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2025-2026學年上學期小學數學奧數專項《幾何與函數》通用版
一、單選題
1．晴晴和品品兩名同學從A地出發，一起騎自行車到25千米外的B地，她們騎行距離和所用時間的關系如圖。根據圖中提供的信息，下面說法中正確的有(　　)個。
信息1：晴晴和晶晶兩人都在途中停留了0.5小時；
信息2：晴晴比晶晶早出發0.5小時；
信息3：相遇后，晴晴的速度小于晶晶的速度；
信息4：晶晶比晴晴早到達B地。
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題
2．如圖，長方形中，，．、分別是邊上的兩點，．那么，三角形DEF面積的最小值是　 　．
3．有小文、小亮從學校出發到青少年宮參加書法比賽，小文步行一段時間后，小亮騎自行車沿相同路線行進，兩人均勻速前行。他們的路程差s(米)與小文出發時間t(分)之間的函數關系如圖所示。下列說法：①小亮先到達青少年宮；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480，其中正確的是　 　(填序號)。
4．快、慢兩車分別從相距480km距離的甲、乙兩地同時出發，勻速行駛，先相向而行，途中慢車因故停留了1h，然后以原速繼續向甲地行駛，到達甲地后停止行駛；快車到達乙地后，立即按原路原速返回甲地（快車掉頭的時間忽略不計），快、慢兩車距乙地的距離y（km）與所用時間x（h）之間的函數圖像如圖，快車與慢車第一次相遇時，到甲地的距離是　 　千米。
5．已知甲.乙兩地相距90km，A.B兩人沿同一公路從甲地出發到乙地，A騎摩托車，B騎電動車，圖中線段DE.OC分別表示A.B離開甲地的路程s（km）與時間t（h）的關系圖像，那么在A.B相遇時，距離目的地還有　 　 km。
6．若規定，例如，則：　 　。
三、計算題
7．重慶某中學校與公交公司一起開通了定制公交.周五公交車1號從江北汽車站出發接初一學生，經過1.5小時到達學校，再等待0.5小時接上學生后原路駛回江北汽車站．因交通擁堵，公交車1號返回時的平均速度比來時慢了每小時12千米.當公交車1號駛出江北汽車站1.7小時后，公交車2號（與公交車1號速度不同）也從江北汽車站開車前往學校接初二學生，兩車在行駛過程中相遇.設公交車1號行駛的時間為x（小時）與兩車之間的距離為y（千米）之間的關系如圖所示．在整個過程中，公交車2號的平均速度是多少？
8．明明和他爸爸到縉云山鍛煉， 他們同時從山腳出發， 以各自的速度登山。明明到達山頂后， 休息了 10 分鐘后立即按原路以另一速度勻速返回， 直到與爸爸相遇， 已知爸爸的速度為 80 米分， 兩人之間的距離 (米) 與爸登山時間 (分鐘)之間的關系如圖所示， 求在整個過程中， 明明的平均速度為多少米/分鐘？
9．求的最小值。
四、解決問題
10．如圖所示，在直角三角形ABC中，AC長J厘米，CB長4厘米，AB長5厘米。有一只小蟲從C點出發，沿CB以1厘米/秒的速度向B爬行：同時，另一只小蟲從B點出發，沿BA以I厘米/秒的速度向A爬行。請問經過多少秒后，兩只小蟲所在的位置D、E與B組成的三角形DBE是等腰三角形 (請寫出所有答案)
11．如圖1是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊放于其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在水槽底面上）．現將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度y（厘米）與注水時間x（分鐘）之間的關系如圖2所示．根據圖象提供的信息，解答下列問題：
