資源簡介

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浙教版2025年九年級上冊第1章《二次函數》單元測試卷
滿分120分 時間120分鐘
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．下列函數解析式中，一定為二次函數的是（　　）
A．s＝2t2﹣2t+1 B．y＝ax2+bx+c
C．y＝3x﹣1 D．y
2．將二次函數y＝x2+4x+3化成頂點式，變形正確的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x+1）（x+3）
C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣1
3．將拋物線y＝x2+2x+3向左平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2）
4．在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+b與二次函數y＝ax2+bx（a，b為常數，且a≠0）的圖象可能是（　　）
A． B． C． D．
5．已知拋物線y＝﹣（x﹣1）2+3，若點（0，y1），（1，y2），（3，y3）都在該拋物線上，則y1，y2，y3的大小關系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
6．如圖，拋物線y＝x2﹣2x與直線y＝3相交于點A、B，P是x軸上一點，若PA+PB最小，則點P的坐標為（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（1，0） D．（3，0）
7．某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，據以上信息得出下列結論，其中錯誤的是（　　）
A．定價70元時，利潤為6000元 B．定價56.5元時，利潤為6105元
C．降價3元，能使所獲利潤最大 D．漲價5元，能使所獲利潤最大
8．如圖所示，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，且OA＝OC，其對稱軸為直線x＝1．則下列結論中正確的是（　　）
A．abc＞0 B．b＝2a C．ac﹣b+1＝0 D．4a+2b+c＝0
9．在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c都是正整數）的圖象與x軸有兩個不同的交點A（x1，0），B（x2，0）．若|x1|和|x2|都大于1，則下列說法錯誤的是（　　）
A．b＞2a B．a＞c
C．a+c＞b D．abc的最小值是25
10．對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）如圖所示，小明同學得出了以下結論：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小．其中結論正確的個數為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．當a＝　 　 時，y＝（a﹣1）x﹣3是關于x的二次函數．
12．拋物線y＝2（x﹣1）2+7的頂點坐標是　 　 ．
13．已知二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．若當﹣1≤x≤4時，y的最大值為5，則a的值為　 　 ．
14．一個涵洞的截面邊緣是拋物線，如圖所示．現測得當水面寬AB＝2m時，涵洞頂點與水面的距離為2m．這時，離開水面1.5m處，涵洞ED的寬度是　 　 ．
15．在平面直角坐標系內，已知點A（﹣1，0），點B（1，1），若拋物線y＝ax2﹣x+1（a≠0）與線段AB有兩個不同的交點，則a的取值范圍是 　 　 ．
16．拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a＜0，c＜0）經過點（﹣3，m），且m＞0．下列結論：①b＞0；②關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有一個根是大于﹣3的負數；③b＜3a；④若a﹣b+c＝m，拋物線過點，且y1 y3＜0，則，y2 y4＜0．其中正確的結論是 　 　 ．（填寫序號）
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（8分）如圖，點A在x軸上，OA＝2，點B（﹣2，﹣8），求經過點A、O、B的拋物線的解析式．
18．（8分）已知二次函數y＝ax2+bx+3（a≠0）中的x，y滿足如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 ■ 3 …
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）直接寫出當y＜0時，x的取值范圍．
19．（8分）如圖，拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求A，B，C，D四個點的坐標；
（2）若關于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝m有兩個不相等的負實數根，請直接寫出m的取值范圍．
20．（8分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以2mm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4mm/s的速度移動．如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發，運動時間為t，△PBQ的面積為S．
（1）當t是多少秒時，S的值為20mm2？
（2）問S隨t如何變化？當t取何值時，S最大？S最大值是多少？
21．（8分）圖1是噴水管OA從點A向四周噴出水花的噴泉，噴出的水花是形狀相同的拋物線．如圖2，以點O為原點，建立平面直角坐標系，水平方向為x軸，OA所在直線為y軸，點C、D為水花的落水點在x軸上，拋物線的解析式為．
