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2025-2026學年上學期小學數學奧數專項《立體幾何》通用版
一、單選題
1．烏鴉喝水。聰明的烏鴉把小石子浸沒在裝水的瓶中，使水面上升，從而喝到了水。如果烏鴉將同樣大小的小石子放在下面四個不同的容器中(小石子完全浸沒，且水未溢出)，(　　)的水面升得高。(單位：cm)
A． B． C． D．
2．小宇將一個鐵塊完全浸沒在量杯的水中(如圖：單位mL)，水面上升，且溢出了 40mL 的水。那么這個鐵塊的體積是(　　)立方厘米。
A．300 B．B. 240 C．200 D．40
3．下列四個立體圖形中與左側圓錐體積相等的有（　　）個。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．容器中裝有一些水，放入一個玻璃球，溢出5mL 水，再放入一個同樣的球，共溢出20mL 水。那么，一個玻璃球的體積是 (　　)。
A．5cm3 B．10cm3 C．15cm3 D．20cm3
5．下面物體的體積是 (　　) cm3(單位： cm)
A．75 B．150 C．200 D．250
6．有人做了這樣一個實驗：
①將350mL 的水倒進一個容量為500mL 的杯子中；
②將3個相同的鐵球放入水中，結果水沒有滿；
③再將2個這樣的鐵球放入水中，水溢出少量。由此推測，1個鐵球的體積可能是(　　)cm3。
A．30 B．40 C．50 D．60
二、填空題
7．露在外面的面。如圖，倉庫的墻角堆放著6個棱長都是5dm的正方體包裝箱。這些包裝箱的占地面積是　 　dm2。有　 　個面露在外面，露在外面的面積是　 　dm2。
8．如下圖，小紅在墻角處用12個相同的小正方體搭建了一個長方體，她仔細觀察并發現了很多奧秘。
（1）有三個面露在外面的小正方體有　 　個。
（2）有兩個面露在外面的小正方體有　 　個。
（3）只有一個面露在外面的小正方體有　 　個。
9．如圖，將一個棱長2dm的正方體沿虛線切三刀后，可切成8個完全相同的小正方體。這8個小正方體的表面積之和比原來大正方體的表面積多　 　 。如果把這8個小正方體擺成如下圖這樣的幾何體，這個幾何體的表面積是　 　dm2。
10．一個長方體形狀的魚缸，內部底面積是 5dm2，深2.2dm。往魚缸內部放入一個蘋果，再注入10.7L水后，蘋果完全浸沒在水中，且水面剛好與魚缸頂部齊平，沒有水溢出來。這個蘋果的體積是　 　dm3。
11．如圖，一個有底無蓋圓柱體容器，從里面量直徑為10厘米，高為15厘米．在側面距離底面9厘米的地方有個洞．這個容器最多能裝　 　毫升水（π取3.14）．
12．如圖，正方體的棱長為，連接正方體其中六條棱的中點形成一個正六邊形，而連接其中三個頂點形成一個三角形。正方體夾在六邊形與三角形之間的立方體圖形有　 　個面，它的體積是　 　。
13． 下圖中的⑴⑵⑶⑷是同樣的小等邊三角形，⑸⑹也是等邊三角形且邊長為⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同樣的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾為平面展開圖的立體圖形的體積是以⑴⑵⑶⑷為平面展開圖的立體圖形體積的　 　倍．
三、計算題
14．計算下面圖形的表面積和體積。
（1）
（2）
四、操作題
15．有趣的測量
為了測量一塊不規則石頭的體積，笑笑設計了一份測量方案，包含以下4個步驟：
①往容器里倒入適量的水，測得水深為3.2cm。
②準備一個長8cm、寬4cm、高7cm的長方體玻璃容器。
③測得水面離容器口的距離是2.8cm。
④將不規則石頭輕輕放入容器中，并讓石頭完全浸入水中(石頭不吸水)。
（1）把實驗步驟按正確的順序排一排(填序號)。
　 　→　 　→　 　→　 　
（2）根據實驗數據算一算：這塊石頭的體積是多少？
16．分別畫出左圖幾何體從上面、前面、右面看到的圖形。這個幾何體的表面積是（　　）平方厘米。(每個小方格邊長1厘米)
五、解決問題
17．在復習平面圖形與立體圖形的面積與體積知識時，肖弘和文鋒產生了如下思考：
（1）肖弘： “長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形的面積是否都可用一個計算公式來計算呢 ”于是他以平行四邊形和三角形為例子，發現用梯形的面積公式同樣能夠正確算出圖形的面積。他是怎么推導的 請以下面的平行四邊形和三角形為例，寫出肖弘同學的推導過程。