（1）注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中的水的深度相同？
（2）若乙槽底面積為42平方厘米（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積；
（3）若乙槽中鐵塊的體積為168立方厘米（壁厚不計），求甲槽底面積．
12．如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，在對稱中心O處有一釘子。動點P、Q同時從點A出發，點P沿A~B~C~D方向以每秒2cm的速度運動，到點D停止：點Q沿A~D方向以每秒1cm的速度運動，到點D停止。P、Q兩點用一條可伸縮的細橡皮筋連接，設x秒后橡皮筋掃過的面積為y。
（1）當橡皮筋剛好觸及釘子時，求x的位。
（2）當時y的值。
（3）在橡皮筋從觸及釘子到運動停止的過程中，直接寫出∠POQ為直角時x的數值。
13．有一個進水管和二個出水管的容器，從某時刻開始5分鐘內只進水不出水，在隨后的20分鐘內既進水又出水，在第25分鐘開始只出水不進水，每分鐘的進水量和出水量是兩個常數、 容器內水量(L)與時間(min)之間的關系如圖所示，求在第33分鐘時，容器內剩余水量為多少升？
14．港口A、B、C依次在同一條直線上，甲、乙兩艘船同時分別從A、B兩港出發，勻速駛向C港，甲、乙兩船與B港的距離y（海里）與行駛時間x（時）之間的關系如圖所示。
（1）甲船的平均速度為　 　海里/時，乙船的平均速為　 　海里/時；
（2）甲、乙兩船在途中相遇了　 　次，a=　 　；
（3）求甲、乙兩船距離B港距離相等的時間。
15．已知動點P以每秒2cm的速度沿圖甲的邊框按從B→C→D→E→F→A的路徑移動，相應的△ABP的面積S與時間t之間的關系如圖乙中的圖象表示。若AB=6cm，試回答下列問題：
（1）圖甲中的BC長是多少？
（2）圖乙中的a是多少？
（3）圖甲中的圖形面積是多少？
（4）圖乙中的b是多少？
16． 百船競渡， 激掅飛揚， 為紀念愛國詩人屈原， 某市隆重舉行了龍舟賽， 如圖是甲、乙兩支龍舟隊在比賽時的路程 (米) 與時間 t(分鐘) 之間的函數關系圖象， 請你根據圖象回答下列問題：
（1） 比賽1.8分鐘時，　 　隊處于領先地位. 在這次龍舟比賽中，　 　隊人先到達終點.
（2）比賽開始多長時間后， 先到達終點的龍舟隊就開始領先
17．武警戰士乘一沖鋒舟從A地逆流而上，前往C地營救受困群眾，途經B地時，由所攜帶的救生艇將B地受困群眾運回A地，沖鋒舟繼續前進，到C地接到群眾后立刻返回A地，途中曾與救生艇相遇。沖鋒舟和救生艇距A地的距離y（千米）和沖鋒舟出發后所用時間x（分）之間的關系如圖所示，假設營救群眾的時間忽略不計，水流速度和沖鋒舟在靜水中的速度不變．
（1）請直接寫出沖鋒舟從A地到C地所用的時間；
（2）求水流的速度；
（3）沖鋒舟將C地群眾安全送到A地后，又立即去接應救生艇．假設群眾上下船的時間不計，求沖鋒舟在距離A地多遠處與救生艇第二次相遇？
18．春天的某個周末，陽光明媚，適合戶外運動．下午，住在同一小區的小懿、小靜兩人不約而同的都準備從小區出發，沿相同的路線步行去同一個公園賞花!小懿出發5分鐘后小靜才出發，同時小懿發現當天的光線很適合攝影，所以決定按原速回家拿相機，小懿拿了相機后，擔心錯過最佳拍照時間，所以速度提高了20%，結果還是比小靜晚2分鐘到公園．小懿取相機的時間忽略不計，在整個過程中，小靜保持勻速運動，小懿提速前后也分別保持勻速運動．如圖所示是小懿、小靜之間的距離y（米）與小懿離開小區的時間x（分鐘）之間的函數圖象，則小區到公園的距離為多少米？
