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2025-2026高中數學人教A版（2019）必修第一冊
第四章 指數函數與對數函數 4.5 函數的應用（二）
一、單選題
1.（2025福建龍巖第一中學月考）函數的零點是（ ）
A. 1
B. (1, 0)
C. (-1, 0)
D. -1或1
2.（2025廣東汕頭潮陽棉城中學月考）函數的零點所在的區間是（ ）
A. (-1, 0)
B. (0, 1)
C. (1, 2)
D. (2, 3)
3.（2024河南鄭州月考）函數的零點所在的區間為（ ）
A. (1, 2)
B. (2, 3)
C. (3, 4)
D. (4, 5)
4.（2025河北保定月考）已知函數，若，則函數的零點個數是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.（2024河北秦皇島期中）二次函數的圖象與軸的兩個交點的橫坐標分別為，，且，則的取值范圍是（ ）
A. 或
B.
C. 或
D.
6.（2025河南新鄉段考）用二分法求方程的一個近似解時，已經將根鎖定在區間(3, 4)內，則下一步可斷定該根所在的區間為（ ）
A. (3, 3.5)
B. (3.5, 4)
C. (2.5, 3)
D. (4, 4.5)
二、多選題
7.（2025山東青島即墨區第一中學月考）已知函數的圖象是一條不間斷的曲線，它的部分函數值如下表，則（ ）
1 2 3 4 5 6
202.301 52.013 10.581 3.273 10.733 -156.314
A. 在區間(2, 3)上不一定單調
B. 在區間(5, 6)內可能存在零點
C. 在區間(5, 6)內一定不存在零點
D. 至少有3個零點
8.（2025黑龍江大慶實驗中學二部期末）下列說法正確的是（ ）
A. 若函數的圖象在上連續不斷，且，則函數在上無零點
B. 函數有且只有1個零點
C. 函數有2個零點
D. 若，則函數有3個零點
9.（2025四川綿陽期末）將甲桶中的10L溶液緩慢注入空桶乙中，經過后甲桶中剩余的溶液量符合指數衰減曲線。假設經過10min后，甲桶和乙桶中的溶液量相同，則下列說法正確的是（ ）
A. 乙桶中的溶液達到8L需要注入的時間約為23.3min（參考數據：）
B. 指數衰減曲線中
C. 經過20min后，甲桶中剩余溶液量為2.5L
D. 經過后，乙桶中溶液量為L
三、填空題
10.（2024遼寧沈陽期末）設，是方程的兩個實根，則________。
11.（2025安徽六安毛坦廠中學月考）已知函數的零點在區間上，則________。
12.（2025湖北新高考聯考協作體月考）用二分法求在區間(0, 1)上的近似解，要求精確度為0.1時，所需二分區間次數最少為________。
四、解答題
13.（2025遼寧撫順期中）已知關于的方程。
（1）若方程有兩根，其中一根在區間(-1, 0)內，另一根在區間(1, 2)內，求實數的取值范圍；
（2）若方程的兩根均在區間(0, 1)內，求實數的取值范圍。
14.（2025寧夏銀川一中月考）已知函數。
（1）求函數的定義域；
（2）判斷的奇偶性；
（3）方程是否有根？如果有根，記為，求出一個長度為的區間，使；如果沒有，請說明理由（注：區間的長度為）。
15.（2025四川蓉城名校聯盟聯考）某環保組織自元旦開始監測某水域中水葫蘆的生長面積變化情況，并測得最初水葫蘆的生長面積為（單位：），此后每月月底測量一次，通過近一年的觀察發現：自元旦起，水葫蘆在該水域里的生長面積增加的速度越來越快，水葫蘆的生長面積（單位：）與時間（單位：月）的關系符合函數模型（）。記元旦最初測量時間的值為0，部分測量數據統計如下：
第月月底 3 6
水葫蘆生長面積 24 64
（1）根據表中數據求出該函數模型的解析式；
（2）求該水域中水葫蘆的生長面積在幾月起是元旦開始研究時其生長面積的240倍以上？（參考數據：，）
一、單選題
1.答案：A
解析：函數零點是使的自變量值（非點坐標），需滿足：
分子為0：或；
分母有意義（真數>0）：；
綜上，（因分母無意義舍去）。
2.答案：C
解析：利用零點存在定理（連續函數，則區間內有零點）：
；
，，故，零點在 。
3.答案：B
解析：是連續遞增函數（和均遞增），利用零點存在定理：
；
；
故，零點在。
4.答案：D
解析：或，分兩段討論：
當時，（，單調遞增）：
（有1解）；
（有1解）；
當時，（單調遞增）：
（有1解）；
（有1解）；
綜上，共4解。
5.答案：B
解析：二次函數開口向上，零點滿足，故：
（時函數值正）：；
（時函數值負）：；
綜上，。
6.答案：B
解析：二分法需計算區間中點函數值，區間的中點為：
設，計算；
；
；
故，下一步鎖定區間。
二、多選題
7.答案：AB
解析：根據表格數據和零點存在定理：
A：表格僅給函數值，無法判斷區間(2,3)單調性，正確；
B：，，故內可能有零點（連續函數），正確；
C：由B知內一定有零點，錯誤；
D：，，，，，僅1個零點，D錯誤； 綜上，正確答案為AB。
8.答案：BCD
解析：逐一判斷：
A：時可能有偶數個零點（如在上，，但有2個零點），錯誤；
B：在遞增，，，故有且僅有1個零點，正確；
C：，畫圖可知兩函數有2個交點，正確；
D：設（或），方程化為，解得或：
（2解）；
（1解）；
共3個零點，正確。
9.答案：ABCD
解析：由題意，時（甲桶剩余5L，乙桶5L）：
B：，正確；
D：乙桶溶液量=10 - 甲桶剩余量=10(1 - e^{kt})，正確；
C：時，，正確；
A：乙桶溶液8L即甲桶剩余2L，，正確。
三、填空題
10.答案：1000
解析：設，方程化為，由韋達定理：
（，）；
。
11.答案：3
解析：在遞增，利用零點存在定理：
；
；
故零點在，。
12.答案：4
解析：二分法每次將區間長度減半，初始區間長度為1，設需次：
要求精確度0.1，即；
因，，故最少需4次。
四、解答題
13. 解：
(1) 設（開口向上），根的分布需滿足：
代入計算：
（恒成立）；
；
；
；
綜上，。
(2) 需滿足三個條件：
判別式≥0（有實根）：或；
對稱軸在(0,1)內：；
區間端點函數值>0（開口向上）：
；
；
綜上，取交集得（因）。
14. 解：(1) 對數真數需>0：
故定義域為。
(2) 定義域關于原點對稱，計算：
故是奇函數。
(3) 設，需判斷在內是否有零點：
計算區間端點附近函數值：
；
；
故，區間長度為，且；
綜上，方程有根，符合條件的區間為。
15. 解：(1) 已知（），代入表中數據（；）：
兩式相除得；
代入得；
故解析式為（或化簡為）。
(2) 元旦初始面積為時的，240倍即；
列不等式：
兩邊取常用對數（）：
代入，，：
故（第18個月底，即次年6月），即從次年6月起，生長面積達240倍以上。

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