資源簡介

思想方法集錦
(時間：90分鐘　滿分：110分)
方法一　整體法
1．(4分)閱讀材料：整體代入法是數學中常用的方法．例如，已知3a－b＝2，求代數式6a－2b－1的值．可以這樣解：6a－2b－1＝2(3a－b)－1＝2×2－1＝3.根據上述材料，解決問題：若x＝2是關于x的一元一次方程ax＋b＝3的解，則代數式8a＋4b－2的值是(　D　)
A．4 B．6 C．8 D．10
2．(4分)把(2a＋b)看作一個整體，則3(2a＋b)－4(2a＋b)＋(2a＋b)的化簡結果是(　D　)
A．(2a＋b) B．2(2a＋b)
C．－(2a＋b) D．0
3．(10分)理解與思考：整體代換是數學的一種思想方法．
例如，若x2＋x＝0，求x2＋x＋2 024的值．
我們將x2＋x作為一個整體代入，則原式＝0＋2 024＝2 024.
仿照上面的解題方法，解答下列問題：
(1)如果a＋b＝3，求2(a＋b)－4a－4b＋21的值；
(2)若a2＋2ab＝20，b2＋2ab＝8，求a2＋2b2＋6ab的值；
(3)當x＝2 025時，代數式ax5＋bx3＋cx－5的值為m，求當x＝－2 025時，代數式ax5＋bx3＋cx－5的值．
解：(1)因為a＋b＝3，
所以2(a＋b)－4a－4b＋21
＝2(a＋b)－4(a＋b)＋21
＝2×3－4×3＋21
＝15.
(2)因為a2＋2ab＝20，b2＋2ab＝8，
所以a2＋2b2＋6ab
＝a2＋2ab＋2(b2＋2ab)
＝20＋2×8
＝36.
(3)因為當x＝2 025時，
ax5＋bx3＋cx－5＝2 0255a＋2 0253b＋2 025c－5＝m，
所以當x＝－2 025時，
ax5＋bx3＋cx－5
＝－2 0255a－2 0253b－2 025c－5
＝－(m＋5)－5
＝－m－10.
方法二　分類討論法
4．(8分)“分類討論”是我們在解決數學問題的過程中常用到的數學思想，請運用分類討論的數學思想解答下列問題：
已知|a|＝2，|b|＝8，且ab＜0，求a－b的值．
解：因為|a|＝2，|b|＝8，
所以a＝±2，b＝±8.
因為ab＜0，
所以a＝2，b＝－8或a＝－2，b＝8.
所以a－b＝10或－10.
5．(12分)【問題提出】已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC(∠BOC＜50°)，求∠BOC的度數．
【問題思考】聰明的小明用分類討論的方法解決．
(1)當射線OC在∠AOB的內部時，
①若射線OD在∠AOC內部，如圖1，則∠BOC＝ 16.1° ；(填度數)
②若射線OD在∠AOB外部，如圖2，請你求出∠BOC的度數．
【問題延伸】
(2)當射線OC在∠AOB的外部時，請你畫出圖形，并求∠BOC的度數．
解：(1)②設∠BOC＝α，則∠BOD＝3α，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝2α.
因為∠AOD＝∠AOC，
所以∠AOD＝∠COD＝α.
所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－α＝80.5°，
解得α＝34.5°.
所以∠BOC＝34.5°.
(2)當射線OC在∠AOB外部時，根據題意，此時射線OC靠近射線OB.
因為∠BOC＜50°，∠AOD＝∠AOC，
所以射線OD的位置也只有兩種可能．
設∠BOC＝α，則∠BOD＝3α.
①當射線OD在∠AOB內部時，如圖1所示．
圖1
因為∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝4α，∠AOD＝∠AOC，
所以∠AOD＝∠COD＝4α.
所以∠AOB＝∠BOD＋∠AOD＝3α＋4α＝7α＝80.5°，
解得α＝11.5°.
所以∠BOC＝11.5°.
②當射線OD在∠AOB外部時，如圖2所示．
圖2
因為∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝4α，∠AOD＝∠AOC，
所以∠AOD＝∠COD＝α.
所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－α＝80.5°，
解得α＝48.3°.
所以∠BOC＝48.3°.
綜上，∠BOC的度數是11.5°或48.3°.
方法三　建模思想
6．(8分)【問題呈現】
某中學的學生以4 km/h的速度步行去某地參加社會公益活動，出發30 min后，學校派一名通信員騎自行車以12 km/h的速度去追趕隊伍，請問通信員用多少分鐘可以追上隊伍．
【自主思考】
相等關系為 隊伍走的路程＝通信員走的路程 ．
【建模解答】(請你完整解答本題)
解：設通信員用x h可以追上隊伍．
由題意，得4(x＋0.5)＝12x，
解得x＝0.25.
0．25×60＝15.