19．【一次函數圖象】“百舸競渡，激情飛揚。”為紀念愛國詩人屈原，某市舉行了龍舟賽。如圖是甲、乙兩支龍舟隊在比賽時的路程s(米)與時間t(分鐘)之間關系的圖象，請你根據圖象回答下列問題：
（1）1.8分鐘時，龍舟　 　隊處于領先地位，在這次龍舟比賽中，龍舟　 　隊先到達終點。
（2）求先到達終點的龍舟隊在比賽開始多少分鐘后開始領先
20．如圖①，在長方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，點P從A出發，沿A→B→C→D路線運動，到D停止；點P出發時的速度為每秒1cm，a秒時點P的速度變為每秒bcm，圖②是點P出發x秒后，△APD的面積S（cm2）與x（s）的函數關系圖象．
（1）根據題目中提供的信息，求出圖②中a、b、c的值；
（2）設點P運動的路程為y（cm）．
①7s時，y的值為 ▲ cm；
②請寫出當點P改變速度后，y與x的函數關系式；
（3）當點P出發后幾秒時，△APD的面積S是長方形ABCD面積的？
21．如圖1是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖。乙槽中有一圓柱形鐵塊放在其中(圓柱形鐵塊的下底面完全落在水槽底面上)，現將甲槽中的水勻速注人乙槽.甲、乙兩個水槽中水的深度與注水時間x(分鐘)之間的關系如圖2所示。根據圖象提供的信息，解答下列問題：
（1）圖2中折線表示　 　槽中的水的深度與注水時間的關系，線段表示　 　槽中的水的深度與注水時間的關系(填“甲”或“乙”)，點的縱坐標表示的實際意義是　 　；
（2）當時，分別求出和與之間的函數關系式；
（3）注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中的水深度相同？
（4）若乙槽底面積為平方厘米(壁厚不計) ，求乙槽中鐵塊的體積．
22．(小數應用)彈簧掛上物體后會伸長。已知一彈簧的長度 與所掛物體的質量 之間的關系如下表：
所掛物體的質量 0 1 2 3 4 5 6 7
彈簧的長度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5
（1） 當所掛物體的質量為 時， 彈簧的長度是　 　；
（2） 當所掛物體的質量為 時， 請求出彈簧的長度；
（3）如果彈簧的最大長度為 ， 那么該彈簧最多能掛質量為多少的物體？
五、解答題
23．1號探測氣球從海拔10m處出發，以1m/min的速度豎直上升，與此同時，2號探測氣球從海拔20m處出發，以am/min的速度豎直上升，兩個氣球都上升了1h，1號、2號氣球所在位置的海拔，（單位：m）與上升時間x（單位：min）的函數關系如圖所示，請根據圖象回答下列問題：
（1）　 　，　 　；
（2）請分別求出，與x的函數關系式；
（3）當上升多長時間時，兩個氣球的海拔豎直高度差為5m？
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】717
3．【答案】①②④
4．【答案】320
5．【答案】54
6．【答案】9900
7．【答案】解：如圖
de段
答： 公交車2號的平均速度是 10千米/小時。
8．【答案】解：設小明返回的速度為 a 米／分．則返回時與爸爸共同行駛的時間為50+10=60分鐘，
由題意，得
（ a +80)[65-(50+10)]=2500-80x10，
解得 a =260米／分，
答：小明返回的速度為260米／分．
9．【答案】解：分別找出每個絕對值項的零點。
對于第一個絕對值項，零點是，解得.
對于第二個絕對值項，零點是，解得.
對于第三個絕對值項，零點是，解得.
這三個零點分別是，其中中間的零點是。因此，最小值應該在這個點處取得。
接下來，我們將 代入原式求解最小值：
因此，函數的最小值為.
