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專項突破提升(三)　線段與角度計算中的思想方法
(時間：90分鐘　滿分：140分)
類型一　利用逐段計算法求線段長
1．(4分)若已知線段AB的長為2 cm，延長線段AB到點C，使AC＝3AB，再反向延長線段AB到點D，使BD＝2BC，則線段CD的長度為 12 cm.
2．(8分)如圖，已知線段AB＝12 cm，M是AB的中點，點N在AB上，NB＝2 cm，求線段MN的長．
解：因為AB＝12 cm，M是線段AB的中點，
所以BM＝AB＝6 cm.
又因為NB＝2 cm，
所以MN＝BM－NB＝6－2＝4(cm)．
類型二　利用方程思想計算線段長
3．(4分)如圖，已知點B，C把線段AD分成2∶5∶3三部分，若E為AD的中點，CE＝6，則BE的長是 9 ．
4．(10分)如圖，線段AB＝24，動點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為AP的中點．設點P的運動時間為x s.
(1) 6 s后，PB＝2AM；
(2)當點P在線段AB上運動時，試說明2BM－PB為定值；
(3)當點P在線段AB的延長線上運動時，N為BP的中點，求MN的長度．
解：(1)因為M為AP的中點，
所以AM＝AP＝x，
PB＝AB－AP＝24－2x.
因為PB＝2AM，
所以24－2x＝2x，
解得x＝6，
即6 s后，PB＝2AM.
故答案為6.
(2)易知AM＝x，BM＝24－x，PB＝24－2x，
所以2BM－PB＝2(24－x)－(24－2x)＝24，
即2BM－PB為定值24.
(3)當點P在線段AB的延長線上運動時，
易知PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x－24.
因為N為BP的中點，
所以PN＝PB＝x－12.
所以MN＝PM－PN＝x－(x－12)＝12.
類型三　利用分類討論思想求線段長
5．(4分)已知C是線段AB的三等分點，E是線段BC的中點．若CE＝6，則AB的長為(　A　)
A．18或36 B．18或24　
C．24或36 D．24或48
6．(4分)已知線段AB＝5，點C在直線AB上，AC＝2，則BC的長為(　C　)
A．3 B．7
C．3或7 D．5或7
類型四　利用整體思想求線段長
7．(12分)(1)如圖，已知點C在線段AB上，線段AC＝10，BC＝6，M，N分別是AC，BC的中點，求MN的長度．
(2)根據(1)的計算過程與結果，設AC＋BC＝a，其他條件不變，你能猜想出MN的長度嗎？請用一句簡潔的語言表達你發現的規律．
(3)若把(1)中的“點C在線段AB上”改為“點C在直線AB上”，結論又如何？
解：(1)因為M，N分別是AC，BC的中點，
所以CM＝AC＝5，CN＝BC＝3.
所以MN＝CM＋CN＝5＋3＝8.
(2)MN的長度為a.
規律：同(1)可得CM＝AC，CN＝BC，
所以MN＝CM＋CN＝AC＋BC＝(AC＋BC)＝a，
即MN的長度等于AC與BC長度和的一半．
(3)①當點C在線段AB上時，則MN＝AC＋BC＝5＋3＝8.
②當點C在線段AB的延長線上時，則MN＝AC－BC＝5－3＝2.
類型五　利用“化動為靜法”求線段長
8．(4分)在數軸上點A對應的數為－2，B是數軸上的一個動點，當動點B到原點O的距離與到點A的距離之和為6時，則點B對應的數為 －4或2 ．
9．(12分)如圖，A，B兩點在數軸上，點A對應的數為－10，OB＝4OA，點M以每秒2個單位長度的速度從點A開始向左運動，點N以每秒3個單位長度的速度從點B開始向左運動．(點M和點N同時出發)
(1)數軸上點B對應的數是 40 ；線段AB的中點C對應的數是 15 ．
(2)經過幾秒，點M，N到原點的距離相等．
(3)當點M運動到什么位置時，點M與點N相距20個單位長度？
解：(1)因為點A對應的數為－10，
所以OA＝10.
因為OB＝4OA，所以OB＝40.
所以數軸上點B對應的數是40，線段AB的中點C對應的數是15.
故答案為40；15.
(2)設經過x s，點M，N對應的數分別為－10－2x，40－3x.
根據題意可知，分兩種情況：
①如圖，當點M，N在點O兩側時，
則10＋2x＝40－3x，解得x＝6.
②如圖，當點M，N在點O左側且重合時，
則10＋2x＝3x－40，
解得x＝50.
綜上，經過6 s或50 s，點M，N到原點的距離相等．
(3)設經過y s，則點M，N對應的數分別為－10－2y，40－3y，
①當點M在點N的左側時，
則40－3y－(－10－2y)＝20，
解得y＝30.
此時點M，N對應的數分別為－70，－50，符合題意．
②當點N在點M的左側時，
則－10－2y－(40－3y)＝20，
解得y＝70.