（2）文鋒： “長方體、正方體、圓柱都可以把下底面通過平移與上底面重合，那這三個立體圖形側面積的計算方法是否也能統一成一個公式進行計算呢 ”于是他把這三個圖形的側面都沿一條高剪開(如下圖所示)，然后把這些側面展開后得到的都是　 　形，這個圖形的長是就是原來立體圖形的　 　，寬就是原來立體圖形的　 　。所以它們的側面積都可以用公式　 　來計算。
（3） 肖弘和文鋒在總結圖形知識時發現：轉化是很重要的數學思想。推導圓柱的體積公式時就可以先轉化成長方體來研究。同時通過對比進一步發現：長方體、正方體、圓柱的體積都可以用“底面積×高”來計算。于是他們得出：所有能把下底面通過平移與上底面重合的立體圖形，都能用這一方法求出體積。請你根據他們的思考求出下邊三棱柱的體積。數據如下：，OC=10cm， AD=15cm。
18．研究一個瓶子的容積，兩位同學都是先在瓶子里倒入一些水，再將瓶蓋擰緊，然后將瓶子倒置，測出相關數據。具體如下：
（1）我認為　 　的實驗數據是無法測算出瓶子的容積，理由是：　 　。
（2）請你選擇有用的信息計算出這個瓶子的容積。
19．為測量一個不規則鐵塊的體積，一個學習小組做了以下實驗。
①用天平稱出這個鐵塊的質量是1.7千克；
②一個圓柱形容器從里面測量出底面半徑是4厘米；
③從里面量出圓柱形容器的高是15 厘米；
④在容器里注入一定量的水，量出水面高度是6厘米；
⑤將鐵塊浸沒在水中(水沒溢出)，量出水面高度為9厘米。
（1）要求出這個鐵塊的體積，上面哪些信息是必須的？把它們的序號寫在橫線上：　 　。
（2）請根據選出的信息，求出這個鐵塊的體積。
20．為了測量一個小石頭雕塑的體積，小智、小趣和小通合作開展了如下實驗：
①小智準備了一個從里面量長和寬都是12厘米，高是15厘米的長方體玻璃缸；
②小趣往缸里倒入一些水，量出此時水面的高度是8厘米；
③小通把石頭雕塑完全浸入水中，量出此時的水面高度是11厘米。請根據以上信息，求出這個石頭雕塑的體積（這個石頭雕塑不吸水）。
21．東東為了比較土豆和紅薯的體積做了如下實驗。 (玻璃的厚度不計，單位：cm)
誰的體積大？大了多少立方厘米？
22．小明周末去商場購物，發現正在進行大促銷，他看上了一個漂亮的無蓋魚缸，打算買下來。店家告訴他，如果朋友圈點贊人數大于等于25人時，可以半價購買，小明立刻發了個朋友圈，邀請朋友們來幫他集贊，最后終于半價買下了一個長5dm，寬2dm，高3dm的魚缸，為了使魚缸更美觀，小明還看上了一塊裝飾用的珊瑚石，他發現當他把魚缸內完全浸沒的珊瑚石拿出來后， 水面從27cm下降到了 18cm。
請根據以上信息選擇一個合適的問題，并解答。
1號問題：小明買下的這個魚缸，最終花了多少錢？
2號問題：小明買的珊瑚石的體積有多少立方厘米？
3號問題：小明把珊瑚石放入魚缸后，最多還可以加入多少毫升的水？ (玻璃厚度忽略不計)
我選擇(　　)號問題，我的解答：
23．一個長方體的玻璃缸，長6分米，寬3分米，高3.5分米，水深2.8分米。如果將一塊正方體鐵塊(如下圖)放入玻璃缸中，當正方體鐵塊全部浸沒時，從玻璃缸中溢出0.5L水，正方體鐵塊的體積是多少立方分米？
24．根據實驗解決問題。
實驗材料：一個底面半徑為4 cm的圓柱形玻璃杯，1個小圓錐形教具，1個大圓錐形教具，水。
實驗過程：①往玻璃杯里加水，測量水面高度；
②放入一個小圓錐形教具，教具沉入杯底，測量水面高度；
③再放入一個大圓錐形教具，教具沉入杯底，測量水面高度。
實驗記錄：
（1）小圓錐形教具的體積是多少立方厘米？ (π取3)
（2）已知兩個圓錐形教具底面半徑相同，大圓錐形教具的高是小圓錐形教具的2倍，放入大圓錐形教具后，現在水面的高度是多少厘米？
25．鐵路油罐車由兩個半球面和一個圓柱面鋼板焊接而成，尺寸如下圖所示。問：該油罐車的容積是多少立方米 (π=3.1416)
26．用棱長是1厘米的立方塊拼成如右圖所示的立體圖形，求該圖形的表面積。
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】125；13；325
8．【答案】（1）1
（2）4
（3）5
9．【答案】24dm2；30
10．【答案】0.3
11．【答案】942
12．【答案】8；72
13．【答案】16
14．【答案】（1）解：表面積：(15×6+15×8+6×8)×2
