量教學樓的高度，借助無人機設計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學樓底部米的C處，遙控無人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．

(1)求教學樓的高度．
(2)若無人機保持現有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續向前勻速飛行，求經過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線．
24．（1）問題發現：
如圖1，在和中，，，，連接，交于點M．填空：①的值為_____________；②的度數為_____________．
（2）類比探究：如圖2，在和中，，，，連接交的延長線于點M．請求出的值及的度數，并說明理由；
（3）拓展延伸：在（2）的條件下，將繞點О在平面內旋轉，、所在直線交于點M，若，，請直接寫出當點C與點M重合時的長．
參考答案
1．D
解：∵二次根式有意義，
∴，
解得：，
∴的值可以是．
故選：D．
2．C
解：A、不是同類二次根式，不能進行加法運算，故該選項不符合題意；
B、，故該選項不符合題意；
C、，故該選項符合題意；
D、，故該選項不符合題意；
故選：C．
3．D
解：∵方程中，，
∴方程沒有實數根．
故選：D．
4．D
解：在，中，
，不是夾角的兩邊對應成比例，不能判定，故選項A錯誤；
，即：，不是夾角的兩邊對應成比例，不能判定，故選項B錯誤；
，不是夾角的兩邊對應成比例，不能判定，故選項C錯誤；
，即，兩邊對應成比例,且夾角相等的兩個三角形相似，故能判定，故選項D正確；
故選D．
5．C
解：∵在中，是斜邊上的中線，，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
6．B
解：選項A：頻率是實際試驗中事件發生的次數與總次數的比值，而概率是理論上的預期值，兩者概念不同，故A錯誤。
選項B：在大量重復試驗中，隨著試驗次數的增加，頻率會逐漸接近并穩定在概率附近，這是大數定律的體現，故B正確。
選項C：頻率是試驗結果，可能接近但不一定等于概率，故C錯誤。
選項D：即使試驗次數相同，不同小組的試驗結果可能存在隨機性差異，導致頻率不同，故D錯誤。
綜上，正確答案為B。
故選：B．
7．B
解：在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴．
故選：B．
8．A
解：∵是方程的兩實數根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍）或；
故選A．
9．B
解：∵，
∴，
解得：；
∴，
∴
；
故選：B
10．D
解：連接，設的交點為，
∵，F為的中點，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；故①正確；
過作，
在中：，
在中：，
∵，
∴，
∵，
∴；故②正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；故③正確；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴平分，
∴點到的距離相等，
∴
∵，
∴；故④正確；
綜上所述：①②③④正確.
故選：D．
11．
解：由題意得：，
解得：．
故答案為：．
12．
解：∵
∴
∴
∴
∴．
故答案為：．
13．
解：根據題意畫圖如下：
共有9種等可能的結果，其中兩人恰好選擇同一支付方式的有3種，
所以兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為．
故答案為：．
14．20
解：∵，斜坡的坡度為，坡頂離地面的高的長為，
∴，
∴，
∴，
∵小車從A點以的速度沿爬坡
∴當爬到坡頂B處時，需要時間為．
故答案為：20．
15．2
解：如圖所示，延長、交于點，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
點是的中點，
是的中位線，
．
故答案為：2．
16．/0.5
解：
得，．
，
，，
連接，
，，
四邊形為平行四邊形．
，
四邊形為矩形，
，，
，
∴，
由翻折，使點落在上的點D處，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴．
17．（1）；（2），
（1）
；
（2）
，，
解得，．
18．，
解：
，
當時，原式．
19．(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
(3)10
（1）解：如圖所示：，即為所求；
（2）解：如圖所示：，即為所求；
（3）解：的面積為．
20．(1)；；
(2)見解析
(3)
（1）解：參加體能測試的學生共有：（名）；
表示“C等級”的扇形的圓心角的度數為：；
∴；
故答案為：；，；
（2）解：等級的人數為：（人）
補全條形統計圖如下：
（3）解：畫出樹狀圖如下：
一共有種等可能的情況，恰好是一男一女的情況有種，
∴恰好是一男一女的概率是：．
21．（1）見解析；（2）CG＝6．
（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∵∠BEF＝90°，
∴∠DEF+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，
∴DF＝1，CF＝3，
∵△ABE∽△DEF，
∴，即，
解得：DE＝2，
∵AD∥BC，
∴△EDF∽△GCF，
∴，即，
∴CG＝6．
22．(1)y與x的函數關系式為y=10x＋200；
(2)當每雙運動鞋的售價為87元時，企業每天獲得的銷售利潤達到8910元并且優惠力度最大.
(3)降價10元時，公司每天能獲得9000元的利潤，且每雙運動鞋的利潤不低于成本價的50%.
（1）解：設y與x的函數關系式為y＝kx＋b (k≠0)，
由圖可知其函數圖象經過點（0 , 200）和（10 , 300），
將其代入y=kx+b 得
解得
∴ y與x的函數關系式為y=10x＋200；
（2）解：由題意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910，
整理得 x2－20x＋91＝0，
解得：x1＝7, x2＝13；
當x＝7時，售價為100－7＝93（元），
當x＝13時，售價為100－13＝87（元），
∵優惠力度最大，
∴取x＝13，
答：當每雙運動鞋的售價為87元時，企業每天獲得的銷售利潤達到8910元并且優惠力度最大；
（3）解：公司每天能獲得9000元的利潤，理由如下：
∵要保證每雙運動鞋的利潤率不低于成本價的50%，
∴100－60－x ≥ 60×50%,
解得：x≤10；
依題意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000，
整理得 x2－20x＋100＝0，
解得：x1＝x2＝10；
∴降價10元時，公司每天能獲得9000元的利潤，且每雙運動鞋的利潤不低于成本價的50%.
23．(1)教學樓的高度為米
(2)無人機剛好離開視線的時間為12秒
（1）解：過點B作于點G，
根據題意可得：，米，，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵長為米，
∴（米），
答：教學樓的高度為米．
（2）解：連接并延長，交于點H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵無人機以米/秒的速度飛行，
∴離開視線的時間為：（秒），
答：無人機剛好離開視線的時間為12秒．

24．（1）①1；②
（2）；
（3）或
（1）①
，
；
②
在中
（2），
理由是：中
，
同理得：
，
在中
．
（3）①點C與點M重合時，如圖，同（2）得:
，
設，則
在中，，
，
中，，
在中，由勾股定理得：
整理得：
，
；
②點C與點M重合時，如圖，同理得： ，
設，則
在中，由勾股定理得：
整理得
，
綜上所述，的長為或．

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