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2025-2026學年上學期小學數學奧數專項《幾何解題思想》通用版
一、單選題
1．下圖中，運用了“轉化”策略的一共有 (　　)個。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下面運用了“轉化”思想方法的有(　　)。
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空題
3． 下圖為四個半徑分別為 7cm、6cm、3cm、2cm 的圓，現將三個較小的圓與最大的圓重疊，下列 各圖中，第　 　個大圓內部不重疊的部分的面積，恰好等于三個較小圓不重疊部分的面積之和。
4．如圖，長方形被分成面積相等的4部分。X=（　　）厘米。
5．圖中的大小正方形的邊長均為整數（厘米），它們的面積之和等于52平方厘米，則陰影部分的面積是　 　。
6．如圖，ABCD是一個四邊形，M、N分別是AB、CD的中點．如果△ASM、△MTB與△DSN的面積分別是6、7和8，且圖中所有三角形的面積均為整數，則四邊形ABCD的面積為　 　．
7．正方形ABCD的AD邊與正方形EFGH的EF邊部分重合，AD＝6，EF＝4，并且D是EF的中點，則陰影部分的總面積是　 　。
三、計算題
8．如圖。若長方形APHM，BNHP，CQHN的面積分別為7、4.6，求陰影部分的面積是多少？
9．有正三角形，在邊、、的正中間分別取點、、，在邊、、上分別取點、、，使，當和、和、和的相交點分別是、、時，使．這時，三角形的面積是三角形的面積的幾分之幾？請寫出思考過程．
10．如下圖所示，在長方形內畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是，，．那么圖中陰影部分的面積是多少？
11．如下圖所示，在梯形中，、分別是其兩腰、的中點，是上的任意一點，已知 的面積為，而的面積恰好是梯形面積的，則梯形的面積是　 　．
12．如圖，三角形ABC的面積是1，E是AC的中點，點D在BC上，且BD：DC=1：2，AD 與BE交于點 F，則四邊形DFEC的面積等于多少？
四、解決問題
13．某工人用薄木板釘成一個長方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條(如圖所示)在三個方向上的加固．所用尼龍編織條分別為365厘米，405厘米，485厘米．若每個尼龍加固時接頭重疊都是5厘米．問這個長方體包裝箱的體積是多少立方米
14．如圖，小正方形的邊長是4分米，大正方形的邊長是8分米，長方形的長是10分米，寬是3分米。空白部分和藍色部分的面積相差多少平方分米
15．王老師在動手吧里展示了一道數學題，你能解答嗎？
如圖，一根木棒放在有刻度的直線上，木棒的左端與點A重合，右端與點B 重合。
（1）若將木棒沿直線向右水平移動，則當它的左端移動到點B時，它的右端在直線上所對應的數為20厘米；若將木棒沿直線向左水平移動，則當它的右端移動到點A時，則它的左端在直線上所對應的數為5 厘米。由此可得到木棒長為　 　厘米。
（2）由題(1)的啟發，請你借助這個工具幫助笑笑解決下列問題：一天，笑笑去問爺爺的年齡，爺爺說：“我若是你現在這么大，你還要40年才出生；你若是我現在這么大，我已經125歲，是老壽星了，哈哈！”請求出爺爺現在多少歲。
16．下圖中，矩形的邊為厘米，為厘米，三角形比三角形的面積大平方厘米，求的長．
17．一個正方體容器，容器內部邊長為24厘米，存有若干水，水深厘米，現將一些碎鐵塊放入容器中，鐵塊沉入水底，水面上升厘米，如果將這些鐵塊鑄成一個和容器等高的實心圓柱，重新放入池中，則水面升高幾厘米？
18．如圖：有一個矩形可以被分割為個正方形，其中最小的正方形(陰影部分)面積為，請問這個矩形之面積為多少平方厘米？
19．利用旋轉能幫助我們解決很多問題。如圖①，正方形ABCD中有一點O，且∠BOC=90°，OB=6厘米，求涂色部分的面積。樂樂這樣想：把三角形BOC繞點B按順時針方向旋轉90°(如圖②)，發現四邊形AEBO'是長方形，涂色部分是一個底為6厘米、高為6厘米的三角形，所以面積為6×6÷2=18(平方厘米)。
你也能利用旋轉的知識解決下面的問題嗎？
（1）如左下圖，涂色部分占整個圓的　 　
（2）如右上圖，在直角三角形ABC中有一個正方形DBEF，F是邊AC上的一點，求涂色部分的面積是多少？我的想法如下：求涂色部分的面積，可以利用旋轉的知識將圖中的三角形　 　繞點F按　 　時針方向旋轉90°，與三角形　 　拼成一個直角三角形，它的面積為　 　平方厘米。
五、解答題
20．如圖，在中，有長方形，、在上，、分別在、上，是 邊的高，交于，，厘米，厘米，求長方形的長和寬。
21．如圖，把四邊形ABCD改成一個等積的三角形。
22．如圖，是正方形，且，求陰影部分的面積。(取)
23．求圖中陰影部分的面積(單位：)。
24．求如圖中陰影部分的面積。(圓周率取)
25．如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為，空白部分面積為，那么這兩個部分的面積之比是多少？(圓周率取)
26．如圖，正方形邊長為1，正方形的4個頂點和4條邊分別為4個圓的圓心和半徑，求陰影部分面積。(取)
27．圖中的三角形都是等邊三角形，三角形的邊長是，三角形的邊長是。問：所夾三角形的邊長是多少
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】1
4．【答案】解：根據題意，可得