（1）求噴水管OA的高度；
（2）現重新改建噴泉，升高噴水管，使落水點與噴水管距離5米，已知噴水管升高后，噴水管噴出的水柱拋物線形狀不變，且水柱仍在距離原點2米處達到最高，求噴水管OA要升高多少？
22．（10分）已知：二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線上有一動點P，使三角形ABP的面積為6，求P點坐標．
23．（10分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線．
（1）當a＝1時，
①求證：該拋物線的頂點不在第三象限；
②若b為自然數，且該拋物線與x軸有兩個不同交點（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），求x2﹣x1的值．
（2）若b＜0，直線y＝ax+m與該拋物線有兩個交點A，B，其坐標分別為A（0，2﹣m）和B（2，n）．當t≤x≤t+1時，求的最小值．
24．（12分）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）的圖象與x軸交于點A（1，0），B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），且拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線BC下方的拋物線上有一動點P，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，交直線BC于點N，求的最大值，并求出此時點P的坐標；
（3）如圖2，若拋物線沿射線AC方向平移個單位長度得到拋物線y，點E為新拋物線y上一點，點F為原拋物線對稱軸上一點，取（2）中最大值時點P，是否存在以點B、P、E、F構成的平行四邊形？若存在，直接寫出點E的坐標，若不存在，請說明理由．
參考答案
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D D C C C B C
1．【解答】解：A、s＝2t2﹣2t+1是二次函數，故A正確；
B、y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函數，故B錯誤；
C、y＝3x﹣1是一次函數，故C錯誤；
D、y＝x2不是二次函數，故D錯誤；
故選：A．
2．【解答】解：y＝x2+4x+3
＝x2+4x+4﹣1
＝（x+2）2﹣1，
故選：D．
3．【解答】解：由題意知，y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴拋物線y＝x2+2x+3向左平移3個單位后的拋物線的解析式為y＝（x+1+3）2+2＝（x+4）2+2，
∴平移后拋物線的頂點坐標為（﹣4，2），
故選：B．
4．【解答】解：A、由二次函數圖象可知a＞0，b＜0，由一次函數圖象可知a＞0，b＝0，故選項A錯誤，不符合題意；
B、由二次函數圖象可知a＞0，b＜0，由一次函數圖象可知a＞0，b＞0，故選項A錯誤，不符合題意；
C、由二次函數圖象可知，a＜0，b＜0，由一次函數圖象可知a＜0，b＝0，故選項A錯誤，不符合題意；
D、由二次函數圖象可知，a＜0，b＜0，由一次函數圖象可知a＜0，b＜0，故選項D正確，符合題意．
故選：D．
5．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，
∴a＝﹣1＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝1，
∵1﹣0＝1，1﹣1＝0，3﹣1＝2，2＞1＞0，
∴y3＜y1＜y2，
故選：D．
6．【解答】解：如圖，作點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′與x軸的交點即為點P．
當y＝3時代入到拋物線解析式得：
x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1．
則由圖可知點A（﹣1，3），點B（3，3），
∴B′（3，﹣3）．
設直線AB′的解析式為：y＝kx+b．
代入A，B′求得：y，
則該直線與x軸的交點為：當y＝0時，x＝1．
∴點P（1，0）．
故選：C．
7．【解答】解：定價70元時，利潤為（70﹣40）[300﹣10（70﹣60）]＝6000，故A正確；
定價56.5元時，利潤為（56.5﹣40）[300+20（60﹣56.5）]＝6105，故B正確；
設每件降價m元，利潤為w，
則w＝（60﹣40﹣m）（300+20m）＝﹣20m2+100m+6000，
當時，利潤最大，故C錯誤；
設每件漲價m元，利潤為w，
則w＝（60﹣40+m）（300﹣10m）＝﹣10（m﹣5）2+6250，
當m＝5時，利潤最大，故D正確；
故選：C．
8．【解答】解：∵該二次函數圖象開口方向向下，對稱軸為x＝1，與y軸的交點在y軸的正半軸，
∴a＜0，，即b＝﹣2a＞0，故B選項錯誤，不符合題意；
∵該二次函數圖象與y軸的交點在y軸的正半軸，
∴c＞0，
∴abc＜0，故A選項錯誤，不符合題意；
∵當x＝0時，y＝c，
∴C（0，c），
∵OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c可得0＝ac2﹣bc+c，
∴ac﹣b+1＝0，故C選項正確，符合題意；
∵該拋物線的對稱軸為直線x＝1，C（0，c），
∴點C（0，c）關于直線x＝1的對稱軸為（2，c），
將C（2，c）代入y＝ax2+bx+c可得c＝4a+2b+c，
∴4a+2b＝0，故D選項錯誤，不符合題意．
故選：C．
9．【解答】解：∵a，b，c都是正整數，
∴對稱軸在y軸的左側，拋物線的開口向上，
∵拋物線與x軸有兩個不同的交點A，且|x1|和|x2|都大于1，
∴b2﹣4ac＞0，x1＜﹣1，x2＜﹣1，
∴對稱軸在x＝﹣1的左側，，
∴，c＞a，
故B選項錯誤，
故符合題意；
∴b＞2a，
故A選項正確，
故不符合題意，
∴當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，