此時點M，N對應的數分別為－150，－170，符合題意．
所以當點M運動到－70或－150的位置時，點M與點N相距20個單位長度．
類型六　利用和差倍分關系求角度
10．(4分)如圖，∠AOB＝90°，OA平分∠COD，OE平分∠BOD.若∠BOE＝23°，則∠BOC的度數是(　B　)
A．113° B．134°
C．136° D．144°
11．(4分)如圖，已知OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON＝50°，∠BOC＝10°，則∠AOD＝ 90° ．(填度數)
類型七　利用方程思想求角度
12．(4分)如圖，已知OM，OA，ON是∠BOC內的三條射線，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，且∠AOB＋∠MON＝120°，則∠MON＝ 40° ．(填度數)
13．(8分)如圖，已知OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，如果∠AOE＝140°，∠BOC比∠COD的2倍還多10°，那么∠AOB的度數是多少？
解：設∠COD的度數為x，
因為OD是∠COE的平分線，
所以∠COE＝2∠COD＝2x.
因為∠BOC比∠COD的2倍還多10°，
所以∠BOC＝2x＋10°.
因為OB是∠AOC的平分線，
所以∠AOB＝∠BOC，∠AOC＝2∠BOC＝4x＋20°.
因為∠AOE＝140°，
所以2x＋4x＋20°＝140°，
解得x＝20°.
所以∠BOC＝2x＋10°＝50°.
所以∠AOB是50°.
14．(12分)如圖，已知∠AOB＝90°，射線OC繞點O從OA的位置開始，以每秒4°的速度按順時針方向旋轉；同時，射線OD繞點O從OB的位置開始，以每秒1°的速度按逆時針方向旋轉．當OC與OA成180°時，OC與OD同時停止旋轉．
(1)當OC旋轉10 s時，∠COD＝ 40° ；(填度數)
(2)當OC與OD的夾角是30°時，求旋轉的時間；
(3)當OB平分∠COD時，求旋轉的時間．
解：(1)當OC旋轉10 s時，
因為射線OC繞點O從OA的位置開始，以每秒4°的速度按順時針方向旋轉，
所以∠AOC＝(4×10)°＝40°.
因為射線OD繞點O從OB的位置開始，以每秒1°的速度按逆時針方向旋轉，
所以∠BOD＝(1×10)°＝10°.
所以∠COD＝90°－40°－10°＝40°.
故答案為40°.
(2)設轉動t s時，OC與OD的夾角是30°.
①如圖1，當OC在∠AOB的內部時，
由題意，得4t＋t＝90－30，解得t＝12.
圖1
②如圖2，當OC在∠AOB的外部時，
由題意，得4t＋t＝90＋30，解得t＝24.
圖2
綜上，旋轉的時間是12 s或24 s.
(3)如圖3，設轉動m s時，OB平分∠COD，
圖3
由題意，得4m－90＝m，
解得m＝30.
所以旋轉的時間是30 s．
類型八　巧用整體思想求角度
15．(12分)如圖，OC是∠AOB內部的一條射線，且OM，ON分別平分∠AOC與∠BOC.
(1)若∠AOC＝120°，∠BOC＝30°，求∠MON的大小；
(2)若∠AOC＝α，∠BOC＝β，試用含α，β的代數式表示∠MON，并直接寫出∠AOB與∠MON的數量關系．
解：因為OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC，
所以∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC．
(1)因為∠AOC＝120°，∠BOC＝30°，
所以∠MON＝∠COM＋∠CON＝×120°＋×30°＝75°.
(2)因為∠AOC＝α，∠BOC＝β，
所以∠MON＝∠COM＋∠CON＝(α＋β)＝(∠AOC＋∠BOC)＝∠AOB.
所以∠MON＝(α＋β)，∠AOB＝2∠MON.
16．(12分)將一副三角尺中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖所示的方式疊放在一起．
(1)若∠DCE＝35°，則∠ACB的度數為 145° ；
(2)若∠ACB＝144°42′，則∠DCE的度數為 35°18′ ；(寫成度、分、秒的形式)
(3)猜想∠ACB與∠DCE的大小關系，并說明理由．
解：(3)∠ACB與∠DCE互補．理由如下：
因為∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
所以∠ACE＋∠DCE＋∠DCB＋∠DCE＝180°.
因為∠ACE＋∠DCE＋∠DCB＝∠ACB，
所以∠ACB＋∠DCE＝180°，
即∠ACB與∠DCE互補．
類型九　利用分類討論思想求角度
17．(10分)已知∠AOB＝30°，自∠AOB的頂點O引射線OC，同時使∠AOC∶∠AOB＝4∶3，求∠BOC的度數．
解：因為∠AOB＝30°，∠AOC∶∠AOB＝4∶3，
所以∠AOC＝40°.
當OB在∠AOC的外部時，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝40°＋30°＝70°；
當OB在∠AOC的內部時，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝40°－30°＝10°.
綜上，∠BOC的度數為70°或10°.
18．(12分)已知∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，求∠EOF的度數．
解：分兩種情況：①如圖1，當OC在∠AOB外部時，
圖1
因為∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，
OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，
所以∠AOE＝∠AOB＝30°，
∠AOF＝∠AOC＝20°，
所以∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝50°.
②如圖2，當OC在∠AOB內部時，
圖2
因為∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，
OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，
所以∠AOE＝∠AOB＝30°，
∠AOF＝∠AOC＝20°，
所以∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝30°－20°＝10°.
綜上，∠EOF的度數為50°或10°.
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