上方長方形面積為：16×2=32（平方厘米）
則大長方形的面積為：32×4=128（平方厘米）
大長方形的寬為：128÷16=8（厘米）
2+x=8
x=6（厘米）
答：x的值等于6厘米
5．【答案】10.8
6．【答案】60
7．【答案】24
8．【答案】解：設四邊形MDQH得面積為x
由題，有
則四邊形ABCD的面積為：
三角形ADP的面積為：
三角形DCN的面積為：
三角形PBN的面積為：
故陰影部分的面積為：
答：陰影部分的面積為8.5。
9．【答案】解：設正三角形ABC的邊長為3（設為3方便計算，不影響結果比例關系 ），
則AL=BM=CN=1。
設LP=MQ=NR=x，
那么AP=AQ=BR=1 x。
因為△ABC是正三角形，
所以∠A=∠B=∠C=60 。
由∠A公共， =， = ，
可得△APR △ALC；同理可證其他相關三角形相似。
考慮△LXR和△LPM ，因為XY=XL，設S△XYZ =S。
由△LXR和△LPM等高，且XY=XL，
可得S△LXR =2S。
利用梅涅勞斯定理（若直線DEF截△ABC三邊AB、BC、CA所在直線于D、E、F，則DBAD ECBE FACF =1 ），對相關三角形進行分析。可以得到S△ABC =28S 。
所以S△XYZ = S△ABC ，即三角形XYZ的面積是三角形ABC面積的。
答： 三角形的面積是三角形的面積的。
10．【答案】解：
答： 圖中陰影部分的面積是97。
11．【答案】100
12．【答案】解：如題圖，連接 FC，設
因為 ，則
因為 則S△ACF=3x×2=6x；
因為 ；
其中 S△ABC=3x+6x+x+2x=1，
則
答：四邊形 DFEC 的面積為
13．【答案】解：解：長方體中
高寬，⑴
高長， ⑵
長寬， ⑶
⑵⑴：長寬，⑷
⑷⑶：長，從而寬，
代入⑴得高．
所以長方體體積為
(立方厘米)(立方米)
答：這個長方體包裝箱的體積是1.001立方米。
14．【答案】解：4×4=16(平方分米)
8×8=64(平方分米)
10×3=30(平方分米)
16+64-30=50(平方分米)
答：空白部分和藍色部分的面積相差50平方分米。
15．【答案】（1）5
（2）解：125+40=165（歲）
165÷3=55（歲）
125-55=70（歲）
答：爺爺現在70歲。
16．【答案】解：設ED=x，則有：，又因為FD+FA=AD=BC=6，
所以，AF=，FD=，
S△ABF-S△EDF=9，
48-3x2=36+9x，
x2+3x-4=0，
（x+4）（x-1）=0，
x=-4（舍去），或x=1，
答：ED的長是1厘米．
17．【答案】解：設鐵塊鑄成和容器等高的實心圓柱放入池中水面升高厘米，
，
其中，得到，解得，
所以水面升高了(厘米)．
答：水面升高了2厘米。
18．【答案】解：根據題意，可得
陰影部分正方形的邊長為9（厘米）
設標號是a的正方形的邊長是a，
則標號為b的正方形的邊長是9+a，
標號是c的正方形的邊長是9+a+9=18+a，
標號是e的正方形的邊長是18+a+9=27+a，
標號是d的正方形的邊長是a+9+a=9+2a，
標號是f的正方形的邊長是a+9+2a=9+3a，
標號是h的正方形的邊長是27+a+18+a=45+2a，
于是標號是g的正方形邊長是9+3a-（27+a）+(a-9)=3a-27，
于是標號是j的正方形邊長是3a-27+9+3a=6a-18，
于是標號是i的正方形邊長是3a-27+6a-18=9a-45，
于是27+a-（3a-27）+45+2a=9a-45，
解得，a=16．
于是矩形的長是6a-18+9a-45=177，
寬是9a-45+45+2a=176，
所以面積是177×176=31152(平方厘米)．
答：這個矩形之面積為31152平方厘米
19．【答案】（1）
（2）ADF；逆；CEF(或 CEF 順ADF)；7.5
20．【答案】解：觀察圖中有金字塔模型 個，用與已知邊有關系的兩個金字塔模型，
所以 ， ，
所以有 ，
設 ，則 ，
所以有 ，
解得 ， ，
因此長方形的長和寬分別是 厘米， 厘米。
21．【答案】解：⑴連接BD；
⑵過A作BD的平行線，與CB的延長線交于A'。
⑶連接A'D，則 A'CD與四邊形ABCD等積。
22．【答案】解：連接BD，根據圖形所示，可得
=
=
=
=
答：陰影部分的面積為
23．【答案】解：從圖中可以看出，兩部分陰影的面積之和恰好是梯形的面積，
所以陰影部分面積為 。
24．【答案】解：可將左下橄欖型的陰影部分剖開，兩部分分別順逆時針 ，則陰影部分轉化為四分之一圓減去一個等腰直角三角形，所以陰影部分的面積為 。
25．【答案】解：如圖添加輔助線，小圓內部的陰影部分可以填到外側來，這樣，空白部分就是一個圓的內接正方形。設大圓半徑為 ，則 ，所以 。
26．【答案】解：把中間正方形里面的4個小陰影向外平移，得到如右圖所示的圖形，可見，陰影部分的面積等于四個正方形面積與四個 的扇形的面積之和，所以，
。
27．【答案】解：如圖，設相應的三角形的邊長是x和y，則可知：
標號為1的三角形的邊長是：26-x
標號為4的三角形的邊長是：x-y
標號為3的三角形的邊長是：y-（x-y）=2y-x
最小的三角形的邊長是：x-（26-x）=2x-26
標號為2的三角形的邊長是：
2y-x+2x-26=2y+x-26或26-x-（2x-26）=52-3x
化簡，可得，
解得，
可以得到三角形C的邊長是15.6
答： 所夾三角形C的邊長是15.6
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