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專項(xiàng)突破提升(二)　規(guī)律探究的常見(jiàn)類型
(時(shí)間：90分鐘　滿分：110分)
類型一　數(shù)字規(guī)律探究
1．(4分)按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：2a，－4a，8a，－16a，32a，…，則第n個(gè)單項(xiàng)式是(　D　)
A．2na B．(－2)na
C．－2na D．－(－2)na
2．(4分)觀察下列等式：
70＝1；
71＝7；
72＝49；
73＝343；
74＝2 401；
75＝16 807；
……
根據(jù)其中的規(guī)律可得72 024的個(gè)位數(shù)字是(　D　)
A．9 B．7 C．3 D．1
3．(4分)如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧谏渚€上寫(xiě)出數(shù)1，2，3，4，5，6，7，…，則數(shù)“2 024”在(　B　)
A．射線OA上 B．射線OB上
C．射線OC上 D．射線OF上
4．(4分)如圖，觀察“田”字中各數(shù)之間的關(guān)系，可知c的值為 270 ．
類型二　數(shù)字循環(huán)類規(guī)律探究
5．(4分)數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，…叫作三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性．若把第一個(gè)三角形數(shù)記為a1，第二個(gè)三角形數(shù)記為a2……第n個(gè)三角形數(shù)記為an，推算a6＋a7＝ 49 ；a399＋a400＝ 160 000 ．
6．(4分)已知下列按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：3，5，9，17，…，用含字母n(n為正整數(shù))的代數(shù)式表示第n個(gè)數(shù)為 2n＋1 ．
7．(4分)觀察下列等式：
21＝2；22＝4；
23＝8；24＝16；
25＝32；26＝64；
……
根據(jù)這個(gè)規(guī)律，21＋22＋23＋24＋25＋…＋22 024的末尾數(shù)字是 0 ．
類型三　數(shù)式規(guī)律探索
8．(4分)將一些數(shù)按如下規(guī)律排列：
　　　　第一列 第二列 第三列 第四列 第五列　……
第一行 　　1
第二行　　 4　　　7
第三行　　10　　 13　　 16
第四行　　19　　 22　　 25　　 28
第五行　　 31　　 34　　 37　　 40　　43
……
則第20行第8列的數(shù)為(　D　)
A．568 B．574 C．586 D．592
9．(4分)“楊輝三角形”是古代重要的數(shù)學(xué)成就．如圖是三角形數(shù)陣，記an為圖中第n行各個(gè)數(shù)之和，則a5＋a11的值為(　D　)
1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　6　4　1
1　5　10　10　5　1
……
A．528 B．1 020 C．1 038 D．1 040
10．(4分)將從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：
第1行　　　　　　　1
第2行　　 　　　2　3　4
第3行　　　　9　8　7　6　5
第4行　　 10 11 12 13 14 15 16
第5行　25 24 23 22 21 20 19 18 17
……
則第46行左起第3個(gè)數(shù)是 2 028 ．
類型四　等式規(guī)律探究
11．(10分)觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：
2×4－12＋1＝8；
3×5－22＋1＝12；
4×6－32＋1＝16；
5×7－42＋1＝20；
……
利用等式的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
(1)若等式8×10－a2＋1＝b(a，b都為自然數(shù))具有以上規(guī)律，則a＝ 7 ，a＋b＝ 39 ；
(2)寫(xiě)出第n個(gè)等式．(用含n的代數(shù)式表示)
解：(1)因?yàn)?×4－12＋1＝8；
3×5－22＋1＝12；
4×6－32＋1＝16；
5×7－42＋1＝20；
……
所以第7個(gè)等式為8×10－72＋1＝4×(7＋1)＝32，
所以a＝7，b＝32.
所以a＋b＝7＋32＝39.
故答案為7；39.
(2)由已知等式的規(guī)律可知，第n個(gè)等式為(n＋1)(n＋3)－n2＋1＝4(n＋1)．
12．(12分)觀察下列等式：
①1×4－22＝0；
②2×5－32＝1；
③3×6－42＝2；
……
根據(jù)上述式子的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
(1)第④個(gè)等式為 4×7－52＝3 ；
(2)寫(xiě)出第n個(gè)等式．(不化簡(jiǎn))
解：(2)由已知等式的規(guī)律可知，
第n個(gè)等式為n(n＋3)－(n＋1)2.
13．(12分)觀察下列等式：
－1×＝－1＋；
－＝－；
－＝－；
……
(1)你能探索出什么規(guī)律？(用文字或表達(dá)式)
(2)試運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：
＋…＋－＋－．
解：(1)－＝－.