=258×2
=516(cm2)
體積：15×8×6
=120×6
=720(cm3)
（2）解：表面積：(12×10+12×2+10×2)×2+10×10×4
=164×2+100×4
=328+400
=728（cm2）
體積：12×10×2+10×10×10
=120×2+100×10
=240+1000
=1240(cm3)
15．【答案】（1）②；①；④；③
（2）解：7－2.8=4.2（cm）
8×4×（4.2－3.2）
=32×1
=32（立方厘米）
答：這塊石頭的體積是32立方厘米。
16．【答案】解：
（4×2+4×3+2×3）×2+1×1×4
=（8+12+6）×2+1×1×4
=26×2+1×1×4
=52+4
=56（平方厘米）
17．【答案】（1）解：①：把平行四邊形看作上底、下底均為1cm，高15cm的梯形。根據梯形面積公式S=(a + b)h÷2（a、b為上、下底，h為高 ），代入得：S=(18 + 18)×15÷2 = 36×15÷2 = 270cm。
②：把三角形看作上底為0cm，下底20cm，高15cm的梯形。根據梯形面積公式，代入得：S=(0 + 20)×15÷2 = 20×15÷2 = 150cm。
③：長方形、正方形、三角形、平行四邊形都可看作特殊梯形，能用梯形面積公式S=(a + b)h÷2統一計算面積 。（注：長方形、正方形是上底 = 下底的梯形；三角形是上底 = 0 的梯形 。）
（2）長方；底面周長；高；S側= Ch（C為底面周長，h為高 ）
（3）解：①確定底面積：三棱柱的底面是三角形，根據三角形面積公式S =ah（其中a為底，h為高 ），則底面三角形面積S=×6×10 = 30cm2 。
②確定高：三棱柱中，AD = 15cm，是上下底面之間的距離，即高h = 15cm 。
③計算體積：根據 “底面積 × 高”，可得三棱柱體積V = 30×15 = 450cm3。
答：該三棱柱的體積是450。
18．【答案】（1）小麗；瓶子正放時，水面的高度是2厘米，倒放時無水部分的高是15厘米，因為瓶頸部分不是圓柱，所以無法測算出瓶子的容積。
（2）解：3.14 x (6 ÷ 2)2 x (12 - 2 +5)
= 3.14x 9 x 15
= 28.26 x 15
=423.9(立方厘米)
423.9立方厘米=423.9毫升
答：這個瓶子的容積是423.9毫升。
19．【答案】（1）②④⑤
（2）解：
=
=150.72(立方厘米)
答：這個鐵塊的體積是150.72立方厘米。
20．【答案】解：12×12×（11﹣8）
＝144×3
＝432（立方厘米）
答：這個石頭雕塑的體積是432立方厘米。
21．【答案】解：9.5-8=1.5（厘米）
12-9.5=2.5（厘米）
2.5＞1.5
所以紅薯的體積大。
12×8×（2.5-1.5）
=96×1
=96（立方厘米）
答：紅薯的體積大，大96立方厘米。
22．【答案】解：選擇2號問題
5分米=50厘米，2分米=20厘米
50×20×(27-18)
=1000×9
=9000（立方厘米）
答：小明買的珊瑚石的體積有9000立方厘米。
23．【答案】解：0.5升=0.5立方分米
6×3×（3.5-2.8）＋0.5
=12.6＋0.5
=13.1（立方分米）
答：正方體鐵塊的體積是13.1立方分米。
24．【答案】（1）解：10-8.8=1.2(厘米)
3×42×1.2
=48×1.2
=57.6（立方厘米）
答：小圓錐形教具的體積是57.6立方厘米。
（2）解：1.2×2=2.4(厘米)
10+2.4=12.4(厘米)
答：現在水面的高度是12.4厘米。
25．【答案】解：兩個半球合成一個球，體積為，圓柱部分的高為14－2＝12，
所以罐的容積為：＋π×12×12＝（12＋）×π≈13.3333×3.1416≈41.888（立方米）
答： 該油罐車的容積是41.888立方米
26．【答案】解：這立體的上(頂)表面積之和就等于底層的底面積，各層的側面積為：
第1層4，
第2層4＋8＝12，
第3層(3＋4)×2＝14，
所以，這立體圖形的表面積是
4＋12＋14＋12×2＝54(平方厘米)
答：該圖形的表面積為54平方厘米
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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