10．【答案】解：設經過x秒后，三角形DEB為等腰三角形。
（1）若BD=BE，
則4-x=x
2x=4
x=2
（2）若ED=EB
BE：BF=5：4=x：BF
BF=4x÷5
CD+DF+FD=4
故4x÷5×2+x=4
1.6x+x=4
2.6x=4
x=
（3）若DE=DB
BF：BD=4：5=（x÷2）：（4-x）
4（4-x）=5（x÷2）
x=
答：經過2秒、秒、秒后，兩只小蟲所在的位置D、E與B組成的三角形DBE是等腰三角形。
11．【答案】（1）解：設線段AB、DE的解析式分別為：y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，
∵AB經過點(0，2)和(4，14)，∴，解得，，可得線段解析式為；
DE經過(0，12)和(6，0)，∴，解得，，∴線段DE解析式為，
當時，即，解得。
∴當2分鐘時兩個水槽中的水的深度相同。
（2）解：由圖象知：當水槽中沒有沒過鐵塊時4分鐘水面上升了12厘米，即1分鐘上升3厘米；當水面沒過鐵塊時，2分鐘上升了5厘米，即1分鐘上升2.5厘米；
設鐵塊的底面積為a平方厘米，則乙水槽中不放鐵塊每分鐘的進水量為：，放了鐵塊后每分鐘的進水量為，
，即126-3a=105，解得。
鐵塊的體積為。
（3）解：∵鐵塊的體積為168立方厘米，∴鐵塊的底面積為168÷14=12（立方厘米）
可設甲槽的底面積為m平方厘米，乙槽的底面積為n平方厘米。
在4分鐘的時候，甲水槽高度為-2×4+12=4cm，流出了12-4=8cm；乙水槽高度為14cm，水流進的高度為14-2=12cm；6分鐘的時候，甲水槽沒水，流走高度12cm，乙水槽高度19cm。在同一個時間，水流進和流出的體積是相同的，因此可以列示
，變形為，進一步變形為得到6n=5n+72，解得n=72，然后將n=72代入任意式中，得到4m=360，解得m=90。
所以甲槽底面積為90平方厘米。
12．【答案】（1）解：當時，橡皮筋剛好觸及釘子
，
所以，
（2）解：當時
AQ=x，BP=2x-2，OE=1
即
所以，當 時，
（3）解：x=2
13．【答案】解：根據條件“ 5分鐘隨后的20分鐘內既進水又出水 ”可知，該時間段的函數圖形為一條直線，此時需要求出該直線的函數式即可。
從圖像可知，該函數圖形過點（5，30）和點（15，40），則可以設該函數為y=kx+b，分別將兩點代入，得到
，解得，該函數為y=x+25（5≦x≦25）
所以當x=25時，y=50，即在第25分鐘時，此時水有50升。而條件“ 在第25分鐘開始只出水不進水 ”可知，該時間段的函數圖形為一條直線，此時需要求出該直線的函數式即可。
從圖像可知，該函數圖形過點（25，50）和點（35，0），則可以設該函數為y=k2x+b2，分別將兩點代入，得到
，解得，該函數為y=-5x+175（25≦x≦35）。
所以當x=33時，y=10，即在第33分鐘時，此時水有10升。
14．【答案】（1）60；30
（2）1；2
（3）解：設甲、乙兩船距離B港距離相等的時間為x小時。
①30-60x=30x
30=60x+30x
30=90x
x=30÷90
x=
②60x=30x+30
60x-30x=30
30x=30
x=30÷30
x=1
答：甲、乙兩船距離B港距離相等的時間為或者。
15．【答案】（1）解：2×4=8（cm）
（2）解：6×8÷2=24（cm2）
（3）解：CD=（6-4）×2=4（cm）
DE=（9-6）×2=6（cm）
BC=8（cm）
圖甲中的圖形面積：6×（8+6）-6×4=60（cm2）
（4）解：b=[（8+4+6+2+（8+6）]÷2=17（s）
16．【答案】（1）甲；乙
（2）解：設甲龍舟隊的解析式為y=kx，則：，
∴甲龍舟隊的解析式為y=250x，
設乙龍舟隊2.2分鐘后的做解析式為y=k2x+b，
則
解得：
∴乙龍舟隊2.2分鐘后的解析式為y=375x-425，
依題意得
∴
答：比賽開始3.4分鐘后，乙龍舟隊開始領先．
17．【答案】（1）解：24分鐘
答：沖鋒舟從A地到C地所用24分鐘。
（2）解：設水流速度為a千米/分，沖鋒舟在靜水中的速度為b千米/分，根據題意得