故C選項正確，
故不符合題意；
∵b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
∵a，b，c都是正整數，
∴，a﹣b+c≥1，
∴，
∴，
∴，
∵b，a，c都是正整數且c＞a，
故a的最小值為1，
當a＝1時，則，
∴，
∴c＞4，
∴c的最小值為5，
∵，
∴b的最小值也為5，
∴abc的最小值為：25；
故D選項正確，
故不符合題意；
故A、C、D正確，不符合題意，B錯誤，符合題意，
故選：B．
10．【解答】解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，
∵，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正確，符合題意；
②由題意可得：b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②符合題意；
③當x＝0和x＝2時函數值相等，都小于0，
∴y＝4a+2b+c＜0，故③不符合題意；
④當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④符合題意；
⑤由圖象可知，當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，故⑤符合題意．
故選：C．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．【解答】解：由題意得：a2+1＝2且a﹣1≠0，
∴a＝±1且m≠1，
∴a＝﹣1．
故答案為：﹣1．
12．【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標為（h，k），
∴y＝2（x﹣1）2+7的頂點坐標是（1，7），
故答案為：（1，7）．
13．【解答】解：依題意，二次函數的對稱軸為直線x＝1，
∵﹣1≤x≤4，
∴當a＞0時，拋物線開口向上，在對稱軸直線x＝1右側y隨x的增大而增大，
當x＝4時y有最大值5，
5＝16a﹣8a﹣3a，
解得：a＝1，
當a＜0時，開口向下，x＝1時y有最大值5，
a×12﹣2a×1﹣3a＝5，
解得，
故答案為：1或．
14．【解答】解：設該涵洞的截面邊緣對應的拋物線解析式為y＝ax2，
∵當水面寬AB＝2m時，涵洞頂點與水面的距離是2m，
∴A（﹣1，﹣2），
∴﹣2＝a×（﹣1）2，
解得：a＝﹣2，
∴物線解析式為y＝﹣2x2，
由題意可知點D的縱坐標為：﹣（2﹣1.5）＝﹣0.5，
當y＝﹣0.5時，得：﹣0.5＝﹣2x2，
解得：x＝0.5或x＝﹣0.5，
∴D（0.5，﹣0.5），E（﹣0.5，﹣0.5），
∴DE＝0.5﹣（﹣0.5）＝1（m），
∴涵洞ED的寬度是1m．
故答案為：1m．
15．【解答】解：由點A、B的坐標得，直線AB為yx，
拋物線y＝ax2﹣x+1（a≠0）與線段AB有兩個不同的交點，
∴令xax2﹣x+1，則2ax2﹣3x+1＝0，
∴Δ＝9﹣8a＞0，
∴a．
①當a＜0時，
則，
解得a≤﹣2，
故a≤﹣2；
②當a＞0時，
則，
解得a≥1，
∴1≤a．
綜上所述：1≤a或a≤﹣2，
故答案為：1≤a或a≤﹣2．
16．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c經過點（﹣3，m），
∴m＝9a﹣3b+c，
∵m＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
∴b，
∵a＜0，c＜0，
∴b＜0，
故①錯誤；
如圖：無論點（﹣3，m）位于第二象限的拋物線上的任意位置，拋物線與x軸兩個交點中右邊的交點一定在﹣3和0之間，
∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有一個根是大于﹣3的負數；
故②正確；
∵9a﹣3b+c＞0，
∴3a﹣b，
∵c＜0，
∴3a﹣b＞0，
∴b＜3a，
故③正確；
∵a﹣b+c＝m，
∴拋物線過點（﹣1，m），
∴拋物線的對稱軸為：直線x＝﹣2，
∴橫坐標為和的點在對稱軸的左邊，橫坐標為和的點在對稱軸的右邊，
∴橫坐標為和的點關于對稱軸對稱的點的橫坐標分別為：，，且y1 y3＜0，如圖所示：
∴y2 y4＜0，
故④正確，
故答案為：②③④．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．【解答】解：∵OA＝2，
∴A（2，0），
∵拋物線過原點O，
∴拋物線的解析式中常數項為0，
設經過點A，O，B的拋物線的解析式為y＝ax2+bx，
把A（2，0），B（﹣2，﹣8）代入y＝ax2+bx中，
得，
解得．
∴經過點A，O，B的拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x．
18．【解答】解：（1）把（1，0），（2，﹣1）分別代入得，
解得，
∴二次函數解析式為y＝x2﹣4x+3；
（2）當y＝0時，x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴拋物線y＝x2﹣4x+3與x軸相交于點（1，0），（3，0），
∵拋物線開口向上，
∴當1＜x＜3時，y＜0．
19．【解答】解：（1）當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0），A（﹣3，0），
當x＝0時，y＝02+2×0﹣3＝﹣3，
所以C（0，﹣3），
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴頂點D（﹣1，﹣4）；
∴綜上，A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）；
（2）關于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝m有兩個不相等的負實數根，即拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點過點D（﹣1，﹣4）和點C（0，﹣3）之間，