答：通信員用15 min可以追上隊伍．
7．(10分)在代數式的學習中，我們通過對同一面積的不同表達的比較，得到合并同類項的法則．下面我們利用這種方法來研究速算．
【提出問題】 47×43，56×54，89×81，…是一些十位數字相同，且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
【幾何建模】
用長方形的面積表示兩個正數的乘積，以47×43為例：
①畫長為47、寬為43的長方形，如圖，將這個47×43的長方形從右邊切下長為40、寬為3的一條，拼接到原長方形的上面．
②分析：原長方形面積可以有兩種不同的表達方式，47×43的長方形面積或(40＋7＋3)×40的長方形與右上角3×7的長方形面積之和，即47×43＝(40＋10)×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2 021.
【模仿應用】
(1)①請仿照上面的方法用長方形的面積表示56×54的乘積；
②填空：89×81＝ 9 ×8×100＋ 9 × 1 ＝7 209.(或9　1　9)
【歸納提煉】
(2)兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算方法是 十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果 ．(用文字表述)
解：(1)①畫圖如圖．
方法四　方程思想
8．(10分)如圖，C，D為線段AB上兩點，AC＋BD＝10，AD＋BC＝AB，設CD＝t，求方程3x－7(x－1)＝2t－2(x＋3)的解．
解：因為AD＋BC＝AC＋CD＋CD＋BD＝AC＋BD＋2CD，AB＝AC＋CD＋BD，AC＋BD＝10，
所以AB＝10＋CD，AD＋BC＝10＋2CD.
因為AD＋BC＝AB，設CD＝t，
所以10＋2t＝(10＋t)，
解得t＝2.5.
把t＝2.5代入3x－7(x－1)＝2t－2(x＋3)，得3x－7x＋7＝2×2.5－2x－6，
解得x＝4.
方法五　數形結合思想
9．(12分)O為直線AB上一點，將一直角三角尺OMN的直角頂點放在點O處，射線OC平分∠MOB.
(1)如圖1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度數．
(2)在圖1中，若∠AOM＝α，直接寫出∠CON的度數．(用含α的代數式表示)
(3)將圖1中的直角三角尺OMN繞頂點O順時針旋轉至圖2的位置，一邊OM在直線AB上方，另一邊ON在直線AB下方．
①探究∠AOM和∠CON之間的數量關系，寫出你的結論，并說明理由；
②當∠AOC＝3∠BON時，求∠AOM的度數．
解：(1)由已知得∠BOM＝180°－∠AOM＝150°.
因為∠MON＝90°，OC平分∠BOM，
所以∠MOC＝∠BOM.
所以∠CON＝∠MON－∠MOC＝∠MON－∠BOM＝90°－×150°＝15°.
(2)∠CON＝α.
(3)①∠CON＝∠AOM.理由如下：
設∠AOM＝x，則∠BOM＝180°－x.
因為OC平分∠BOM，
所以∠MOC＝∠BOM＝(180°－x)＝90°－x.
因為∠MON＝90°，
所以∠CON＝∠MON－∠MOC＝90°－＝x.
所以∠CON＝∠AOM.
②設∠AOM＝x，由①知，∠MOC＝90°－x.
因為∠BON＝∠MON－∠BOM＝90°－(180°－x)＝x－90°，
所以∠AOC＝∠AOM＋∠MOC＝x＋90°－x＝90°＋x.
因為∠AOC＝3∠BON，
所以90°＋x＝3(x－90°)，
解得x＝144°.
所以∠AOM＝144°.
方法六　轉化思想
10．(4分)把÷轉化為乘法是(　D　)
A．
B．
C．
D．
11．(4分)“轉化”是一種解決問題的常用策略，有時畫圖可以幫助我們找到轉化的方法．例如，借助圖1，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11轉化為62＝36.請你觀察圖2，可以把算式轉化為 1－＝ ．
方法七　從特殊到一般的思想
12．(12分)閱讀材料，解決問題．
我們學習了乘方的定義和意義，根據乘方和乘法兩種運算之間的轉化了解到：23＝2×2×2；24＝2×2×2×2.
觀察上述算式可以得到：23×24＝2×2×2×2×2×2×2＝27，即23×24＝27.
類比上述式子，你能夠得到：
(1)103×105＝ 108 ；
(2)a2·a3＝ a5 ；
利用由特殊到一般的思想，可以得到：
(3)am·an＝ am＋n ；(m，n都是正整數)
我們把類似于am和an這樣的式子叫同底數冪，因此可以得到“同底數冪的乘法”法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
知識運用：
(4)x3·x＝ x4 ；
(5)yn·yn+1＝ y2n+1 ；
(6)已知xa＝8，xb＝9，則xa＋b的值是 72 ．
解：(6)因為xa＝8，xb＝9，
所以xa＋b＝xa xb＝8×9＝72.
故答案為72.
13．(12分)從特殊到一般，是我們學習和認知新事物經常運用的方法．
(1)比較大小：
＜ ＜ ＜ ＜ ；(均填“＞”“＜”或“＝”)
(2)請你根據上面的材料，利用字母a，b，c(a＞b＞0，c＞0)歸納出一個數學關系式．
解：(2)<(a＞b＞0，c＞0)．
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