答：水流速度是千米/分。
（3）解：設沖鋒舟將C地群眾安全送到A地后，m分鐘與救生艇第二次相遇，由題意得：
(m+44-12)÷m=10。
解得：m=8，
×8=(千米)
答：沖鋒舟在距離A地千米處與救生艇第二次相遇。
18．【答案】解：由題意，可知小懿提速后的速度為240÷2＝120（米/分），
∴小懿提速前的速度為120÷（1+20%）＝100（米/分）
∵兩人之間的距離y＝400米時，小懿返回到了家中，此時小懿走了1000米，減去提前走的500米，所以小懿在小靜出發后又走了500米，小靜走了400米，
∴小靜的速度為（米/分）
設小靜走了400米后還需x分鐘到達公園
由題意，可得（120﹣80）x＝400﹣240
解得x＝4，
∴小區到公園的距離為400+4×80＝720（米）．
答：小區到公園的距離為 720。
19．【答案】（1）甲隊；乙隊
（2）解： 設甲龍舟隊的解析式為y=kx，則：1000=4k1，k1=250，
所以甲龍舟隊的解析式為y=250x，
設乙龍舟隊2.2分鐘后的做解析式為y=k2x+b，
則
解得：k2=375，b=-425，
所以乙龍舟隊2.2分鐘后的解析式為y=375x-425，
依題意得：，
答：比賽開始3.4分鐘后，乙龍舟隊開始領先。
20．【答案】（1）解：P在邊AB上時，由圖得知：
∴
∴
∴
所以；；。
（2）解：①∵，，當7s的時候，P點已經改變速度為2cm/秒，此時P已經運動了1×6+（7-6）×2=8cm。
故y的值為8cm
②P在6秒之后改變速度為2cm/秒，此時已經運動了6秒，運動了1×6=6cm，還剩路程（10-6）+8+10=22cm，還需要22÷2=11秒，即總共運動全部路程需要11+6=17秒，因此6≤x≤17。
但是之前6cm是變速前運動完成的，因此P改變速度之后的函數關系式為。
（3）解：，即，解得AP=5cm。根據對稱性，P點在CD上的時候，即DP=5cm時，△APD的面積S也是長方形ABCD面積的。
從圖②可以發現，在a秒的時候△APD的面積是24cm2，因此在a秒以內有20cm2。即5÷1=5（秒）；
當P點運動到CD段，即DP=5cm時，此時P已經走過AB、BC、CP，運動了10+8+10-5=23（cm），距離終點D還剩10-5=5（cm），因此17-（10-5）÷2=14.5（秒）。
∴P出發5秒和14.5秒時，S矩形ABCD。
21．【答案】（1）乙；甲；乙槽中圓柱形鐵塊的高度是14厘米
（2）解：設線段AB、DE的解析式分別為：y甲=k1x+b1，y乙=k2x+b2，
∵AB經過點（0，2）和（4，14），∴，解得：；
∵DE經過（0，12）和（6，0），∴，解得：，
∴當時， y甲=-2x+12，y乙=3x+2。
（3）解：由（2）可知，y甲=-2x+12，y乙=3x+2。
當y甲=y乙，即3x+2=-2x+12，解得x=2。
∴當2分鐘時兩個水槽水面一樣高。
（4）解：由圖象知，當水槽中沒有沒過鐵塊時4分鐘水面上升了12厘米，即1分鐘上升3厘米，當水面沒過鐵塊時，2分鐘上升了5厘米，即1分鐘上升2.5厘米，
設鐵塊的底面積為a平方厘米，則乙水槽中不放鐵塊的體積為：2.5×36立方厘米，
放了鐵塊的體積為3×（36-a）立方厘米，
∴1×3×（36-a）=1×2.5×36，即108-3a=90，解得a=6。
∴鐵塊的體積為6×14=84（立方厘米）。
22．【答案】（1）13.5
（2）解：由表可知，彈簧原長為12cm，所掛物體每增加1kg，彈簧長度增加：
（12.5-12）÷1=0.5（厘米）
當所掛物體的質量為5.5kg 時，彈簧長度為：
5.5×0.5+12=2.75+12=14.75（厘米）。
（3）解：彈簧的最大長度為 20cm時，彈簧長度增長：
20-12=8（厘米）；
因為所掛物體增加1kg，彈簧長度增加0.5厘米，
所以彈簧的最大長度為 20cm時，
彈簧最多能掛質量為：8÷0.5=16（千克）。
23．【答案】（1）；30
（2），
（3）10分鐘或者30分鐘
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