由圖可知，當﹣4＜m＜﹣3時，關于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝m有兩個不相等的負實數根．
20．【解答】解：（1）由題意得，結合函數的圖象，△PBQ的面積S隨出發時間t變化，先增大然后減小．
又∵AP＝2t mm，BQ＝4t mm，且AB＝12mm，BC＝24mm，
∴BP＝（12﹣2t）mm，
∴SBP×BQ（12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2，即S＝24t﹣4t2（0＜t＜6）．
當S的值為20mm2時，則20＝24t﹣4t2（0＜t＜6），
解得t＝1秒或t＝5，
故當t＝1或5秒時，S的值為20mm2；
（2）∵BQ＝4t＞0，BP＝12﹣2t，
∴0＜t＜6，
∵S＝24t﹣4t2＝﹣4（t﹣3）2+36，
∵﹣4＜0，
∴當t＝3時，S有最大值，最大值為36mm2．
21．【解答】解：（1）∵拋物線為，
∴令x＝0，則，，
∴噴水管OA的高度為m；
（2）設噴水管OA的高度要升高h m，
則拋物線的表達式為．
把（5，0）代入得：．
解得：h＝0.75．
∴噴水管OA的高度要升高0.75m．
22．【解答】解：（1）將（﹣3，0），（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，
∵點A坐標為（﹣3，0），
∴點B坐標為（1，0），
∴AB＝4，
∵三角形ABP的面積為6，
∴S△ABPAB |yP|＝2|yP|＝6，
∴yP＝±3，
把y＝3代入y＝x2+2x﹣3得3＝x2+2x﹣3，
解得x＝﹣1或x＝﹣1，
把y＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3得﹣3＝x2+2x﹣3，
解得x＝0或x＝﹣2，
∴點P坐標為（﹣1，3）或（﹣1，3）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
23．【解答】（1）①證明：當a＝1時，代入拋物線并化為頂點式得：
，
∴頂點坐標為，
若頂點在第三象限，則
解得：，
∴該不等式組無解，
∴拋物線的頂點不在第三象限；
②解：∵b為自然數，且該拋物線與x軸有兩個不同交點（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），
∴Δ＝（b﹣2）2﹣b2＞0．
∴b＜1，
∴b＝0，
∴拋物線為y＝x2﹣2x，
當y＝0時，x1＝0，x2＝2．則x2﹣x1＝2；
（2）解：b＜0，直線y＝ax+m與該拋物線有兩個交點A，B，其坐標分別為A（0，2﹣m）和B（2，n），
∴m＝2﹣m．
解得：m＝1．
∴．
∵b＜0，
∴b＝﹣2．
∴y＝ax2﹣4x+1，
∵直線y＝ax+m與該拋物線有交點B（2，n），將點B的坐標分別代入得：
，
解得：，
∴拋物線為y＝4x2﹣4x+1．
∴y＝4x2﹣4x+1的圖象開口方向向上，對稱軸為直線．
①當，即時，t≤x≤t+1，y隨x的增大而減小，
∴當x＝t+1時，y取最小值為4t2+4t+1．
②當，即時，，y隨x的增大而減小，
，y隨x的增大而增大，
∴當時，y取最小值為0．
③當時，t≤x≤t+1，y隨x的增大而增大，
∴當x＝t時，y取最小值為4t2﹣4t+1．
綜上可知，當時，y取最小值為4t2+4t+1；當時，y取最小值為0；當時，y取最小值為4t2﹣4t+1．
24．【解答】解：（1）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）的圖象與x軸交于點A（1，0），B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），將點A，點C的坐標分別代入得：
，
解得：b＝﹣a+3．
∵該拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
∴，即b＝2a，
∴﹣a+3＝2a，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴該拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）拋物線y＝x2+2x﹣3的圖象與x軸交于點A（1，0），B兩點，
當y＝0時，得：x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（﹣3，0），
設直線BC解析式為y＝mx+n，將點B，點C的坐標分別代入得：
，
解得：，
∴直線BC解析式為y＝﹣x﹣3，
過N作ND⊥y軸于D，如圖1，
設P（x，x2+2x﹣3），則N（x，﹣x﹣3），
∴NP＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴BO＝CO＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴△CDN是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
＝﹣x2﹣5x
，
∴當時，取最大值，最大值為，此時；
（3）存在以點B、P、E、F構成的平行四邊形；點E的坐標為，或．理由如下：
∵原拋物線y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，對稱軸為直線x＝﹣1，
∴F的橫坐標為﹣1，
∵點A（1，0），點C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴．
∵拋物線沿射線AC的方向平移個單位長度得到拋物線y，
∴拋物線先向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到y，
∴拋物線的解析式為．
設點．
①當BP為對角線時，
∴，
解得：，
∴，
∴點E的坐標為；
②當BE為對角線時，
∴，
解得：，
∴，
∴點E的坐標為；
③當BF為對角線時，
∴，
解得：，
∴，
∴點E的坐標為．
綜上所述，存在以點B、P、E、F構成的平行四邊形；點E的坐標為，或．

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