(2)根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得，
原式＝－1＋＋…＋
＝－1＋
＝－.
14．(12分)觀察下列等式：
12×231＝132×21；
13×341＝143×31；
23×352＝253×32；
34×473＝374×43；
62×286＝682×26；
……
以上每個(gè)等式中兩邊數(shù)字是分別對(duì)稱的，且每個(gè)等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字間具有相同規(guī)律，我們稱這類等式為“數(shù)字對(duì)稱等式”．
(1)根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子成為“數(shù)字對(duì)稱等式”：
①52× 275 ＝ 572 ×25；
② 63 ×396＝693× 36 ．
(2)設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，且2≤a＋b≤9，寫(xiě)出表示“數(shù)字對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式子(含a，b)，并驗(yàn)證．
解：(1)①因?yàn)?＋2＝7，
所以左邊的三位數(shù)是275，右邊的三位數(shù)是572.
所以52×275＝572×25.
②因?yàn)樽筮叺娜粩?shù)是396，
所以左邊的兩位數(shù)是63，右邊的兩位數(shù)是36.
63×396＝693×36.
故答案為①275；572.②63；36.
(2)因?yàn)樽筮厓晌粩?shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，
所以左邊的兩位數(shù)是10a＋b，三位數(shù)是100b＋10(a＋b)＋a，
右邊的兩位數(shù)是10b＋a，三位數(shù)是100a＋10(a＋b)＋b.
所以一般規(guī)律的式子為(10a＋b)·[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]·(10b＋a)．
驗(yàn)證：左邊＝(10a＋b)·[100b＋10(a＋b)＋a]
＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)
＝(10a＋b)(110b＋11a)
＝11(10a＋b)(10b＋a)，
右邊＝[100a＋10(a＋b)＋b]·(10b＋a)
＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)
＝(110a＋11b)(10b＋a)
＝11(10a＋b)(10b＋a)，
所以左邊＝右邊．
類型五　圖形累加型變化規(guī)律
15．(4分)某傳統(tǒng)建筑的窗戶上常有一些精致花紋，小辰對(duì)傳統(tǒng)建筑非常感興趣，他觀察發(fā)現(xiàn)窗格的花紋排列呈現(xiàn)一定的規(guī)律．如圖，其中“”代表的就是精致的花紋，第1個(gè)圖有5個(gè)花紋，第2個(gè)圖有8個(gè)花紋，第3個(gè)圖有11個(gè)花紋……則第7個(gè)圖的精致花紋的個(gè)數(shù)為(　B　)
A．26 B．23 C．20 D．17
16．(4分)如圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第3個(gè)圖案由10個(gè)基礎(chǔ)圖形組成……按此規(guī)律排列下去，則第n個(gè)圖案中基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)為 3n＋1 ．(用含n的代數(shù)式表示)
17．(4分)如圖，每個(gè)圖形均由邊長(zhǎng)相等的灰、白兩色正方形按規(guī)律拼接而成，照此規(guī)律，第n個(gè)圖形中白色正方形比灰色正方形多 (4n＋3) 個(gè)．(用含n的代數(shù)式表示)
18．(4分)如圖，在銳角∠AOB內(nèi)部，畫(huà)1條射線，可得 3 個(gè)銳角；畫(huà)2條不同的射線，可得 6 個(gè)銳角；畫(huà)3條不同的射線，可得 10 個(gè)銳角……照此規(guī)律，畫(huà)n條不同的射線，可得 個(gè)銳角．
19．(4分)如圖，下面是按照一定規(guī)律畫(huà)出的“樹(shù)形圖”，經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖A2比圖A1多出2個(gè)“樹(shù)枝”，圖A3比圖A2多出4個(gè)“樹(shù)枝”，圖A4比圖A3多出8個(gè)“樹(shù)枝”……照此規(guī)律，圖A6比圖A2多出 60 個(gè)“樹(shù)枝”．
20．(4分)如圖，用小木棍擺成第1個(gè)圖形所需要的小木棍的根數(shù)是4，擺成第2個(gè)圖形所需要的小木棍的根數(shù)是12，擺成第3個(gè)圖形所需要的小木棍的根數(shù)是24，按照此類圖形的結(jié)構(gòu)規(guī)律，擺成第4個(gè)圖形所需要的小木棍的根數(shù)是 40 ，擺成第n個(gè)圖形所需要的小木棍的根數(shù)是 2n2＋2n ．(用含n的代數(shù)式表示，結(jié)果可以不化簡(jiǎn))
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